分离变量法-2知识课件

数学物理方法第二章分离变量法(MeshodofFourior)分离变量法有界弦的自由振动有限长杆上的热传导圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题非齐次方程的解法非齐次边界条件的处理关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论物理学、工程技术领域的许多问题，都可以归结为偏微分方程的定解问题。偏微分方程定解条件求满足它们的解（定解问题）在微积分学中:多元函数的微分积分(转化为)一元函数的微分积分分离变量法:偏微分方程(定解问题)(转化为)常微分方程的求解主导思想：在讨论常系数、线性、齐次常微分方程的初值问题时，求出足够多的特解线性迭加这些足够多的特解使之满足初始条件常微分方程——不但含有未知函数，而且还含有未知函数的导数，且自变量只有一个，称之为常微分方程。线性——未知函数，以及未知函数的导数都是一次幂，称之为线性。通解——一般地讲，一阶常微分方程含有一个任意常数的解，称之为通解。特解——确定了任意常数的解，称之为特解。一般来说，当初始条件给定之后，满足初始条件的特解只有一个。启发：求出足够多的,满足边界条件的,具有变量分离形式的特解.线性组合这些足够多的特解使之满足初始条件从物理学知,乐器发出的声音,可以分解为各种不同频率的单音,每种单音振动时所形成的正弦曲线,其振幅依赖于时间t.为此,特解可表示为的形式.特点:中的变量被形式上分离为振幅-关于时间t位相-关于坐标x一、对此，试探性提出方程组中第一个方程的分离变量形式的非零解（特解）上式分别对x、t求偏导上面的结果，反回去代入原方程，得或若要两边恒等，只有都等于一个常数。这样，变量被分离了，同时得到两个常微分方程！二、捆绑边界条件由于将其与方程组中的边界条件捆绑由由其中，。盖由于，则所涉及的解，显然不是我们所需要的（零解！！！）。由此可见，只有。将此结果与所得到的常微分方程中的第二个方程（关于X）联立三、在右列方程组中，解出非零的。以下的任务：确定λ取何值时，方程有满足条件的非零解；求出这个非零解。λ——本征值λ——本征值问题λ——本征函数以下，针对λ，分三种情况来讨论：（1）.设λ<0.此时方程的通解为由边界条件得联立求解得即,不符合非零解的要求,舍去!（2）.设λ=0.此时方程的通解为由边界条件得联立求解又得即,不符合非零解的要求,再舍去!（3）.设λ>0.并令λ=β2(β为非零实数),此时方程的通解为由边界条件得由于β不能为零(否则),所以只有,即从而有:.由此,求出了关于的本征值问题.四、回过头来求函数以本征值代入右边第一式,得显然,其通解为将和一并代入,经整理后得其中,为任意常数.五、求满足(捆绑)初始条件的解为求原定解问题的解,将前面所得到的包含任意常数的解迭加起来右端分析:由迭加原理知,无穷级数是收敛的;都可以对x,t逐项微分2次;也满足原偏微分方程和边界条件.任务:选择适当的使满足初始条件.为此,必须有反过来,回头看,这正是一种展开式!原来,,分别是,在区间上,按照完备的三角函数系展开的傅立叶级数的展开系数.也就是关于解的存在性:由上式所确定的,确实是的解.其中的系数由确定之外,还要求(应该满足):所得到的级数收敛;且能对逐项微分两次.有鉴于此,只需要对,附加一些条件限制,一般情况下都能满足.即如果(1).三次连续可微,两次连续可微.(2).且关于原定解问题的形式解:倘若不满足上述条件,由边界条件和初始条件所确定的不具备古典解的要求,那么它只能是原定解问题的一个形式解.依据实变函数理论,只要在上是可积的,函数列(展开式)分别收敛于,则其中仍然有前面展开系数公式确定.分别收敛于,则其中仍然有前面展开系数公式确定.如果将原方程中的初始条件代之以和,则相应的定解问题的解为所以,当n很大时,作为近似解,它平均收敛的极限是,这也是很有实际意义的.关于综合工作:变量被分离之后捆绑边界条件捆绑初始条件得到的解——称为形式解这种形式上推导解的过程，被称为分析过程。要证明它满足方程和定解条件，还必须进行验算。从偏微分方程的方法论考虑：大多数情况下，先求形式解；再验证它就是古典解。验证的过程，被称为综合过程。本书仅限于求形式解，认定定解问题已经解决。分离变量流程图举例:例1.设一根长为10个单位的细弦,两端固定,初速为零,初位移与材料有关的量,求弦作微小横振动时的位移.解:其定解问题为显然,这个问题的傅立叶级数形式解可由给出,其中给出,其中n为偶数n为奇数因此,所求的解为例2.解下列定解问题例1.定解问题分析:对比上面两个定解问题,与例1所不同的是,这一端的边界条件已经不是第一类齐次边界条件,而是第二类齐次边界条件.第二类齐次边界条件第一类齐次边界条件一、对此，试探性提出方程组中第一个方程的分离变量形式的非零解（特解）上式分别对x、t求偏导上面的结果，反回去代入原方程，得或若要两边恒等，只有都等于一个常数。这样，变量被分离了，同时得到两个常微分方程！二、捆绑边界条件由于将其与方程组中的边界条件捆绑由由其中，。因为如果，则所涉及的解，显然不是我们所需要的（零解！！！）。由此可见，只有。将此结果与所得到的常微分方程中的第二个方程（关于X）联立组成了关于的本征值问题三、在右列方程组中，解出非零的。重复前面的讨论,只有当时,本征值问题才有非零解,此时的通解仍为代入边界条件:,得由于,故,即从而求得了一系列本征值与本征函数本征值本征函数四、回过头来求函数将这些本征值,回过头代入右上角黄色背景的方程中,其通解为将和一并代入,经整理后得到了既满足泛定方程,又满足边界条件的一组分离变量形式的特解关于t的关于x的五、求满足(捆绑)初始条件的解利用初始条件,确定上面方程中的任意常数故,所求之解为二、有限长杆上的热传导设有一均匀细杆,长为,两端点的坐标为和,杆的侧面是绝热的,且在左端点处,温度为零摄氏度,而在另一端处,杆的热量自由发散到周围温度为零的介质中去,(参考第一章第一节中的第三类边界条件,并注意在杆的右端截面外法向与轴正方向重合).左端点处温度为零右端面外法向与x轴正向重合热量流动的方向(高温→低温)周围温度为零已知:初始温度分布为求:杆上的温度变化规律?左端点处温度为零右端面外法向与x轴正向重合热量流动的方向(高温→低温)周围温度为零解:这是一个定解问题,其一维热传导方程为其中边界条件为其中介质的热传导系数杆的热传导系数左端温度为零?当杆与外界有热交换时,热量由杆内(高温)向杆外(低温)流动,而温度梯度的方向,则是指向温度升高的方向.因此,由傅立叶热学实验知周围介质的温度为零初始条件为于是,定解问题为,0,0,222><<¶¶=¶¶tlxxuatu一、对此，试探性提出方程组中第一个方程的分离变量形式的非零解（特解）上式分别对x、t求偏导上面的结果，反回去代入原方程，得或若要两边恒等，只有都等于一个常数。这样，变量被分离了，同时得到两个常微分方程！二、捆绑边界条件,解出方程的非零解为依据边界条件,由以下的任务,就是要求出β为求,令即上面方程的根,可视为曲线交点的横坐标.取正根（负根仅差一符号）无穷多．因此，求得了关于方程的本征值：本征函数：三、在右列方程组中，解出非零的。因此，四、写出叠加形式的解，并捆绑初始条件，确定任意常数。,0,0,222><<¶¶=¶¶tlxxuatu由于泛定方程和边界条件都是齐次的,所以问题:能否展成级数形式?如何确定?只要求在上满足Dirichlet(狄利克雷)条件:(1)在有定义,且单值;(2)为周期函数,且周期为;(3)与在内分段连续;(1)、(2)、（3）是充分的！但不是必要的！而在实际中，这些条件通常是满足的。目前为止，尚不清楚傅立叶级数充分且必要的条件到底是什么！！用展开的级数，去逼近一个函数，这是有限与无限之间的辨证关系。回忆傅氏级数展开系数公式的由来，是依据函数的正交性。考察函数系，在上正交且完备，那么由初始条件于是，在的两端，乘以，然后在上积分，于是，在的两端，乘以，然后在上积分，这里，令：于是有即为最终结果。将上述，代入三、圆形域内的二维Laplace方程的定解问题一个半径为的薄圆盘,上下两面绝热,圆周边缘温度分布为,求达到稳恒状态时圆盘内的温度分布.定解问题:由第一章知道,热传导问题达到稳恒状态时温度分布与时间无关即,应满足拉普拉斯方程.因此,写成极坐标形式的定解问题泛定方程边界条件——边缘温度同时，考虑到自变量变化的特点，有和即中心点的温度有限（有界）坐标系中指同一点温度不变以下，求满足一个方程和三个边界条件所构成的定解问题的解。一、对此，试探性提出方程组中泛定方程的分离变量形式的非零解（特解）令:代入泛定方程,得分离变量后,得惟有等于常数从而得到两个常微分方程改写上述边界条件由此,组成了两套常微分方程的定解问题和二、解方程（定解）在分析上述两组方程时,可以看出第一组方程中有满足可加性（即叠加起来仍然是本身的解）。为此，先从第一组方程下手。这正是Euler方程（1）.求本征值λ如法炮制，当：时，不符合非零解的要求，舍去!时，解为（常数），亦舍去！时，取，这时方程的解为联合边界条件，考虑到以为周期，必须为整数（只取正整数）取解的表示为本征值本征函数（2）.求另组一方程的本征函数Euler方程的通解为为了保证，那么只有，即本征函数因此，方程满足边界条件的解，可以表示为级数式中（3）.利用叠加原理，写出解。合并系数（4）.确定系数定解。利用边界条件得显然，这里的，正是展开为傅立叶级数时的系数，即将这些系数代入，即得到所求的解。为了理论上讨论方便计，我们已经固定的把傅立叶展开系数代入到之中，并经过简化后得到并利用已知的恒等式（证明详见教科书P35）这个解，称为圆域内的泊松（poisson）公式，它的理论意义是把解写成了积分的形式。Poisson积分公式——Laplace方程，在圆域内的第一类边界条件的解。（事实上，由解析函数的Cauchy积分公式，也可以推出这个结果。）四、非齐次方程的解法之前，我们所讨论的偏微分方程都限于齐次的，以下将要讨论非齐次方程的解法。不失为普遍性，现以弦的受迫振动为例，所用的方法对其它同类型的方程解法，可以起到抛砖引玉的作用。问题：一根细弦，两端固定，在受到强迫力作用下振动，受迫振动定解问题:受迫振动物理状态分析:弦的振动初始状态的自由振动由强迫力引起的振动视为两种振动的合成(运动之叠加)弦的振动初始状态的自由振动视为两种振动的合成(运动之叠加)由强迫力引起的振动由此得到启发，我们可以假设其解为其中表示仅由强迫力引起弦振动的位移，它满足而表示仅由初始状态引起弦振动的位移，它满足从物理学的观点来看，叫运动的叠加从军事学的观点来看，叫各个击破，分而食之。原非齐次方程定解问题泛定方程为非齐次，但边界条件和初始条件，变得较为简单的定解问题。泛定方程变为齐次，但边界条件和初始条件，未发生变化的定解问题。并且这样的问题，前面已经解决——齐次问题，用分离变量法解决。通过前面的分析，我们已经认识到：对于齐次问题，可以用分离变量法求解；而对于下面已经简化了的非其次问题，通常采用的——参数变易法求解。参数变易法的主导思想：非齐次定解问题的解分解为无穷多个驻波的叠加其驻波的波形，由齐次方程经分离变量后，所得到之本征值与本征函数确定。1.设（试探性）上述非齐次定解问题的解，具有如下形式其中，为待定函数！2.确定将强迫项也按照本征函数展开其中，展开系数为将上面两个黄色背景的假设和结果代入泛定方程中，得到由此得到相应的初始条件变化为这样一来，确定函数，只需要解下面的定解问题关注：V→v在上面的泛定方程两端，取关于的Laplace变换，得

解出：由于的逆Laplace变换为，利用Laplace变换的卷积定理，即得到将上面的结果，代入最初假设，于是得到将这个解，与下面齐次方程所解出的按照相叠加，就得到原定解问题的解。回顾：对于非齐次偏微分方程对于非齐次项按照本征函数系展开再按照本征函数系展开联合（捆绑）边界条件尽管方程与边界条件千变万化，但总是把非齐次方程的解，按照相应的本征函数展开。所以这种方法也称为——本征函数法。例在圆环域内，求下面定解问题：解因为求解区域为圆环，选用平面极坐标较为方便。利用关系可将上述定解问题用极坐标的变量表示。非齐次方程齐次边界条件运用本征函数法——这是一个非齐次方程，附加有齐次边界条件的定解问题。参考圆域内Laplace方程所对应的本征函数（教科书P34.——2.32式）令上面定解问题具有分离变量形式的解（试探）将这个形式解，代入泛定方程，并经整理后得比较上式两端关于的系数，得再由边界条件（捆绑），得上面两个方程，都是齐次Euler方程，它们的通解分别为其中，，都是任意常数，考虑到之前捆绑边界条件的结果以下，确定显然，这是一个非齐次的Euler方程，利用待定系数法，可以求得它的一个特解显然，这是一个非齐次的Euler方程，利用待定系数法，可以求得它的一个特解（特解，且有特别的系数）因此，它的通解为再由边界条件（捆绑），所得的结果，确定上式的因此故原定解问题的解为（原求和符号自动消失。）五、非齐次边界条件的处理——非齐次边界条件的齐次化回顾以前：无论泛定方程是齐次非齐次对应的边界条件都是齐次的倘若边界条件是非齐次的新问题？将其转化为齐次以适当的未知函数代换设定解问题:为了将边界条件转成齐次，为此令：使的边界为齐次适当选取这一部分解的结构简单，但边界条件为非齐次。这一部分解的结构复杂，但边界条件为齐次。如何选取齐次化函数W（x，t）？因为仅要求满足右列边界条件，所以有相当大的选择余地。如果把看成是参数，这就只要求在平面上的曲线，通过给定的两点和即可。因为仅要求满足右列边界条件，所以有相当大的选择余地。如果把看成是参数，这就只要求在平面上的曲线，通过给定的两点和即可。如何选取齐次化函数W（x，t）？适当选取例如，可取直线代入边界条件，即可定出：例如，也可取抛物线代入边界条件，即可定出：或，代入边界条件，即可定出：适当选取由右列边界条件确定由：理所当然，函数例如，可取直线必定满足边界条件。因此，只要作代换就能使新的未知函数，满足齐次的边界条件.回过身来，解决关于新的函数——（齐次）的定解问题.由此解出代入得解其中可由上一节非齐次方程的解法，去求这个将非齐次边界的矛盾，转嫁到泛定方程和初始条件中的定解问题。讨论：适当选取例如，可取直线其目的是使上面三个表达式简单一些。若都与无关，所选取的当然也与无关。这时，使得与边界为齐次的求解，将更为简洁。t若边界条件不全是第一类（边界上给出了未知函数的数值，即，这种形式的边界条件。）的，本节的方法仍然适用，只是函数的形式不同而已。非齐次边界条件的齐次化：到目前为止，除了在稳定问题中需要有一部分边界条件用于确定叠加系数、因此允许是非其次之外，原则上我们总是要求边界条件是齐次的。为什么总是要求边界条件是其次的呢？其一、非齐次边界条件不能分离变量；其二、只有满足齐次方程和齐次边界条件的特解叠加起来，才能满足齐次方程和齐次边界条件；其三、最根本的原因，涉及到本征函数的完备性。选择不同的齐次化函数，导出的所对应的定解问题当然也不同，求出的也就不同。但是，定解问题的解的存的唯一性，保证了最后给出的一定是相同的，尽管表达的形式可能有所不同。实施分离变量法应该注意的几个问题：一、根据边界条件的形状，选取适当的坐标系。选取的原则是：使用对应的坐标系，边界条件的表达式最为简单。如圆、圆环、扇形区域→极坐标系；圆柱形区域→柱坐标系；球形区域→球坐标系。二、若边界条件是非齐次的，又没有其它可利用的条件来确定特征函数，则无论方程是齐次还是非齐次，必须首先作函数的代换，使其转化为齐次边界条件问题，方可进行求解。三、非齐次方程、非齐次边界条件的定解问题（无论初始条件如何），一定要将其转化为：非齐次方程+齐次边界条件来处理。例1求下列定解问题的形式解，其中均为常数。代入泛定方程，得解这个定解问题的特点是：方程与边界条件都是非齐次的。依据前述原则，首先应将边界条件齐次化。由于泛定方程的强迫项（外力引起）以及边界条件都与无关，所以有可能通过一次代换，将泛定方程和边界条件都变成齐次的，具体做法如下：令为了使这个泛定方程与边界条件都化成齐次，选择满足上面的方程组，是一个二阶常系数线性齐次方程的边值问题，它的解可以通过两次积分求得由假设，并代入原定解问题，得到下面采用分离变量法，可得右列泛定方程和齐次边界条件的解利用初始条件中的可得于是，由上角关于定解问题的解为捆绑初始条件中的得到即其中，系数，可由傅立叶级数展开系数公式确定，即因此，原定解问题的解为其中，Cn由左列展开系数直接代入例2解下列定解问题其中，均为常数。,0,0,222><<¶¶=¶¶tlxxuatu这里所遇到的泛定方程，与第二节（有限长杆上的热传导P29.）中所讨论的泛定方程相比较，多了一项，但它仍然是线性齐次方程，故还能用分离变量法求解。而且，在以下求解过程中可以看到，泛定方程里尽管多出了一项，然而它不会带来本质上的困难。解首先，将边界条件化为齐次，为此令代入原定解问题得到显然，上述定解问题，可以分为如下两个定解问题：Ⅰ.Ⅱ.六、关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论1.常微分方程在齐次边界条件下的本征值以及本征函数（1）有界弦的自由振动（2）有限长杆上的热传导（3）圆形域内Laplace方程的定解问题（n为正整数）2.分离变量法的实质将时间变量，视为参变量；将空间变量，按本征函数展成Fourier级数。适用范围：（1）泛定方程与边界条件为线性；（2）边界条件为齐次（圆域、圆环域例外）；（3）区域为有界的、规则的（区域边界易于以简单方程表示）。3.按照本征函数系展开的依据如1.中的问题（1）、（3），按照本征函数展开，理所当然。但是，2.中的问题本征函数系，而情况又将会怎样呢？回答是肯定的。若本征函数系是一个正交、完备系，也可以按Fourier级数展开。特别考虑如下方程：不