2023-2024学年江苏省泰州市兴化市高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省泰州市兴化市2023-2024学年高二上学期期末数学试题注意事项：1.本试卷共分两部分，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题.2.所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上的无效.第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1.已知直线：，：，若，则（）A.－1 B.3 C. D.【答案】D【解析】因为直线，且，故，解得.故选：D2.设数列是等比数列，且，，则（）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】A【解析】设等比数列的公比，因为，，则，解得，所以.故选：A3.已知直线l：，圆C：，若圆C上恰有三个点到直线l的距离为1，则（）A.1 B.3 C. D.4【答案】B【解析】由题意得，，则点C到直线l的距离为，圆C上恰有三个点到直线l的距离为1，则如图所示，直线l交圆于A、B垂直半径于，.故，故.故选：B4.已知数列首项为2，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知得，，则当时，有，经检验当时也符合该式．∴.故选：D5.已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的定义域是，，若函数在定义域内单调递减，即在恒成立，所以，恒成立，即设，，当时，函数取得最大值1，所以.故选：D6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，且，，则双曲线的离心率为（）A. B. C.3 D.7【答案】A【解析】由双曲线定义知，，因为，所以，，因为，，所以在中，由余弦定理得，即，化简得，所以，故选：A7.已知奇函数，则函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可知，所以，又因为是奇函数，所以，即可得时，，即；则，令可得，所以当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，即在处取得极大值，也是最大值为.故选：A8.已知数列满足，，.设，若对于，都有恒成立，则的最大值为（）A.3 B.4 C.7 D.9【答案】A【解析】整理数列的通项公式有：，结合可得数列是首项为，公比为的等比数列，则，，原问题即：恒成立，当时，，即>3，综上可得：的最大值为3.本题选择A选项.二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.已知等比数列{an}满足，，设其公比为q，前n项和为，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】对于A，由，得，所以，A正确；对于B，又因为，所以，故，所以，B正确；对于C，，所以，C错误；对于D，因为，因为且，所以，即，D正确.故选：ABD10.已知直线，圆，下列说法正确的是（）A.直线恒过点B.圆被轴截得的弦长为C.当直线与圆相切时，直线的斜率是D.当直线与圆相交时，直线斜率的取值范围是【答案】AD【解析】对于选项A：因为，即，令，解得，所以直线恒过点，故A正确；对于选项B：圆的圆心，半径，可知圆心到x轴的距离，所以圆被轴截得的弦长为，故B错误；对于选项C：因，当时，直线的斜率为，显然无法取得，当时，直线的斜率不存在，综上，直线的斜率不可能是，故C错误；对于选项D：当直线与圆相交时，则，解得，所以直线的斜率是，故D正确.故选：AD.11.已知是椭圆上的一动点，离心率为，椭圆与轴的交点分别为、，左、右焦点分别为、.下列关于椭圆的四个结论中正确的是（）A.若、的斜率存在且分别为、，则为一定值B.若椭圆上存在点使，则C.若的面积最大时，，则D.根据光学现象知道：从发出的光线经过椭圆反射后一定会经过.若一束光线从出发经椭圆反射，当光线第次到达时，光线通过的总路程为【答案】AC【解析】依题意，，A，设，，则，为定值，A正确．B，若椭圆上存在点使，设为上顶点，如图：则，B错误．C，若△的面积最大时，，P位于椭圆上顶点或下顶点，，，C正确．D，结合椭圆的定义可知，光线第次到达时，光线通过的总路程为，D错误．故选：AC.12.已知，，是的导函数，则下列结论正确的是（）A.在上单调递增．B.在上两个零点C.当时，恒成立，则D.若函数只有一个极值点，则实数【答案】ACD【解析】，令，得，故A正确，，令得，得，故在上为减函数，在上为增函数．当时，；当时，且的大致图象为只有一个零点，故B错．记，则在上为减函数，对恒成立对恒成立．故C正确．，，设，只有一个极值点，只有一个解，即直线与的图象只有一个交点．，在上为增函数，令，得，当时，；当时，．在上为减函数，在上为增函数，，时，，即，且时，，又时，，因此的大致图象如下（不含原点）：直线与它只有一个交点，则．故D正确．故选：ACD．第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若圆：与圆：外切，则实数______．【答案】【解析】圆的圆心为，半径为.圆的圆心为，半径为.由于两圆外切，所以，得.故解得.故答案为：.14.已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间为______．【答案】【解析】因为,则令,即,且所以,所以的单调递增区间为故答案为：15.过点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为________．【答案】【解析】依题意可得直线的斜率存在，设直线，，，且，联立，得，则，则，得，所以，当且仅当，时等号成立，故的最小值为．故答案为：．16.定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列，已知“等比差”数列中，，，则______．【答案】【解析】由数列为“等比差”数列，则，所以，即数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，，则，所以，故答案为:.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数.（1）求曲线在处切线方程；（2）若直线过坐标原点且与曲线相切，求直线的方程.解：（1），所以，所以，，所以切线方程为：，整理得.（2），所以，设切点坐标为，所以切线斜率为，则切线方程为：，又因为切线过原点，所以将代入切线方程得，解得，所以切线方程为：，整理得.18.已知数列的首项为1，前项和为，且满足______.①，；②；③.从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：（1）求；（2）求数列的前项和.解：（1）选①，因为，所以当为奇数时，；同理，当为偶数时，.所以.选②，因为，（*）所以当时，，（**）（*）-（**），得，即，所以数列是首项为1的常数列，所以.选③，因为，所以，所以数列是首项为的常数列，所以，所以当时，.当时，也符合上式.所以.（2）由（1）得，，所以19.已知圆经过中的三点，且半径最大.（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交于两点（在轴上方），在轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）由坐标可知：三点共线，由图得直线垂直平分线段，由圆的性质可以判断圆经过三点时，符合要求.所以圆心在的中垂线即轴上，设圆的方程为，则解得所以圆的方程为.（2）设过点的直线方程为.①当时，直线的方程为，此时可为轴上的任意一点.②当时，联立方程组消去得，设，则.因轴平分，所以，即，化简得，即，整理得.所以对任意恒成立，即恒成立，故，即.综上，存在点，符合题意.20.记为数列的前项和，为数列的前项和，已知．（1）证明：数列是等比数列；（2）已知数列满足：，求数列的前项和.解：（1）数列的前项和，则，即，解得，当时，，即，整理得，而，所以是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）知，即，当时，，当时，，符合的情况，因此，，则，所以，两式相减得，所以.21.已知为坐标原点，椭圆的上焦点是抛物线的焦点，过焦点与抛物线对称轴垂直的直线交椭圆于两点，且，过点的直线交椭圆于两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点，记的面积为的面积为，求的取值范围．解：（1）因为的焦点坐标为，所以，所以．因为，所以，化简可得，又，解得，所以椭圆的标准方程为．（2）由（1）可知，可知过点的直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，由，化简可得，设，则，，由，解得．根据弦长公式可得．因为的面积为的面积为，设点到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得，所以，因此，因为，所以，则，从而，所以的取值范围是．22已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在不相等的实数，使得，证明：．解：（1）函数的定义域为，，当时，，所以在上单调递增；当时，由得，所以在上单调递增；由得，所以在上单调递减；故时，所以在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2），，由（1）可知，当时，在上是增函数，故不存在不相等的实数，使得，所以．由得，即，不妨设，则，则，要证，只需证，即证，只需证，令，则只需证，即证，令，则，所以在上是增函数，所以，从而，故.江苏省泰州市兴化市2023-2024学年高二上学期期末数学试题注意事项：1.本试卷共分两部分，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题.2.所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上的无效.第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1.已知直线：，：，若，则（）A.－1 B.3 C. D.【答案】D【解析】因为直线，且，故，解得.故选：D2.设数列是等比数列，且，，则（）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】A【解析】设等比数列的公比，因为，，则，解得，所以.故选：A3.已知直线l：，圆C：，若圆C上恰有三个点到直线l的距离为1，则（）A.1 B.3 C. D.4【答案】B【解析】由题意得，，则点C到直线l的距离为，圆C上恰有三个点到直线l的距离为1，则如图所示，直线l交圆于A、B垂直半径于，.故，故.故选：B4.已知数列首项为2，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知得，，则当时，有，经检验当时也符合该式．∴.故选：D5.已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的定义域是，，若函数在定义域内单调递减，即在恒成立，所以，恒成立，即设，，当时，函数取得最大值1，所以.故选：D6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，且，，则双曲线的离心率为（）A. B. C.3 D.7【答案】A【解析】由双曲线定义知，，因为，所以，，因为，，所以在中，由余弦定理得，即，化简得，所以，故选：A7.已知奇函数，则函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可知，所以，又因为是奇函数，所以，即可得时，，即；则，令可得，所以当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，即在处取得极大值，也是最大值为.故选：A8.已知数列满足，，.设，若对于，都有恒成立，则的最大值为（）A.3 B.4 C.7 D.9【答案】A【解析】整理数列的通项公式有：，结合可得数列是首项为，公比为的等比数列，则，，原问题即：恒成立，当时，，即>3，综上可得：的最大值为3.本题选择A选项.二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.已知等比数列{an}满足，，设其公比为q，前n项和为，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】对于A，由，得，所以，A正确；对于B，又因为，所以，故，所以，B正确；对于C，，所以，C错误；对于D，因为，因为且，所以，即，D正确.故选：ABD10.已知直线，圆，下列说法正确的是（）A.直线恒过点B.圆被轴截得的弦长为C.当直线与圆相切时，直线的斜率是D.当直线与圆相交时，直线斜率的取值范围是【答案】AD【解析】对于选项A：因为，即，令，解得，所以直线恒过点，故A正确；对于选项B：圆的圆心，半径，可知圆心到x轴的距离，所以圆被轴截得的弦长为，故B错误；对于选项C：因，当时，直线的斜率为，显然无法取得，当时，直线的斜率不存在，综上，直线的斜率不可能是，故C错误；对于选项D：当直线与圆相交时，则，解得，所以直线的斜率是，故D正确.故选：AD.11.已知是椭圆上的一动点，离心率为，椭圆与轴的交点分别为、，左、右焦点分别为、.下列关于椭圆的四个结论中正确的是（）A.若、的斜率存在且分别为、，则为一定值B.若椭圆上存在点使，则C.若的面积最大时，，则D.根据光学现象知道：从发出的光线经过椭圆反射后一定会经过.若一束光线从出发经椭圆反射，当光线第次到达时，光线通过的总路程为【答案】AC【解析】依题意，，A，设，，则，为定值，A正确．B，若椭圆上存在点使，设为上顶点，如图：则，B错误．C，若△的面积最大时，，P位于椭圆上顶点或下顶点，，，C正确．D，结合椭圆的定义可知，光线第次到达时，光线通过的总路程为，D错误．故选：AC.12.已知，，是的导函数，则下列结论正确的是（）A.在上单调递增．B.在上两个零点C.当时，恒成立，则D.若函数只有一个极值点，则实数【答案】ACD【解析】，令，得，故A正确，，令得，得，故在上为减函数，在上为增函数．当时，；当时，且的大致图象为只有一个零点，故B错．记，则在上为减函数，对恒成立对恒成立．故C正确．，，设，只有一个极值点，只有一个解，即直线与的图象只有一个交点．，在上为增函数，令，得，当时，；当时，．在上为减函数，在上为增函数，，时，，即，且时，，又时，，因此的大致图象如下（不含原点）：直线与它只有一个交点，则．故D正确．故选：ACD．第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若圆：与圆：外切，则实数______．【答案】【解析】圆的圆心为，半径为.圆的圆心为，半径为.由于两圆外切，所以，得.故解得.故答案为：.14.已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间为______．【答案】【解析】因为,则令,即,且所以,所以的单调递增区间为故答案为：15.过点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为________．【答案】【解析】依题意可得直线的斜率存在，设直线，，，且，联立，得，则，则，得，所以，当且仅当，时等号成立，故的最小值为．故答案为：．16.定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列，已知“等比差”数列中，，，则______．【答案】【解析】由数列为“等比差”数列，则，所以，即数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，，则，所以，故答案为:.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数.（1）求曲线在处切线方程；（2）若直线过坐标原点且与曲线相切，求直线的方程.解：（1），所以，所以，，所以切线方程为：，整理得.（2），所以，设切点坐标为，所以切线斜率为，则切线方程为：，又因为切线过原点，所以将代入切线方程得，解得，所以切线方程为：，整理得.18.已知数列的首项为1，前项和为，且满足______.①，；②；③.从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：（1）求；（2）求数列的前项和.解：（1）选①，因为，所以当为奇数时，；同理，当为偶数时，.所以.选②，因为，（*）所以当时，，（**）（*）-（**），得，即，所以数列是首项为1的常数列，所以.选③，因为，所以，所以数列是首项为的常数列，所以，所以当时，.当时，也符合上式.所以.（2）由（1）得，，所以19.已知圆经过中的三点，且半径最大.（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交于两点（在轴上方），在轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）由坐标可知：三点共线，由图得直线垂直平分线段，由圆的性质可以判断圆经过三点时，符合要求.所以圆心在的中垂线即轴上，设