2024年北师大新版高二数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年北师大新版高二数学上册月考试卷985考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．2、设复数z满足条件|z|=1那么的最大值是（）

A.3

B.4

C.

D.

3、已知都是定义在上的函数，并满足：(1)（2）（3）且则（）A.B.C.D.或4、【题文】已知复数则（）A.0B.C.D.5、【题文】在等差数列中，则（）A.B.C.D.6、定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数，我们可以把1拆分成多个不同的单位分数之和．例如：1=++1=+++1=++++，依此拆分法可得1=+++++++++++++其中m，n∈N*，则m﹣n=（）A.﹣2B.﹣4C.﹣6D.﹣87、已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面说法正确的是（）A.⇒α∥βB.⇒m∥nC.⇒l∥βD.⇒m⊥γ评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)8、若曲线f（x）=xlnx在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P的坐标为____．9、计算定积分：=____．10、若点O在三角形ABC内，则有结论S△OBC•+S△OAC•+S△OAB•=把命题类比推广到空间，若点O在四面体ABCD内，则有结论：____．11、在一个各个面上均涂有颜色的正方体的长、宽、高上分别等距离地各切3刀，则这个正方体被分割成64个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，其中恰有两面涂色的概率是____．12、点A的直角坐标为（1，1，），则它的球坐标为___________，柱坐标为______13、【题文】图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，，A14.图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是________．

14、【题文】A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点P与A连结，则弦长超过半径的概率为____15、【题文】若平面向量满足平行于轴，

则=____.评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、计算题(共4题，共36分)23、1.（本小题满分12分）已知数列满足且（）。（1）求的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。24、1.（本小题满分12分）已知投资某项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是．设该项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记产品价格在一年内的下降次数为对该项目每投资十万元，取0、1、2时，一年后相应的利润为1.6万元、2万元、2.4万元．求投资该项目十万元，一年后获得利润的数学期望及方差．25、1.（本小题满分10分）某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：（1）抽到他能答对题目数的分布列；（2）他能通过初试的概率。26、解不等式|x﹣2|+|x﹣4|＞6．评卷人得分五、综合题(共4题，共12分)27、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．28、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．29、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．30、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、A【分析】【解析】【答案】A2、B【分析】

由于z满足条件|z|=1的复数z对应点都在以原点O为圆心的单位圆上；

而表示复数z对应点与复数-2-i对应点M间的距离；

再由|OM|==3，可得的最大值为|OM|+1=4；

故选B．

【解析】【答案】由于z满足条件|z|=1的复数z对应点都在以原点O为圆心的单位圆上，而表示复数z对应点与复数-2-i对应点M间的距离；求得|OM|的值，再加上半径1，即为所求．

3、B【分析】由知因为所以在R上是增函数，所以【解析】【答案】B4、D【分析】【解析】所以选D【解析】【答案】D5、A【分析】【解析】略【解析】【答案】A6、C【分析】【解答】解：∵1=+++++++++++++

∵2=1×2；

6=2×3；

30=5×6；

42=6×7；

56=7×8；

72=8×9；

90=9×10；

110=10×11；

132=11×12；

156=12×13；

182=13×14

∴1=+++++++++++++

=（1﹣）+++（﹣）；

+==﹣+=+

∴m=14；n=20；

∴m﹣n=﹣6；

故选：C．

【分析】结合裂项相消法，可得+==﹣+=+解得m，n值，可得答案．7、D【分析】解：三条直线m；n，l，三个平面α，β，γ，知：

在A中，⇒α与β相交或平行；故A错误；

在B中，⇒m与n相交；平行或异面；故B错误；

在C中，⇒l与β相交；平行或l⊂β；故C错误；

在D中，⇒m⊥γ；由线面垂直的判定定理得m⊥γ，故D正确．

故选：D．

在A中；α与β相交或平行；在B中，m与n相交；平行或异面；在C中，l与β相交、平行或l⊂β；在D中，由线面垂直的判定定理得m⊥γ．

本题考查命题真判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．【解析】【答案】D二、填空题(共8题，共16分)8、略

【分析】

因为曲线f（x）=xlnx在点P处的切线平行于直线3x-y=0；

所以切线的斜率k=3；即f'（x）=3．

因为f（x）=xlnx；所以f'（x）=1+lnx；

由f'（x）=1+lnx=3，得lnx=2，所以x=e2，所以y=2e2；

即P的坐标为（e2，2e2）．

故答案为：（e2，2e2）．

【解析】【答案】根据切线与3x-y=0平行得到切线的斜率k=3；然后利用导数求P的坐标即可．

9、略

【分析】

=（x2-cosx）=-cos-（-cos0）=+1

故答案为：+1

【解析】【答案】先求出x+sinx的原函数；然后根据微积分基本定理进行求解即可．

10、略

【分析】

由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质；

一般的思路是：点到线；线到面，或是二维变三维，面积变体积；

由题目中点O在三角形ABC内，则有结论S△OBC•+S△OAC•+S△OAB•=

我们可以推断VO-BCD•+VO-ACD+VO-ABD•+VO-ABC•=

故答案为VO-BCD•+VO-ACD+VO-ABD•+VO-ABC•=

【解析】【答案】本题考查的知识点是类比推理，由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质，一般的思路是：点到线，线到面，或是二维变三维；由题目中点O在三角形ABC内，则有结论S△OBC•+S△OAC•+S△OAB•=的结论是二维线段长与向量的关系式，类比后的结论应该为三维的面积与向量的关系式．

11、略

【分析】

由题意知本题是一个古典概型；

试验发生包含的事件是正方体锯成64个同样大小的小正方体；共有64个结果；

满足条件的事件是恰有2面涂有颜色的；两面涂有颜色的是在正方体的棱上出现；

每条棱上共有2个；有12条棱，共有24个；

根据古典概型概率公式得到P==．

故答案为．

【解析】【答案】本题是一个古典概型；试验发生包含的事件共有64个结果，满足条件的事件是恰有2面涂有颜色的，两面涂有颜色的是在正方体的棱的中间上出现，每条棱上共有2个，有12条棱，共有24个，得到概率．

12、略

【分析】【解析】

因为点A的直角坐标为（1，1，）∵1=rcost1=rsint=z这样可以得到r=,t=z=同理代入球坐标公式中得到为【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】依据算法中的程序框图知其作用是统计茎叶图中数学考试成绩不低于90分的次数，由茎叶图易知共有10次，故输出的结果为10.【解析】【答案】1014、略

【分析】【解析】

试题分析：在圆上其他位置任取一点B，设圆半径为R，则B点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR，其中满足条件AB的长度大于等于半径长度的对应的弧长为•2πR，则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P=故填

考点：本题考查了几何概型概率的求法。

点评：根据已知条件计算出所有基本事件对应的几何量及满足条件的基本事件对应的几何量是解答的关键【解析】【答案】15、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】____三、作图题(共9题，共18分)16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

20、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．21、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．22、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、计算题(共4题，共36分)23、略

【分析】【解析】

（1）由题得又则3分（2）猜想5分证明：①当时，故命题成立。②假设当时命题成立，即7分则当时，故命题也成立。11分综上，对一切有成立。12分【解析】【答案】（1）（2）有成立。24、略

【分析】由题设得则的概率分布为4分。012P故收益的概率分布为。1.622.4P所以=28分12分【解析】【答案】=225、略

【分析】解(1)设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为X，且X=0、1、2、3，X服从超几何分布，高考+资-源-网分布列如下：。X0123P即。X0123P8分(2)10分【解析】【答案】(1)。X0123P(2)2/326、解：当x＜2时；不等式即6﹣2x＞6，解得x＜0．

当2≤x＜4时；不等式即2＞6，解得x无解．

当x≥4时；不等式即x﹣6＞6，解得x＞12．

综上可得，不等式的解集为（﹣∞，0）∪（12，+∞）．【分析】【分析】将绝对值不等式的左边去掉绝对值，在每一段上解不等式，最后求它们的并集即可．五、综合题(共4题，共12分)27、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）28、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=