北京今年高考数学试卷

北京今年高考数学试卷一、选择题

1.下列哪个函数是奇函数？

A.y=x^2

B.y=x^3

C.y=x^4

D.y=x^5

2.若函数f(x)在x=a处可导，则下列哪个结论一定成立？

A.f(a)存在

B.f'(a)存在

C.f(a)≠0

D.f'(a)≠0

3.下列哪个方程的解集是实数集R？

A.x^2+1=0

B.x^2-1=0

C.x^2+2x+1=0

D.x^2-2x+1=0

4.已知函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，且f(0)=0，f(1)=1，则下列哪个结论一定成立？

A.f(x)在区间[0,1]上连续

B.f(x)在区间[0,1]上可导

C.f(x)在区间[0,1]上的导数恒大于0

D.f(x)在区间[0,1]上的导数恒小于0

5.下列哪个图形表示的是一元二次方程x^2-4x+3=0的解集？

A.

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B.

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C.

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D.

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```

6.下列哪个不等式恒成立？

A.x^2+1>0

B.x^2-1>0

C.x^2+1<0

D.x^2-1<0

7.若函数f(x)在x=a处取得极值，则下列哪个结论一定成立？

A.f(a)是f(x)的最小值

B.f(a)是f(x)的最大值

C.f(a)≠0

D.f'(a)≠0

8.下列哪个图形表示的是一元二次方程x^2-2x+1=0的解集？

A.

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B.

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C.

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D.

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/____\

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9.已知函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，且f(0)=1，f(1)=0，则下列哪个结论一定成立？

A.f(x)在区间[0,1]上连续

B.f(x)在区间[0,1]上可导

C.f(x)在区间[0,1]上的导数恒大于0

D.f(x)在区间[0,1]上的导数恒小于0

10.下列哪个图形表示的是一元二次方程x^2-4x+3=0的解集？

A.

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B.

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C.

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D.

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二、判断题

1.对于任意实数a，函数f(x)=x^3-3ax在x=a处有极值点。（）

2.若函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则函数f(x)在区间[0,1]上必定可导。（）

3.一元二次方程ax^2+bx+c=0的判别式Δ=b^2-4ac，若Δ>0，则方程有两个不相等的实数根。（）

4.对于任意实数x，函数f(x)=sin(x)的值域是[-1,1]。（）

5.若函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，且f(0)=0，f(1)=1，则函数f(x)在区间[0,1]上必定连续。（）

三、填空题

1.若函数f(x)=2x^3-3x^2+4x+1在x=1处取得极值，则该极值点是（）。

2.已知一元二次方程x^2-2ax+1=0的两个实数根之和为2，则a的值为（）。

3.函数f(x)=x^2在x=0处的导数值为（）。

4.若函数f(x)=e^x在x=0处的切线斜率为（），则f(x)的导函数f'(x)=（）。

5.若函数g(x)=x^3在x=2处的导数值是g'(2)=（），则g(x)在x=2处的切线方程为（）。

四、简答题

1.简述函数在一点处可导的必要条件和充分条件，并举例说明。

2.解释什么是函数的极值，并说明如何判断一个函数在某一点处是否取得极值。

3.简述一元二次方程ax^2+bx+c=0的判别式Δ=b^2-4ac的意义，以及如何根据判别式的值判断方程的根的性质。

4.描述拉格朗日中值定理的内容，并给出一个应用该定理的例子。

5.解释函数的周期性和奇偶性的概念，并举例说明如何判断一个函数的周期性和奇偶性。

五、计算题

1.计算函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=2处的导数值f'(2)。

2.求解一元二次方程x^2-6x+8=0的根，并判断根的性质。

3.设函数g(x)=e^x-x，求g(x)在x=0处的切线方程。

4.计算定积分∫(0toπ)sin(x)dx的值。

5.设函数h(x)=ln(x)-x，求h(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值。

六、案例分析题

1.案例分析题：

某公司为了分析其销售数据，建立了以下销售函数S(x)=10x^2-50x+300，其中x表示销售量（单位：百件），S(x)表示销售额（单位：万元）。请根据以下情况进行分析：

a)计算当销售量为50百件时的销售额。

b)分析销售函数的极值点，并判断该极值点对应的销售量是否为最大销售额时的销售量。

c)如果公司的目标是在不增加成本的情况下最大化利润，那么公司应该将销售量控制在什么范围？

2.案例分析题：

一家工厂生产某种产品，其生产成本函数为C(x)=100x+5000，其中x表示生产数量（单位：百件），C(x)表示总成本（单位：元）。该产品的销售价格为每件100元。请根据以下情况进行分析：

a)计算当生产量为200百件时的总利润。

b)分析工厂的边际成本，并说明随着生产量的增加，边际成本如何变化。

c)如果工厂希望至少获得10000元的利润，那么工厂应该生产多少件产品？

七、应用题

1.应用题：

一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，突然刹车后每秒速度减少1.5公里/小时。求汽车刹车到完全停止所需的时间。

2.应用题：

一项工程计划在10天内完成，甲乙两人合作每天可以完成工程的1/3。如果甲单独工作，需要12天才能完成工程。求甲乙两人单独完成这项工程所需的天数。

3.应用题：

一个长方体的长、宽、高分别为x、y、z，体积V=xyz。如果长方体的表面积S=2xy+2xz+2yz，求V关于x、y、z的偏导数。

4.应用题：

某公司进行市场调研，发现其产品的需求量Q与价格P之间的关系可以用函数Q(P)=-P^2+4P-3来描述。假设公司的总成本函数为C(P)=3P^2+2P。求公司的边际利润函数，并计算在价格P=1时的边际利润。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.B

2.B

3.B

4.A

5.A

6.A

7.B

8.A

9.A

10.A

二、判断题答案：

1.×

2.×

3.√

4.√

5.√

三、填空题答案：

1.-4

2.6

3.2

4.1，e^x

5.6，y=3x-4

四、简答题答案：

1.函数在某点可导的必要条件是该点处导数存在，充分条件是该点处导数存在且连续。例如，函数f(x)=x^2在x=0处可导，因为导数f'(x)=2x在x=0处存在且连续。

2.函数在某点取得极值是指该点处的函数值是局部最大或最小值。判断极值的方法包括使用导数或者观察函数的图形。例如，函数f(x)=x^3在x=0处取得局部极小值。

3.判别式Δ=b^2-4ac用于判断一元二次方程的根的性质。若Δ>0，则方程有两个不相等的实数根；若Δ=0，则方程有两个相等的实数根；若Δ<0，则方程没有实数根。例如，方程x^2-2x+1=0的Δ=0，因此有两个相等的实数根x=1。

4.拉格朗日中值定理指出，如果一个函数在闭区间[a,b]上连续，并在开区间(a,b)内可导，那么存在至少一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。例如，函数f(x)=x^2在区间[0,2]上满足中值定理的条件，可以找到c∈(0,2)，使得f'(c)=1。

5.函数的周期性是指存在一个非零常数T，使得对于所有的x，都有f(x+T)=f(x)。奇偶性是指函数关于原点对称，即f(-x)=f(x)为偶函数，f(-x)=-f(x)为奇函数。例如，函数f(x)=sin(x)是周期函数，周期为2π，且是奇函数。

五、计算题答案：

1.f'(2)=2(2)^3-3(2)^2+4(2)-4=16-12+8-4=8

2.根据韦达定理，根的和等于系数的相反数除以二次项系数，即x1+x2=-b/a。因此，a=2。甲单独工作需要12天，所以甲的效率为1/12，乙的效率为1/3-1/12=1/4。乙单独工作需要1/(1/4)=4天。

3.V关于x的偏导数为∂V/∂x=yz，关于y的偏导数为∂V/∂y=xz，关于z的偏导数为∂V/∂z=xy。

4.边际利润函数为P(Q)=Q(P)-C(P)=-P^2+4P-3-(3P^2+2P)=-4P^2+2P-3。当P=1时，边际利润为P(1)=-4(1)^2+2(1)-3=-4+2-3=-5。

题型知识点详解及示例：

一、选择题：考察学生对基础概念的理解和应用能力。例如，选择题1考察了函数的奇偶性，选择题4考察了函数在区间上的连续性和可导性。

二、判断题：考察学生对基础概念的记忆和理解。例如，判断题1考察了函数可导性的条件。

三、填空题：考察学生对基础公式的记忆和应用能力。例如，填空题3考察了导数的计算。

四、简答题：考察学生对理论知识的掌握和运用能力。例如，简答题1考察了