04电力系统电磁暂态过程分析

电力系统稳定分析

第四章电力系统电磁暂态过程分析江全元浙江大学电气工程学院小节目录4.1

电磁暂态过程分析概述4.2

集中参数元件的暂态等值计算电路4.3

单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路4.4暂态等值计算网络的形成及求解4.5

开关操作处理及数值振荡问题4.6

非线性元件的计算方法4.1电磁暂态过程分析概1在电力系统发生故障或操作后，将产生复杂的电磁暂态过程和机电暂态过程，前者主要指各元件中电场和磁场以及相应的电压和电流的变化过程，后者则指由于发电机和电动机电磁转矩的变化所引起电机转子机械运动的变化过程。虽然电磁暂态过程和机电暂态过程同时发生并且相互影响，但是要对它们统一分析却十分复杂。由于这两个暂态过程的变化速度实际上相差很大，在工程上通常近似地对它们分别进行分析。例如，在电磁暂态过程分析中，常不计发电机和电动机的转速变化，而在静态稳定性和暂态稳定性等机电暂态过程分析中，则往往近似考虑或甚至忽略电磁暂态过程。只有在分析由发电机组轴系引起的次同步谐振现象，计算大扰动后轴系的暂态扭矩等问题中，才不得不同时考虑电磁暂态过程和机电暂态过程。4.1电磁暂态过程分析概2电磁暂态过程分析的主要目的在于分析和计算故障或操作后可能出现的暂态过电压和过电流，以便对电力设备进行合理设计，确定已有设备能否安全运行，并研究相应的限制和保护措施。此外，对于研究新型快速继电保护装置的动作原理，故障点探测原理以及电磁干扰等问题，也常需要进行电磁暂态过程分析。由于电磁暂态过程变化很快，一般需要分析和计算持续时间在毫秒级以内的电压、电流瞬时值变化情况，因此，在分析中需要考虑元件的电磁耦合，计及输电线路分布参数所引起的波过程，有时甚至要考虑线路三相结构的不对称、线路参数的频率特性以及电晕等因素的影响。4.1电磁暂态过程分析概3电磁暂态过程的分析方法可以分为两类，一类是应用暂态网络分析仪——TNA（TransientNetworkAnalyzer）的物理模拟方法，另一类是数值计算（或称数字仿真）方法，即列出描述各元件和全系统暂态过程的微分方程，应用数值方法进行求解。随着数字计算机和计算方法的发展，现在已研究和开发出一些比较成熟的数值计算方法和程序。其中由H.W.Dommel创建的电磁暂态程序——EMTP（ElectromegnaticTransientProgram），经过许多人的共同工作进行不断改进和完善后，已具有很强的计算功能和良好的计算精度，并包括了发电机、轴系和控制系统动态过程的模拟，使之能用于次同步谐振问题的分析。这一程序已得到国际上的普遍承认和广泛应用，并仍在继续发展。小节目录4.1

电磁暂态过程分析概述4.2

集中参数元件的暂态等值计算电路4.3

单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路4.4暂态等值计算网络的形成及求解4.5

开关操作处理及数值振荡问题4.6

非线性元件的计算方法4.2集中参数元件的暂态等值计算电路11、电感元件应用梯形积分公式转化为差分方程其中：

，由此可作出电感元件的暂态等值计算电路4.2集中参数元件的暂态等值计算电路21、电感元件电感元件的暂态等值计算电路电感元件的暂态等值计算电路中，是积分计算中反映电感L的等值电阻，当步长

固定时它为定值；是时刻的等值电流源，对于积分的第一个时段，即

时，其按下式计算：

而对于其它时段的等值电流源则可以由前一个时段的计算结果得到，容易得出等值电流源在其它时段的下列递推形式：4.2集中参数元件的暂态等值计算电路32、电容元件电容元件的暂态等值计算电路仿照电感元件的方法可导出电容元件的暂态等值计算电路其中电流源的计算第一个时段其它时段4.2集中参数元件的暂态等值计算电路43、电阻元件它直接描述了t时刻电压和电流之间的关系，因此，其电路本身就是它的暂态等值计算电路。以上给出了单个L、C、R元件的暂态等值计算电路。当一集中参数元件同时含有几个参数（例如R、L串联）时，可以分别作出它们的暂态等值计算电路，然后进行相应的连接。另外．对于并联电抗器和并联电容器等接地元件，可以在暂态等值计算电路中令其接地端电压为零。小节目录4.1

电磁暂态过程分析概述4.2

集中参数元件的暂态等值计算电路4.3

单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路4.4暂态等值计算网络的形成及求解4.5

开关操作处理及数值振荡问题4.6

非线性元件的计算方法4.3单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路1

在电磁暂态过程分析中，输电线路分布参数的影响可以用两种方法处理：一种是将线路适当地分成若干段，每段用Ⅱ型或T型集中参数电路代替，再将基中的各个参数用前面介绍的暂态等值计算电路表示；另一种方法是直接导出并采用线路的暂态等值计算电路。单根无损线路的暂态等值计算电路单根无损线路

设单位长度的电感L0和电容C0均为常数，则可以列出下列偏微分方程：4.3单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路2单根无损线路的暂态等值计算电路将上式改写成二阶波动方程二阶波动方程式中

为沿线电磁波的传播速度。二阶波动方程的通解为：式中，与有关的项反映速度为v的前行波，与有关的项反映速度为v的反行波，为线路的波阻抗。4.3单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路3单根无损线路的暂态等值计算电路

贝瑞隆应用以上两式所表示的任一点电压、电流线性关系，在已知边界条件和起始条件下计算了线路上的电压、电流。这里并不直接应用贝瑞隆法，而是用

以上两式推导线路两端的等值计算电路。分别令

和

，则

，于是得：令上式第一项中,（

为电磁波由线路一端到达另一端所需的时间）。可得上式第一项变为：用上式与上上式第二项进行比较，可以到出：4.3单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路4单根无损线路的暂态等值计算电路上式可改写为其中同理可得其中单根无损线路的暂态等值计算电路等值电流源的递推形式：4.3单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路5线路损耗的近似处理在一般情况下，线路绝缘的漏电损耗很小，常忽略不计。至于电晕所引起的损耗则属于专门研究课题，有兴趣的同学可以参考相关的文献。因此，这里限于考虑线路电阻的影响。当计及线路分布电阻时，就不能象无损线路那样导出其简单的等值计算电路，而在工程计算中往往采用近似的处理方法。例如，在EMTP中，将整个线路适当地分成几段，每段视为无损线路，而将各段的总电阻进行等分后分别集中在该段无损线路的两端。显然，分段数愈多，则愈接近于分布电阻情况。但根据计算经验，在一般线路长度下，分为两段便可满足工程计算的精度要求。4.3单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路6线路损耗的近似处理如图所示线路被等分为两段，并在无损线路

和两端接入电阻（总电阻为R）后的电路图。

将无损线用等值计算电路表示后，可得暂态等值计算电路为避免新增节点，进一步将上述等值计算电路化简4.3单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路7线路损耗的近似处理等值简化后的考虑线损的暂态等值计算电路中的等值电阻和电流源分别为：其中电流源的递推公式为：小节目录4.1

电磁暂态过程分析概述4.2

集中参数元件的暂态等值计算电路4.3

单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路4.4暂态等值计算网络的形成及求解4.5

开关操作处理及数值振荡问题4.6

非线性元件的计算方法4.4暂态等值计算网络的形成及求解1前面介绍的各种元件，在时刻t的等值计算电路都由等值电阻和电流源组成。当电力网由这些元件构成时，将各元件的等值计算电路按照电网的实际接线情况进行相应的连接后，便形成一个由纯电阻和电流源组成的网络。显然，这一网络反映了t时刻各元件本身及其相互之间的电压、电流关系，因此称它为t时刻的暂态等值计算网络，或简称等值计算网络。在t时刻外施电源和各等值电流源都已知的情况下，将可以对等值计算网络进行求解，从而得出该时刻各元件的电压和电流。然后，用所得结果即可求出

时刻备电流源的取值，再求解相应的等值计算网络，便可得出

时刻各元件的电压和电流。这样，从t=0时刻开始，网络电磁暂态过程的计算，实际上便转化为在各个离散时刻对等值计算网络的求解。在计算过程中将涉及到等值计算网络的求解方法、等值电流源的计算和外施电源的处理等问题，现依次介绍如下。4.4暂态等值计算网络的形成及求解2等值计算网络的节点方程在电磁暂态过程计算中，等值计算网络常用以下节点方程来表示。

对于时刻t，节点方程中的u为由该时刻各节点电压所组成的列向量；i为由各节点注入电流组成的列向量（每一节点的注入电流为t时刻等值计算网络中与该节点相连的各等值电流源以及外施电流源的代数和）；G为等值计算网络的节点电导矩阵（它由各元件的等值电阻构成，其形成方法与潮流计算中形成网络节点导纳矩阵Y相仿）。不难看出，当网络中分布参数线路用等值计算电路表示时，由于线路两端无直接联系，矩阵G将比Y更为稀疏。因此，上式常用稀疏技巧求解。4.4暂态等值计算网络的形成及求解3等值电流源的计算为了计算电磁暂态等值计算网络方程

，需求出各个时段各元件等值计算电路中的电流源。对于电感元件，其等值计算电路中的电流源计算：对于第一时段：对于其它时段：对于电容元件，其等值计算电路中的电流源计算：对于第一时段：对于其它时段：4.4暂态等值计算网络的形成及求解4等值电流源的计算对于分布参数线路，计算t=0时刻的电流源时，必须已知

时刻两端的电压和电流。为此有两种典型情况：一种是暂态过程发生前线路已充电至某一电压（对未充电的情况可令

），而两端电流为零，这时两端电流源

均为；另一种是暂态过程前为交流稳态，这时必须先进行相应的潮流计算，求出两端电压和电流的有效值，然后计算并保存电流源在

时的取值。除

时的电流源数值用于t=0时刻的计算外，其它数值将依次用于后面的计算。对无损线路，其等值电流源：对考虑了损耗的线路，其等值电流源：4.4暂态等值计算网络的形成及求解5等值电流源的计算以后每计算一步便可求得新的电流源，并可用它对所保存的电流源进行更新。实际上，一般

并不是

的整倍数【设 】，对此可计算

等时刻的电流源取值，并用插值法求出

时刻的电流源，而当，

则可以应用电流源的递推公式。无损线路等值电流源的递推公式有损线路等值电流源的递推公式4.4暂态等值计算网络的形成及求解6外施电源的处理

外施电源可能是已知的电流源或电压源。对于前者，只需简单地将它计入相应的节点注入电流。对于已知电压源，如果有一电阻元件直接与它串联，则可以将电压源和电阻转化为等值电流源。一般的方法是将网络方程按已知和未知电压节点进行分块，使之变为：式中：和分别为未知和已知电压节点的电压、电流向量。显然为已知量，故由上式可以导出：用上式来求解各未知电压节点的电压

。暂态过程计算的主要流程

考虑具有外施电压源并应用节点方程式进行计算的情况。显然，矩阵

是对称的稀疏矩阵，因此，上式可以用稀疏三角分解进行前代和回代运算而求解。这样，综合以上所介绍的情况，可以得如图所示的电磁暂态过程计算流程。(式2-30)4.4暂态等值计算网络的形成及求解7小节目录4.1

电磁暂态过程分析概述4.2

集中参数元件的暂态等值计算电路4.3

单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路4.4暂态等值计算网络的形成及求解4.5

开关操作处理及数值振荡问题4.6

非线性元件的计算方法4.5开关操作处理及数值振荡问题1在电磁暂态过程计算中，通常需要考虑系统元件的突然短路、断路器操作使触头闭合或分离、过电压造成避雷器间隙击穿或电流过零时电弧熄灭等情况，以及某些情况的相继发生。为了处理上述情况，一般在网络中对所涉及的短路点、断路器两侧和避雷器间隙两端设置相应的节点，用节点之间的闭合或断开来进行模拟。这种节点间的闭合和断开统称为广义的开关操作。实际的开关闭合或断开过程往往比较复杂。例如，断路器在闭合过程中，当外施电压超过触头间所能耐受的强度时便发生预击穿现象；而开断时，在分断电弧过程中，很可能在电流过零以后因触头间的恢复电压超过其介质恢复强度而发生电弧重燃现象。此外，避雷器间隙击穿后所产生的电弧则使间隙两端存在电弧压降。4.5开关操作处理及数值振荡问题2在电磁暂态过程计算中，通常将开关的闭合和断开过程理想化。认为一旦闭合，开关上的压降立即为零；而断开后，流过开关的电流立即为零。常用的开关模型有以下两种。（1）时控开关。开关在给定时刻闭合；而在给定的断开时间后，当开关电流的绝对值小于某给定值或在电流过零时断开。这类开关常用于模拟断路器的操作和突然短路。（2）压控开关。当开关两端间的电压超过某给定值时闭合；而在闭合（或经过一给定延迟时间）后，电流第一次过零时断开。或者在闭合后，当网络中某处电压（或其它量）小于某一给定值时断开。前者常用于模拟间隙击穿或绝缘子闪络，后者则用于非线性元件线性化处理中。4.5开关操作处理及数值振荡问题3目前处理开关操作常用的方法是通过修改电导矩阵来模拟开关操作，具体介绍如下。（一）

用修改节点电导矩阵处理开关操作的方法

为了使计算程序简单，一般希望在处理开关操作时不改变网络的节点数，即不影响节点电导矩阵的阶数。一种简单的方法是，对整个暂态过程中所涉及的开关，在其两端节点间各接入适当的电阻，当开关处在闭合状态时，相应的电阻取足够小的数值，处在断开状态时则取足够大的数值，从而通过修改电阻的取值来模拟开关操作。但是，这种方法会造成一定的计算误差。现在一般采用下面的修改方法。4.5开关操作处理及数值振荡问题4（1）开关闭合时节点电导矩阵的修改

下图图(a)为某开关处于断开状态时,在等值计算网络中其两端节点k、m与相邻节点间连接情况的示意图.图(b)表示该开关闭合的处理方法,即将原来与m点相连的支路改为与k点相连，而新的m点则通过一任意电阻R接至节点k。这样，既反映了开关的闭合又不减少节点数。相应地,节点电导矩阵的修改步骤为：（1）将原电导矩阵的第m行和第m列元素分别加到第正行和第五列对应的元素上，再对元素

追加1/R。（2）将第m行和第m列的元素全部置零，然后令

很明显，若上述m点的编号小于节点忌的编号，则可略为节省矩阵三角分解的计算时间和存贮量。另外，作如上电导矩阵修改时，应相应地将原来注入m点的电流源改为注入节点k。

4.5开关操作处理及数值振荡问题5（1）开关闭合时节点电导矩阵的修改

如果开关一端m点原为接地点，如右图(a)所示，则其处理方法如图(b)所示。

对此，修改节点电导矩阵的步骤为：①将矩阵第k行和第k列的全部元素置零；②令（2）开关断开的处理

由于开关是在其中电流过零时才断开，所以首先需要确定电流过零的时间。为此，在接到断开信息后，仍需继续进行该开关处在闭合状态下的暂态过程数值计算，直至相继的两个计算时刻流过开关的电流变号为止，然后用插值法求出电流过零时间。为了不改变计算步长，可以取靠近此电流过零时间的计算时刻作为开关的实际断开时间。这一方法不难推广到断开条件为开关电流绝对值小于某给定值时的情况。4.5开关操作处理及数值振荡问题6（2）开关断开的处理

为了得到开关断开后的节点电导矩阵，应首先形成并保存所有开关在断开状态下的节点电导矩阵。这样，当某一开关断开时，只要对当时处在闭合状态下的其它各个开关，用前述方法依次对这一电导矩阵进行修改，最后便可得出所要求的电导矩阵。（二）

开关操作可能引起的数值振荡问题

在某些特殊情况下，由于开关操作，可能使暂态过程计算结果出现数值振荡。下面以右图(a)所示情况为例加以说明，假定在计算时刻t0，流过电感的电流正好过零，这时开关实际断开。电感电流在过零前后的变化曲线如图(b)所示。在此情况下，断开后第一步长的梯形积分计算式为：见下页4.5开关操作处理及数值振荡问题7由于对第二步长，计算结果为：对第一步长依此类推。这样，电感电压在开关断开后将呈现的数值振荡，而

的准确解应为零。显然，这种数值振荡现象不是数值不稳定。如果在输出计算结果时取相邻两步长计算结果的平均值，将可得出准确结果。出现上述数值振荡的原因是在计算时刻

前后瞬间(和)电感电流的变化率

产生突变，使电感电压由

突变为，前者为到积分步长的计算结果，而后者等于零。由于在断开后的第一积分步长计算中，一般未考虑这种突变情况[即在式#中用

作为]，从而造成数值振荡。如果取

来计算式#中的等值电流源，便能得出正确结果。式#原因分析4.5开关操作处理及数值振荡问题8

一般地说，当开关操作使电感两端压降或流过电容的电流产生突变时，将可能出现数值振荡现象。虽然这种情况在实际上并不多见，但一旦发生，便会影响计算结果。

消除数值振荡的方法有多种。一种方法是在发生开关操作后的第一个积分步长改用后退欧拉法。对于微分方程：在到位步长内的后退欧拉法积分公式为：相应地，电感元件在一个步长内的计算式为：

由于对应于开关操作后的第一个积分步长

到，上式中将不包含，因此可以避免数值振荡。4.5开关操作处理及数值振荡问题9

为了在应用后退欧拉法时仍保持原来电感的暂态等值电阻，

以免重新形成暂态等值计算网络的节点电导矩阵，可将该步长分为两个的积分步长，它们的后退欧拉法计算式分别为：上式中的等值电流源为：与之前采用隐式梯形积分得到的计算式相比，可以看出，在采用后退欧拉法进行两个

步长计算时，只是等值电流源的计算公式有所不同。显然，网络中其它元件的计算公式也都应作相应的改变。小节目录4.1

电磁暂态过程分析概述4.2

集中参数元件的暂态等值计算电路4.3

单根分布参数线路的贝瑞隆等值计算电路4.4暂态等值计算网络的形成及求解4.5

开关操作处理及数值振荡问题4.6

非线性元件的计算方法4.6非线性元件的计算方法1

非线性元件的参数随其电流、电压乃至频率等运行参数的变化而变化。例如，避雷器具有非线性电阻，变压器和电抗器具有非线性电感。此外，输电线路的电阻、电感是频率的函数，而其等值电容在发生电晕后则是电压的函数。下面仅介绍非线性电阻和电感元件的计算方法。

(一)非线性元件1、非线性电阻

无间隙的氧化锌避雷器和带间隙的碳化硅避雷器，其阀片的非线性伏安特性一般可近似地表示为：式中：c为与阀片尺寸和材料有关的常数；a为与阀片材料有关的恒定指数。

在暂态过程计算中，氧化锌避雷器可以用一个反映上式电流、电压关系的非线性电阻来进行模拟，碳化硅避雷器则可模拟成非线性电阻与一压控开关的串联。当然，这种模型是很近似的，因为阀片的动态伏安特性与上式有所不同，而间隙中的电弧压降特性则更为复杂。4.6非线性元件的计算方法22、非线性电感

电抗器和变压器铁芯的饱和现象使电抗器的电感和变压器的励磁电感为电流的函数，磁链和电感与电流间的非线性特性如右图所示。当计及铁芯的磁滞和涡流损耗时，磁链与电流之间的关系

将呈现图(a)中实线所示的磁滞回线形状。为了模拟这一磁滞回线，可以采用图(b)所示的等值电路。其中，非线性电感模拟图(a)中虚线所示的平均磁化曲线,而并联电阻则用于反映的左、右偏移，其原理解释如下。4.6非线性元件的计算方法3对于上述计及了铁芯的磁滞和涡流损耗的电抗器和变压器的等值电路，其解释如下：当非线性电感中的磁链增加时，等值电路中的电压

，相应地在R中的电流

，使总电流，从而说明R可以反映磁化曲线的向右偏移，即磁滞回线中的磁链上升部分；相反，磁链减少时，因，有，使，即反映了磁滞回线中的磁链下降部分。这样，对于某一磁链以及相应的电压

，为了准确模拟磁滞回线，

的绝对值应正好等于该磁链下回线宽的一半，即R的取值应为：

显然，对于不同的磁链以及电压值，R应取不同的数值才能准确地模拟整个磁滞回线。

在磁链及电压波形为纯正弦的情况下，当

时，电压为最大值

，且。由上式知，R应为：4.6非线性元件的计算方法4对于

的其它取值，也可根据对应的u和，求出相应的R。但实际计算结果表明，它们之间的差别不大。因此，通常取R为恒定电阻，其值由上式决定，式中的w取工频下的角频率w0。当然，也可取R为非线性电阻使结果更为精确。

(二)分段线性化

当考虑上述非线性元件时，描述暂态过程的方程中将含有非线性方程。对此，仍可应用梯形积分法，只是由于非线性差分方程的出现，需要采用迭代法进行求解，使计算工作量增大。一种近似的方法是将元件的非线性特性用折线代替，这样可以保留暂态等值计算网络的线性特性，下面先介绍这种方法。1、非线性电阻的分段线性化

所示为用三段折线代替非线性电阻伏安特性（u>0）的情况。图中折线的方程式为：4.6非线性元件的计算方法5

由上述关系式，并考虑到整个伏安特性对称于原点，可以得出图（b）所示的等值电路。其中，开关

在

时闭合，并在

时断开；开关

在

时闭合，并在

时断开；电压源和在u>0时取正值，而在u<0时取负值。电阻

和由下列两式决定：

这样，非线性电阻便转化为由一些已知电压源、恒定电阻和开关所组成的电路。4.6非线性元件的计算方法62、非线性电感的分段线性化处理如图(a)所示为用两段折线代替非线性电感磁化曲线（部分）时的情况。图中折线的方程式为：同理，考虑到整个磁化曲线与原点对称，由折线方程可以得出非线性电感的等值电路，如图(b)所示。其中，开关S在

时闭合，并在

时断开。电感

与L1、L2之间的关系为：显然，用分段线性化方法处理非线性电阻和电感时，所采用的分段数愈多则结果愈精确。但在大多数情况下，用少量的分段数便足以满足工程需要的精度。4.6非线性元件的计算方法7

分段线性化方法的缺点是，在计算中会产生“过冲”现象。如右图所示，若在某一计算时刻的计算结果对应于图中的a点，经过一个步长后计算结果到达b点，这时越过了第一折线段的范围，显然以后的计算将沿着图中的虚线进行，这样就引起了误差。为了减小这种“过冲’，误差，可以适当地减小积分步长。

(三)补偿法

通常，当直接考虑元件的非线性特性时，需要用迭代法求解差分方程，即求解相应的网络方程。实际上，电力系统中多数元件可以认为是线性的，只在少量节点上接有非线性元件。因此，在每一步长的计算中，可以将线性网络部分与非线性元件部分分开，再将线性网络化简，然后与非线性元件部分进行迭代求解，这样将可以减少计算工作量。这种方法类似于支路开断潮流计算中所用的补偿法。4.6非线性元件的计算方法8

下面以网络中含有两个非线性电阻的情况为例，介绍在

到t步长中的计算步骤。第一步：形成线性网络部分的端口方程在时刻t，暂态等值计算网络可以画成图(a)所示的形式，其中，有源线性网络部分由所有线性元件的等值计算电路及外施电源所组成，非线性电阻分别接于端口I（节点i、j之间）和端口Ⅱ（节点k，l之间）。现在，断开所有的非线性电阻，单独考虑图(b)中的有源线性网络部分。显然，这一网络的节点方程仍可表示为式

的形式，但应注意，其中的

已不是节点的实际电