简单数学建模应用例子

数学建模

简单建模实例2021/6/271建模实例实例一：椅子能在不平的地面上放稳吗？

把椅子往不平的地面上放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需挪动几次，就可以使四脚同时着地，放稳了。这看来似乎与数学无关的现象能够用数学语言以表述，并用数学工具来证实吗？2021/6/272建模实例模型假设：对椅子和地面应该作一些必要的假设。

1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形。2．地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，即地面可视为数学上的连续曲面。3.对椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少三只脚着地。2021/6/273建模实例这里假设1显然是合理的，假设2相应于给出了椅子能放稳的条件，因为如果地面高度不连续，譬如在有台阶的地方是无法使椅子四脚同时着地的，至于假设3是要排除这样的情况：地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相应的范围内，出现深沟或凸峰，致使三只脚无法同时着地。

2021/6/274建模实例模型构成：这里首先要解决的中心问题是用数学语言把椅子四脚同时着地的条件和结论表示出来。首先要用变量表示椅子的位置，注意到椅脚连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。2021/6/275建模实例图中椅脚连线为正方形ABCD，对角线AC与x轴重合椅子绕中心点旋转角度后，正方形ABCD转至A`B`C`D`的位置，所以对角线AC与x2021/6/276建模实例轴的夹角表示了椅子的位置。其次要把椅子脚着地，用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，那么当这个距离为零时就是椅脚着地了，椅子在不同的位置椅脚与地面的距离不同，所以这个距离就是位置变量的函数。2021/6/277建模实例虽然椅子只有四个距离，但是由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A，C两脚与地面的距离之和为f()，B，D两脚与地面的距离之和为g()，f(),g()≥0，由假设2，f与g均是连续函数。由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的，f(),g()中至少有一个为零，当=0时不妨设g()=0,f()>0。2021/6/278建模实例这样，改变椅子的位置，使四脚同时着地，就归结为证明如下数学命题：

已知f()与g()是的连续函数，对任意的，f()g()=0且g(0)=0，f(0)>0.则存在0使f(0)=g(0)=0.2021/6/279建模实例可以看到，引入了变量和函数就把模型的假设条件和椅脚同时着地的结论用简单、精确的数学语言表述出来，从而构成了这个实际问题的数学模型。模型求解上述命题有多种证明方法，这里介绍其中的一种，将椅子旋转900

，对角线AC与BD互换，由于g(0)=0,f(0)>0，可知g(90)>0,f(90)=0.2021/6/2710建模实例令h()=f()-g(),则h(0)>0,h(90)<0,由于f和g的连续性可知，h也是连续函数，根据连续函数的基本性质可知，必存在0（0<0<90）使h(0)=0,即f(0)=g(0).最后由于g(0)f(0)=0，即g(0)=f(0)=0.2021/6/2711建模实例评注：这个模型的巧妙之处在于用一元变量表示椅子的位置，用的两个函数表示椅子的四脚与地面的距离，利用正方形的中心对称及旋转900并不是本质的，大家可以考虑四脚呈长方形的情形（作业）2021/6/2712建模实例例2商人怎样安全过河？三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自已划行，随从们密约，在河的一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河大权掌握在商人手中，商人们怎样才能安全渡河呢？2021/6/2713建模实例这里是要用数学方法求解，一是为了给出建模的示例，二是因为这类模型可以解决相当广泛的一类问题，比逻辑思索的结果容易推广。由于问题已经理想化了，所以不必再作假设。安全渡河问题可以视为一个多步决策过程。每一步即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员作出决策，在保证安全的前题下，在有限步内使人员全部过河，2021/6/2714建模实例用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。问题转化为在状态的充许变化范围内，确定每一步的决策，达到渡河的目标模型的过成：记第k次渡河前此岸的商人数为xk随从数为yk,k=1,2,……，xk,

yk=0,1,2,3，将二维向量sk=(xk,yk)定义为状态，

2021/6/2715建模实例安全渡河条件下的状态集称为允许状态集合，记作S，不难写出S={（x,y）|x=0,y=0,1,2,3;x=y=1,2} -(1)记第k次渡船上的商人数为uk,随从数为vk,将二维向量dk=(uk,vk)定义为决策，允许决集合记作D，由小船的容量可知

D={（u,v）|u+v=1,2}- (2)2021/6/2716建模实例因为k为奇数时船由此岸驶向彼岸，k为奇数时船由彼岸驶回此岸，所以状态sk随决策dk变化的规律是：

sk+1=sk+(-1)kdk-(3)(3)式称状态转移律，这样，制定安全渡河方案归结为如下的多步决策问题：

2021/6/2717建模实例求决策dk∈D(k=1,2,……n)，使状态sk∈S按照转移规律（3），由初始状态s1=(3,3)经有限n步后到达状态sn+1=(0,0).模型求解根据（1）~（3）式通过计算机编写一段程序来求解多步决策问题是可行的，不过当商人和随从数都不多的情况下还可以用图解法解此模型更为方便。2021/6/2718建模实例在xoy坐标系上画出如图所示的方格，方格点上的坐标同时也表示状态s=(x,y).允许状态集是沿方格线移动1或2格，k为奇数时向左、下方移动，k为偶数时向右、上方移动。

要确定一系列的dk使

由s1=(3,3)经过那些

点最终移至原点（0，

0），左图中给出了

一种决策方案，最终

有s12=(0,0).

2021/6/2719建模实例评注这里介绍的模型是一种规格化的方法，使我们可以用计算机求解，从而具有推广意义，譬如当商人和随从人数增加或小船容量加大时，靠逻辑思考就困难了，而这种模型则仍可方便地求解，如商人及随从数各增加1名，小船不变如何求解？

2021/6/2720建模实例例3如何预报人口的增长人口增长是当前世界上引起普遍关注的问题，我们经常在报刊上看见关于人口增长的预报，说到本世纪末，全世界人口将达到多少多少亿，你可以注意到不同报刊对同一时期人口的预报在数字上常有较大差别，这显然是由于用了不同的人口模型计算的结果。2021/6/2721建模实例若今年人口数为x0,k年后人口为xk,年增长率为r，则预报公式为（1）显然，这个公式成立的基本前题是年增长率r保持不变，这个条件在什么情况下才成立，如果不成立又该怎么办。历史上，人口模型的发展过程回答了这个问题。2021/6/2722建模实例早在18世纪人们就开始进行人口预报工作了，一二百年来发展了许多模型，下面将介绍最简单的两种。

指数增长模型（马尔萨斯人口模型）英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766-1834）根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了著名的人口指数增长模型。这个模型的基本假设是：人口的增长率是常数，或者说，单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比。2021/6/2723建模实例记t时刻的人口数为x(t),考查一个国家或一个很大地区的人口时，x(t)是很大的整数。为了利用微分这一工具，将x(t)视为连续、可微函数。记初始时刻的人口为x0，人口增长率为r，r是单位时间内x(t)的增量与x(t)的比例系数，根据r是常数的基本假设，t到t+Δt时间内人口的增长为2021/6/2724建模实例于是x(t)满足如下方程：（2）易知其解为（3）2021/6/2725建模实例上式表明了人口增长的指数规律，此时将t离散化，并认为r较小，则可得（1）式，即（1）为指数增长模型的一种离散形式的近似表示。人们发现，在地广人稀的加拿大领土上，法国移民后代的人口比较符合指数增长模型，而同一血统的法国本土居民人口的增长却远低于这个模型。2021/6/2726建模实例产生上述现象的主要原因是，随着人口的增加，自然资源，环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著，人口增长率会逐渐减少。许多国家人口增长的实际情况完全证实了这一点。为了使人口增长的预期与实际更好地相符，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数的基本假设。2021/6/2727建模实例阻滞增长模型（Logistic模型）将增长率r表示为人口x(t)的函数r(x),按照前面的分析，r(x)应是x的减函数。一个最简单的假设是设r(x)为x的线性函数，r(x)=r-sx,s>0,这里r相当于x=0时的增长率，称为固有增长率，它与指数模型中的增长率r不同，显然，对于任意的x>0，增长率r(x)<r。为确定系数s的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量xm,称为最大人口容量。2021/6/2728建模实例当x=xm时增长率为零，即r(xm)=0,由此确定出s，此时人口增长率函数可以表示为（4）

其中r,xm是根据人口统计数据或经验确定的