2023-2024学年江苏省常州市溧阳市高一上学期期末调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省常州市溧阳市2023-2024学年高一上学期期末调研测试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】解不等式，得，即，而，所以.故选：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，可得成立，即充分性成立；反正：若，可得或，即必要性不成立，所以是的充分不必要条件.故选：A.3.已知函数，为了得到的图象，只需将的图象（）A.向右平移个长度单位 B.向左平移个长度单位C.向右平移个长度单位 D.向左平移个长度单位【答案】D【解析】因为，所以为了得到的图象，只需将的图象向左平移个长度单位，故C错误，D正确；若把的图象向右平移个单位，则所得图象的解析式为，若把的图象向左平移个单位，则所得图象的解析式为，AB错误.故选：D.4.已知函数，若，则的值是（）A. B.3或 C.或 D.3或或【答案】A【解析】函数，由，得，解得；或，无解，所以的值是.故选：A.5.已知函数为奇函数.则（）A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】因为奇函数，所以，即，得到，所以，当时，的定义域为关于数0对称，符合意义，所以.故选：B.6.在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：在四个函数模型（为待定系数）中，最能反映函数关系的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题，作出散点图如下，由散点图可知，散点图和对数函数图象接近，可选择反映函数关系.故选：C.7.下列函数中，是奇函数且单调递减的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A，的定义域为，在上单调递增，故A错误；对于B，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，故B错误；对于C，设的定义域为R，为奇函数，因为在R上单调递减，所以在R上单调递减，故C正确；对于D，的定义域为R，在定义域内的单调性有增有减，故D错误.故选：C.8.已知函数是自然对数的底数，记，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函数的定义域为，，因此函数的图象关于直线对称，当时，，函数在上单调递增，，显然，即，所以.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.9.下列结论正确的有（）A.化成弧度是 B.函数的周期为C.第四象限角不一定是负角 D.圆心角为，半径为2的扇形面积为【答案】BCD【解析】对于选项A，因为，所以选项A错误，对于选项B，因为的周期为，所以选项B正确，对于选项C，因为第四象限角为，当时，均为正确，所以选项C正确，对于选项D，因为扇形的圆心角为，半径为2，所以，所以选项D正确.故选：BCD.10.下列判断正确的是（）A. B.若，则C. D.【答案】AB【解析】对于A，，A正确；对于B，由，得，所以，B正确；对于C，，则，C错误；对于D，，而，因此，即，D错误.故选：AB.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.当时，的最小值为B.当时，的值域为C.的图象与直线不可能有3个交点D.若，则方程只有1解【答案】BCD【解析】对于A，当时，取，，当时，，故A错误；对于B，当时，，若时，，，当且仅当，即时取等，若时，，，当且仅当，即时取等，所以的值域为，故B正确；对于C，要求的图象与直线的交点个数，即令，即，即，即与在的交点个数，如下图，与在的最多有2个交点，故C正确.对于D，若，则，若时，，，当且仅当，即时取等，若时，，，当且仅当，即时取等，所以的值域为，而，而当时，，时，，所以，即，方程只有1解，故D正确.故选：BCD.12.对于定义在上的函数，如果存在实数，使得，那么称是函数的一个不动点.则下列结论正确的是（）A.函数有且只有1个不动点B.函数有且只有1个不动点C.函数有2个不动点D.函数有3个不动点【答案】BCD【解析】对于选项A，因为，由，解得或，所以有两上不动点，所以选项A错误，对于选项B，因为，由，得到，令，易知区间上单调递增，又当时，，所以选项B正确，对于选项C，因为，由，得到，当时，，当时，，所以和是的两个不动点，在同一坐标系中，作出的图象，由图知，只有两个不动点，所以选项C正确，对于选项D，因为，由，令，在同一坐标系中，作出的图象，由图知，与有三个交点，即有三个不动点，所以选项D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域为_____________________.【答案】【解析】函数有意义，，解得，所以所求函数的定义域为.14.写出一个在区间上单调递增且为奇函数的幂函数：_____________________.【答案】（答案不唯一，写一个即可）【解析】因为幂函数在区间上单调递增且为奇函数，所以幂函数可以为.（答案不唯一，写一个即可）15.若存在满足，则的取值范围为_________________________.【答案】【解析】存在满足，则，令，因在上单调递增，所以在上单调递增，所以，所以.故的取值范围为：.16.已知函数，则不等式的解集为_________________.【答案】【解析】函数的定义域为或，关于原点对称，，所以为偶函数，又当时，，令，根据复合函数“同增异减”可知在上单调递增，任取，，因为，所以，，所以，所以，所以，所以函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，由对称性知，函数在上单调递减，因为，所以，解得.所以原不等式的解集为.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，.（1）判断元素，与集合的关系，并说明理由；（2）求.解：（1）令，解得：，故；令，解得：，故；故，.（2）因为，，当为偶数，则，当为奇数，则，所以，所以.18.在平面直角坐标系中，点在角的终边上.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）点在角的终边上，，，，所以，，所以.（2）.19.已知函数．（1）若关于x的不等式的解集为，求a，b的值；（2）当时，解关于x的不等式．解：（1）由函数，不等式化为，由不等式的解集为，所以方程的两根为1和2，由根与系数的关系知：，解得a＝2，b＝1.（2）b＝1时不等式，可化为，即；当a＞1时，解不等式得x＜1或x＞a；当a＝1时，解不等式得x≠1；当a＜1时，解不等式得x＜a或x＞1．综上，a＞1时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞a}；a＝1时，不等式的解集为{x|x≠1}；a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞1}．20.函数的图象如图所示.（1）写出的单调增区间（不用写过程）；（2）求的值；（3）若函数在区间上有12个零点，求的值.解：（1）观察图象得：，函数的周期，则，，由，得，即，由，，得，因此，，由，得，所以的单调增区间是.（2）由（1）知，.（3）由（1）知，，当时，，依题意，，解得，而，所以.21.节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，第次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型给出，其中是指改良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过，试问至少进行多少次改良工艺后，才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？（参考数据：取）解：（1）由题知，，所以当时，由，得到，解得，所以，所以改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.（2）由题有，整理得到，两边同时取常用对数得到，即，又，解得，又，所以至少进行7次改良工艺后，才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.22.中心对称函数指的是图形关于某个定点成中心对称的函数，我们学过的奇函数便是一类特殊的中心对称函数，它的对称中心为坐标原点.类比奇函数的代数定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为.（1）判断是否为中心对称函数（不用写理由），若是，请写对称中心；（2）若定义在上的函数为中心对称函数，求的值；（3）判断函数是否为中心对称函数，若是，求出其对称中心；若不是，请说明理由.解：（1）根据题意，的定义域为，，若对，都有，所以中心对称函数，对称中心为.（2）若定义在上的函数为中心对称函数，明显定义域仅关于点对称，其对称中心的横坐标必为，则，因为为中心对称函数，则为定值，则，即，所以关于点对称.（3）函数的图象是中心对称图形，其对称中心为点，解方程得，所以函数的定义域为，明显定义域仅关于点对称，所以若函数的图象是中心对称图形，则其对称中心横坐标必为，设其对称中心为点，则由题意可知有，，令，可得，所以，所以若函数为中心对称图形，其对称中心必定为点，下面论证函数的图象关于点成中心对称图形：即只需证明，，，得证江苏省常州市溧阳市2023-2024学年高一上学期期末调研测试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】解不等式，得，即，而，所以.故选：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，可得成立，即充分性成立；反正：若，可得或，即必要性不成立，所以是的充分不必要条件.故选：A.3.已知函数，为了得到的图象，只需将的图象（）A.向右平移个长度单位 B.向左平移个长度单位C.向右平移个长度单位 D.向左平移个长度单位【答案】D【解析】因为，所以为了得到的图象，只需将的图象向左平移个长度单位，故C错误，D正确；若把的图象向右平移个单位，则所得图象的解析式为，若把的图象向左平移个单位，则所得图象的解析式为，AB错误.故选：D.4.已知函数，若，则的值是（）A. B.3或 C.或 D.3或或【答案】A【解析】函数，由，得，解得；或，无解，所以的值是.故选：A.5.已知函数为奇函数.则（）A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】因为奇函数，所以，即，得到，所以，当时，的定义域为关于数0对称，符合意义，所以.故选：B.6.在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：在四个函数模型（为待定系数）中，最能反映函数关系的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题，作出散点图如下，由散点图可知，散点图和对数函数图象接近，可选择反映函数关系.故选：C.7.下列函数中，是奇函数且单调递减的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A，的定义域为，在上单调递增，故A错误；对于B，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，故B错误；对于C，设的定义域为R，为奇函数，因为在R上单调递减，所以在R上单调递减，故C正确；对于D，的定义域为R，在定义域内的单调性有增有减，故D错误.故选：C.8.已知函数是自然对数的底数，记，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函数的定义域为，，因此函数的图象关于直线对称，当时，，函数在上单调递增，，显然，即，所以.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.9.下列结论正确的有（）A.化成弧度是 B.函数的周期为C.第四象限角不一定是负角 D.圆心角为，半径为2的扇形面积为【答案】BCD【解析】对于选项A，因为，所以选项A错误，对于选项B，因为的周期为，所以选项B正确，对于选项C，因为第四象限角为，当时，均为正确，所以选项C正确，对于选项D，因为扇形的圆心角为，半径为2，所以，所以选项D正确.故选：BCD.10.下列判断正确的是（）A. B.若，则C. D.【答案】AB【解析】对于A，，A正确；对于B，由，得，所以，B正确；对于C，，则，C错误；对于D，，而，因此，即，D错误.故选：AB.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.当时，的最小值为B.当时，的值域为C.的图象与直线不可能有3个交点D.若，则方程只有1解【答案】BCD【解析】对于A，当时，取，，当时，，故A错误；对于B，当时，，若时，，，当且仅当，即时取等，若时，，，当且仅当，即时取等，所以的值域为，故B正确；对于C，要求的图象与直线的交点个数，即令，即，即，即与在的交点个数，如下图，与在的最多有2个交点，故C正确.对于D，若，则，若时，，，当且仅当，即时取等，若时，，，当且仅当，即时取等，所以的值域为，而，而当时，，时，，所以，即，方程只有1解，故D正确.故选：BCD.12.对于定义在上的函数，如果存在实数，使得，那么称是函数的一个不动点.则下列结论正确的是（）A.函数有且只有1个不动点B.函数有且只有1个不动点C.函数有2个不动点D.函数有3个不动点【答案】BCD【解析】对于选项A，因为，由，解得或，所以有两上不动点，所以选项A错误，对于选项B，因为，由，得到，令，易知区间上单调递增，又当时，，所以选项B正确，对于选项C，因为，由，得到，当时，，当时，，所以和是的两个不动点，在同一坐标系中，作出的图象，由图知，只有两个不动点，所以选项C正确，对于选项D，因为，由，令，在同一坐标系中，作出的图象，由图知，与有三个交点，即有三个不动点，所以选项D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域为_____________________.【答案】【解析】函数有意义，，解得，所以所求函数的定义域为.14.写出一个在区间上单调递增且为奇函数的幂函数：_____________________.【答案】（答案不唯一，写一个即可）【解析】因为幂函数在区间上单调递增且为奇函数，所以幂函数可以为.（答案不唯一，写一个即可）15.若存在满足，则的取值范围为_________________________.【答案】【解析】存在满足，则，令，因在上单调递增，所以在上单调递增，所以，所以.故的取值范围为：.16.已知函数，则不等式的解集为_________________.【答案】【解析】函数的定义域为或，关于原点对称，，所以为偶函数，又当时，，令，根据复合函数“同增异减”可知在上单调递增，任取，，因为，所以，，所以，所以，所以，所以函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，由对称性知，函数在上单调递减，因为，所以，解得.所以原不等式的解集为.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，.（1）判断元素，与集合的关系，并说明理由；（2）求.解：（1）令，解得：，故；令，解得：，故；故，.（2）因为，，当为偶数，则，当为奇数，则，所以，所以.18.在平面直角坐标系中，点在角的终边上.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）点在角的终边上，，，，所以，，所以.（2）.19.已知函数．（1）若关于x的不等式的解集为，求a，b的值；（2）当时，解关于x的不等式．解：（1）由函数，不等式化为，由不等式的解集为，所以方程的两根为1和2，由根与系数的关系知：，解得a＝2，b＝1.（2）b＝1时不等式，可化为，即；当a＞1时，解不等式得x＜1或x＞a；当a＝1时，解不等式得x≠1；当a＜1时，解不等式得x＜a或x＞1．综上，a＞1时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞a}；a＝1时，不等式的解集为{x|x≠1}；a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞1}．20.函数的图象如图所示.（1）写出的单调增区间（不用写过程）；（2）求的值；（3）若函数在区间上有12个零点，求的值.解：（1）观察图象得：，函数的周期，则，，由，得，即，由，，得，因此，，由，得，所以的单调增区间是.（2）由（1）知，.（3）由（1）知，，当时，，依题意，，解得，而，所以.21.节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放