中考数学二轮复习压轴题培优专练专题06 几何图形的翻折变换问题（原卷版）

专题06几何图形的翻折变换问题几何图形中的翻折变换在中考压轴题中考查比例较高，翻折变换本质上是考查轴对称的相关知识知识，在解决有关翻折问题的压轴题时，需要注意三点：（1）掌握轴对称的有关性质：①关于直线对称的两个图形是全等图形.

②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.

③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.

④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.

（2）掌握折叠图形的性质，例如折叠图形是矩形，那么在解决折叠问题时，就需要结合矩形的性质和轴对称的性质。（3）折叠问题中求解线段的长度，一般要借助勾股定理，列出方程进行求解。 （2022·贵州贵阳·统考中考真题）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上的高，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0边上，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上任意一点，连接SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折得SKIPIF1<0．(1)问题解决：如图①，当SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折后，使点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合，则SKIPIF1<0______；(2)问题探究：如图②，当SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折后，使SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度数，并求出此时SKIPIF1<0的最小值；(3)拓展延伸：当SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折后，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，根据题意在备用图中画出图形，并求出SKIPIF1<0的值．（1）根据等边三角形的性质，平行四边形的性质可得SKIPIF1<0，根据特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据折叠的性质即可求得SKIPIF1<0，由三角形内角和定理可得SKIPIF1<0，根据点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0边上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，最小值为SKIPIF1<0；（3）连接SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，进而根据SKIPIF1<0，即可求解．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)作图见解析，SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上的高，SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0为底边上的高，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0边上，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，最小值为SKIPIF1<0；（3）如图，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0折叠，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．本题考查了轴对称的性质，特殊角的三角函数值，解直角三角形，勾股定理，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．(1)如图一，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0边上有一点D，过点D作SKIPIF1<0于E，SKIPIF1<0于F，过点C作SKIPIF1<0于G.利用面积证明：SKIPIF1<0．(2)如图二，将矩形SKIPIF1<0沿着SKIPIF1<0折叠，使点A与点C重合，点B落在SKIPIF1<0处，点G为折痕SKIPIF1<0上一点，过点G作SKIPIF1<0于M，SKIPIF1<0于N.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．(3)如图三，在四边形SKIPIF1<0中，E为线段SKIPIF1<0上的一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．（1）根据题意，利用等面积法SKIPIF1<0，根据等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即可得到结论；（2）根据题中条件，利用折叠性质得到SKIPIF1<0，结合矩形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，从而有SKIPIF1<0，从而确定SKIPIF1<0是等腰三角形，从而利用（1）中的结论得到SKIPIF1<0，结合勾股定理及矩形性质即可得到结论；（3）延长SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0是等腰三角形，从而由（1）知SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立方程SKIPIF1<0求解得SKIPIF1<0，从而得到结论．【答案】(1)证明见解析；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0【详解】（1）证明：连接SKIPIF1<0，如图所示：SKIPIF1<0在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0边上有一点D，过点D作SKIPIF1<0于E，SKIPIF1<0于F，过点C作SKIPIF1<0于G，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）解：连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，如图所示：根据折叠可知SKIPIF1<0，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是等腰三角形，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0边上有一点G，过点G作SKIPIF1<0于M，SKIPIF1<0于N，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（3）解：延长SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，在四边形SKIPIF1<0中，E为线段SKIPIF1<0上的一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是等腰三角形，SKIPIF1<0由（1）可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，经检验，x=1是方程的解用符合题意，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．本题考查几何综合，涉及到等腰三角形的判定与性质、等面积求线段关系、折叠的性质、勾股定理求线段长、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂题意，掌握（1）中的证明过程与结论并运用到其他情境中是解决问题的关键．1．（2022·湖北武汉·校考三模）（1）如图SKIPIF1<0，在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一动点，将正方形沿着SKIPIF1<0折叠，点SKIPIF1<0落在点SKIPIF1<0处，连接SKIPIF1<0，并延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0求证：SKIPIF1<0；（2）在（1）的条件下，如图SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0边于点SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（3）如图SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为矩形，同样沿着SKIPIF1<0折叠，连接SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为___________SKIPIF1<0（直接写出结果）2．（2022·福建宁德·统考二模）在SKIPIF1<0中，点E是BC的中点，点F在AD上．将四边形ABEF沿EF折叠，得到四边形SKIPIF1<0．(1)利用图1，求证：SKIPIF1<0；(2)如图2，连接BD，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0落在BD上时，求EF的长；(3)如图3，当点SKIPIF1<0恰好落在线段CD上时，求证：直线SKIPIF1<0与直线CD重合．3．（2022·山东淄博·统考二模）在Rt△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为F．(1)如图1，若SKIPIF1<0，请直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；(2)如图2，若SKIPIF1<0，垂足为点G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF．判断四边形ADFC的形状，并说明理由；(3)若SKIPIF1<0，直接写出SKIPIF1<0的度数．4．（2022·四川乐山·统考一模）模型探究：如图1，D、E、F分别为SKIPIF1<0三边BC、AB、AC上的点，且SKIPIF1<0．（1）SKIPIF1<0与SKIPIF1<0