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文档简介

2023届天津市宁河区芦台第一中学高考最后一卷:数学试题试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知正项等比数列满足,若存在两项,,使得,则的最小值为().A.16 B. C.5 D.42.已知x,y满足不等式,且目标函数z=9x+6y最大值的变化范围[20,22],则t的取值范围()A.[2,4] B.[4,6] C.[5,8] D.[6,7]3.如图,在等腰梯形中,,,,为的中点,将与分别沿、向上折起,使、重合为点,则三棱锥的外接球的体积是()A. B.C. D.4.如图所示,正方体的棱,的中点分别为,,则直线与平面所成角的正弦值为()A. B. C. D.5.已知为虚数单位,若复数满足,则()A. B. C. D.6.如图,在平面四边形中,满足,且,沿着把折起,使点到达点的位置,且使,则三棱锥体积的最大值为()A.12 B. C. D.7.某几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积(单位:)为()A. B.6 C. D.8.下图为一个正四面体的侧面展开图,为的中点,则在原正四面体中,直线与直线所成角的余弦值为()A. B.C. D.9.已知等比数列满足,,则()A. B. C. D.10.已知,,是平面内三个单位向量,若,则的最小值()A. B. C. D.511.已知,复数,,且为实数,则()A. B. C.3 D.-312.在长方体中,,则直线与平面所成角的余弦值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,若的展开式中的系数比x的系数大30,则______.14.一次考试后,某班全班50个人数学成绩的平均分为正数,若把当成一个同学的分数,与原来的50个分数一起,算出这51个分数的平均值为,则_________.15.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上,,是边长为2的正三角形,,则球的体积为__________.16.记等差数列和的前项和分别为和,若,则______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体,给人于美的享受.如图(1)为一花窗;图(2)所示是一扇窗中的一格,呈长方形,长30cm,宽26cm,其内部窗芯(不含长方形边框)用一种条形木料做成,由两个菱形和六根支条构成,整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称.设菱形的两条对角线长分别为xcm和ycm,窗芯所需条形木料的长度之和为L.(1)试用x,y表示L;(2)如果要求六根支条的长度均不小于2cm,每个菱形的面积为130cm2,那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料(不计榫卯及其它损耗)?18.(12分)在四棱锥中,底面是平行四边形,为其中心,为锐角三角形,且平面底面,为的中点,.(1)求证:平面;(2)求证:.19.(12分)语音交互是人工智能的方向之一,现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小爱同学”智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音箱,它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.某经销商为了了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度,从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精灵”的人,具体数据如下:“小爱同学”智能音箱“天猫精灵”智能音箱合计男4560105女554095合计100100200(1)若该地区共有13000人购买了“小爱同学”,有12000人购买了“天猫精灵”,试估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多多少人?(2)根据列联表,能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关?附:0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820.(12分)有最大值,且最大值大于.(1)求的取值范围;(2)当时,有两个零点,证明:.(参考数据:)21.(12分)已知椭圆的右顶点为,点在轴上,线段与椭圆的交点在第一象限,过点的直线与椭圆相切,且直线交轴于.设过点且平行于直线的直线交轴于点.(Ⅰ)当为线段的中点时,求直线的方程;(Ⅱ)记的面积为,的面积为,求的最小值.22.(10分)已知函数,其中为自然对数的底数.(1)若函数在区间上是单调函数,试求的取值范围;(2)若函数在区间上恰有3个零点,且,求的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】

由,可得,由,可得,再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.【详解】设等比数列公比为,由已知,,即,解得或(舍),又,所以,即,故,所以,当且仅当时,等号成立.故选:D.【点睛】本题考查利用基本不等式求式子和的最小值问题,涉及到等比数列的知识,是一道中档题.2.B【解析】

作出可行域,对t进行分类讨论分析目标函数的最大值,即可求解.【详解】画出不等式组所表示的可行域如图△AOB当t≤2时,可行域即为如图中的△OAM,此时目标函数z=9x+6y在A(2,0)取得最大值Z=18不符合题意t>2时可知目标函数Z=9x+6y在的交点()处取得最大值,此时Z=t+16由题意可得,20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故选:B.【点睛】此题考查线性规划,根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围,涉及分类讨论思想,关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.3.A【解析】

由题意等腰梯形中的三个三角形都是等边三角形,折叠成的三棱锥是正四面体,易求得其外接球半径,得球体积.【详解】由题意等腰梯形中,又,∴,是靠边三角形,从而可得,∴折叠后三棱锥是棱长为1的正四面体,设是的中心,则平面,,,外接球球心必在高上,设外接球半径为,即,∴,解得,球体积为.故选:A.【点睛】本题考查求球的体积,解题关键是由已知条件确定折叠成的三棱锥是正四面体.4.C【解析】

以D为原点,DA,DC,DD1分别为轴,建立空间直角坐标系,由向量法求出直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值.【详解】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,则,,,取平面的法向量为,设直线EF与平面AA1D1D所成角为θ,则sinθ=|,直线与平面所成角的正弦值为.故选C.【点睛】本题考查了线面角的正弦值的求法,也考查数形结合思想和向量法的应用,属于中档题.5.A【解析】分析:题设中复数满足的等式可以化为,利用复数的四则运算可以求出.详解:由题设有,故,故选A.点睛:本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数,属于基础题.6.C【解析】

过作于,连接,易知,,从而可证平面,进而可知,当最大时,取得最大值,取的中点,可得,再由,求出的最大值即可.【详解】在和中,,所以,则,过作于,连接,显然,则,且,又因为,所以平面,所以,当最大时,取得最大值,取的中点,则,所以,因为,所以点在以为焦点的椭圆上(不在左右顶点),其中长轴长为10,焦距长为8,所以的最大值为椭圆的短轴长的一半,故最大值为,所以最大值为,故的最大值为.故选:C.【点睛】本题考查三棱锥体积的最大值,考查学生的空间想象能力与计算求解能力,属于中档题.7.D【解析】

根据几何体的三视图,该几何体是由正方体去掉三棱锥得到,根据正方体和三棱锥的体积公式可求解.【详解】如图,该几何体为正方体去掉三棱锥,所以该几何体的体积为:,故选:D【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图以及体积的求法,考查了空间想象力,属于中档题.8.C【解析】

将正四面体的展开图还原为空间几何体,三点重合,记作,取中点,连接,即为与直线所成的角,表示出三角形的三条边长,用余弦定理即可求得.【详解】将展开的正四面体折叠,可得原正四面体如下图所示,其中三点重合,记作:则为中点,取中点,连接,设正四面体的棱长均为,由中位线定理可得且,所以即为与直线所成的角,,由余弦定理可得,所以直线与直线所成角的余弦值为,故选:C.【点睛】本题考查了空间几何体中异面直线的夹角,将展开图折叠成空间几何体,余弦定理解三角形的应用,属于中档题.9.B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=,选B.10.A【解析】

由于,且为单位向量,所以可令,,再设出单位向量的坐标,再将坐标代入中,利用两点间的距离的几何意义可求出结果.【详解】解:设,,,则,从而,等号可取到.故选:A【点睛】此题考查的是平面向量的坐标、模的运算,利用整体代换,再结合距离公式求解,属于难题.11.B【解析】

把和代入再由复数代数形式的乘法运算化简,利用虚部为0求得m值.【详解】因为为实数,所以,解得.【点睛】本题考查复数的概念,考查运算求解能力.12.C【解析】

在长方体中,得与平面交于,过做于,可证平面,可得为所求解的角,解,即可求出结论.【详解】在长方体中,平面即为平面,过做于,平面,平面,平面,为与平面所成角,在,,直线与平面所成角的余弦值为.故选:C.【点睛】本题考查直线与平面所成的角,定义法求空间角要体现“做”“证”“算”,三步骤缺一不可,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.2【解析】

利用二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,求得的值.【详解】展开式通项为:且的展开式中的系数比的系数大,即:解得:(舍去)或本题正确结果:【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.14.1【解析】

根据均值的定义计算.【详解】由题意,∴.故答案为:1.【点睛】本题考查均值的概念,属于基础题.15.【解析】

由题意可得三棱锥的三条侧棱两两垂直,则它的外接球就是棱长为的正方体的外接球,求出正方体的对角线的长,就是球的直径,然后求出球的体积.【详解】解:因为,为正三角形,所以,因为,所以三棱锥的三条侧棱两两垂直,所以它的外接球就是棱长为的正方体的外接球,因为正方体的对角线长为,所以其外接球的半径为,所以球的体积为故答案为:【点睛】此题考查球的体积,几何体的外接球,考查空间想象能力,计算能力,属于中档题.16.【解析】

结合等差数列的前项和公式,可得,求解即可.【详解】由题意,,,因为,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式及等差中项的应用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)【解析】试题分析:(1)由条件可先求水平方向每根支条长,竖直方向每根支条长为,因此所需木料的长度之和L=(2)先确定范围由可得,再由面积为130cm2,得,转化为一元函数,令,则在上为增函数,解得L有最小值.试题解析:(1)由题意,水平方向每根支条长为cm,竖直方向每根支条长为cm,菱形的边长为cm.从而,所需木料的长度之和L=cm.(2)由题意,,即,又由可得.所以.令,其导函数在上恒成立,故在上单调递减,所以可得.则=.因为函数和在上均为增函数,所以在上为增函数,故当,即时L有最小值.答:做这样一个窗芯至少需要cm长的条形木料.考点:函数应用题18.(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】

(1)通过证明,即可证明线面平行;(2)通过证明平面,即可证明线线垂直.【详解】(1)连,因为为平行四边形,为其中心,所以,为中点,又因为为中点,所以,又平面,平面所以,平面;(2)作于因为平面平面,平面平面,平面,所以,平面又平面,所以又,,平面,平面所以,平面,又平面,所以,.【点睛】此题考查证明线面平行和线面垂直,通过线面垂直得线线垂直,关键在于熟练掌握相关判定定理,找出平行关系和垂直关系证明.19.(1)多2350人;(2)有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.【解析】

(1)根据题意,知100人中购买“小爱同学”的女性有55人,购买“天猫精灵”的女性有40人,即可估计该地区购买“小爱同学”的女性人数和购买“天猫精灵”的女性的人数,即可求得答案;(2)根据列联表和给出的公式,求出,与临界值比较,即可得出结论.【详解】解:(1)由题可知,100人中购买“小爱同学”的女性有55人,购买“天猫精灵”的女性有40人,由于地区共有13000人购买了“小爱同学”,有12000人购买了“天猫精灵”,估计购买“小爱同学”的女性有人.估计购买“天猫精灵”的女性有人.则,∴估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多2350人.(2)由题可知,,∴有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.【点睛】本题考查随机抽样估计总体以及独立性检验的应用,考查计算能力.20.(1);(2)证明见解析.【解析】

(1)求出函数的定义域为,,分和两种情况讨论,分析函数的单调性,求出函数的最大值,即可得出关于实数的不等式,进而可求得实数的取值范围;(2)利用导数分析出函数在上递增,在上递减,可得出,由,构造函数,证明出,进而得出,再由函数在区间上的单调性可证得结论.【详解】(1)函数的定义域为,且.当时,对任意的,,此时函数在上为增函数,函数为最大值;当时,令,得.当时,,此时函数单调递增;当时,,此时函数单调递减.所以,函数在处取得极大值,亦即最大值,即,解得.综上所述,实数的取值范围是;(2)当时,,定义域为,,当时,;当时,.所以,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.由于函数有两个零点、且,,,构造函数,其中,,令,,当时,,所以,函数在区间上单调递减,则,则.所以,函数在区间上单调递减,,,即,即,,且,而函数在上为减函数,所以,,因此,.【点睛】本题考查利用函数的最值求参数,同时也考查了利用导数证明函数不等式,利用所证不等式的结构构造新函数是解答的关键,考查推理能力与计算能力,属于难题.21.(Ⅰ)直线的方程为(Ⅱ)【解析】

(1)设点,利用中点坐标公式表示点B,并代入椭圆方程解得,从而求出直线的方程;(2)设直线的方程为:,表示点,然后联立方程,利用相切得出,然后求出切点,再设出设直线的方程,求出点,利用两点坐标,求出直线的方程,从而求出,最后利用以上已求点的坐标表示面积,根据基本不等式求最值即可.【详解】解:(Ⅰ)由椭圆,可得:由题意:设点,当为的中点时,可得:代入椭圆方程,可得:所以:所以.故直线的方程为.(Ⅱ)由题意,直线的斜率存在且不为

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