2023-2024学年湖南省涟源市高一上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省涟源市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1已知全集，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为全集，，所以根据补集的定义得.故选：C.2.若角满足，，则角所在的象限是（）．A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】由知，是一、三象限角，由知，是三、四象限角或终边在y轴负半轴上，故是第三象限角．故选：C.3.不等式成立的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】不等式的解集为，又，所以是不等式成立的一个充分不必要条件.故选：C.4.已知，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，所以，所以.故答案为：C.5.已知，则的最小值为（）A.5 B.3 C. D.或3【答案】B【解析】由，得，当且仅当，即时时等号成立，所以的最小值为3．故选：B.6.已知二次函数的零点为和，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为二次函数的零点为和，所以和为方程的两根，所以由韦达定理，得，解得，所以关于的不等式为，即，所以不等式的解集为.故选：A.7.某同学用“五点法”画函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0050根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象（）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位【答案】A【解析】由表中的数据可得，由，解得，所以，，将图象向左平移单位后，得到的图象.故选：A.8.果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去新鲜度与其采摘后时间（天）满足的函数关系式为.若采摘后天，这种水果失去的新鲜度为，采摘后天，这种水果失去的新鲜度为.采摘下来的这种水果失去新鲜度大概是（）（参考数据：，）A.第天 B.第天 C.第天 D.第天【答案】B【解析】依题意，，解得，于是得，当时，即，则有，即，整理得，因此，，所以采摘下来的这种水果失去新鲜度大概是第天.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若，则正确的结论为（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】依题意，，，所以，将代入得，，，，所以AC选项正确，BD选项错误．故选：AC.10.在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】若，则函数是R上的增函数，函数的图象的对称轴方程为，故A可能，B不可能；若，则函数是R上的减函数，，函数的图象与轴的负半轴相交，对称轴为，故C可能，D不可能.故选：AC.11.已知，则下列结论中错误的是（）A.的最大值为2B.在区间上单调递增C.的图象关于点对称D.的最小正周期为【答案】ACD【解析】．对于A，，故A错误；对于B，当时，，由正弦函数在上单调递增可知：在上单调递增，故B正确；对于C，当时，，则关于成轴对称，故C错误；对于D，最小正周期，故D错误．故选：ACD．12.若，且函数过点，则下列说法中正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】过点，，即；对于A，，当且仅当时取等号，，A错误；对于B，，，，，即，B正确；对于C，，当且仅当时取等号，C正确；对于D，，当且仅当时取等号，D正确.故选：BCD.三、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若一扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为__________.【答案】【解析】扇形的圆心角为，因此，该扇形的面积为.故答案为：.14.若，则___________.【答案】【解析】，∴，又，∴.故答案为：.15.设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则_________.【答案】【解析】根据题意，由为奇函数，得关于对称，故，即，∵，∴，又∵，∴，即，由，解得，，∵，∴.故答案为：.16.设和是定义在同一个区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“集团关联函数”，区间称为“集团关联区间”若与在上是“集团关联函数”，则的取值范围是__________．【答案】【解析】∵与在上是“集团关联函数”，∴在上有两不同零点，即在上有两个不同的根，设，其对称轴为，故需满足，解得，故的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.已知函数且的图象经过点.（1）求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）依题意且，.（2）在R上是增函数，且，，，所求的取值范围是.18.设集合，集合，其中.（1）若，求a的取值范围.（2）若“”是“”必要条件，求a的取值范围.解：（1）由，得，解得，即a的取值范围.（2）由于“”是“”的必要条件，故为的子集，当时，由（1）知，符合题意；当时，，解得，综上可得：a的取值范围为.19.设函数（）的最小正周期为．（1）求的单调递增区间；（2）当时，求方程的解集．解：（1），由已知，得，故，令，解得：，的单调递增区间为，.（2），，，或，即或，所以方程的解集为.20.已知函数过点，且满足.（1）求函数的解析式；（2）解关于的不等式：．解：（1）因为函数过点，所以，所以，即，因为，所以的对称轴为，所以，解得，故（2）由（1），，方程的判别式为，①当，即时，方程无解，所以不等式解集为；②当，即时，方程有两个相等的实数根，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；③当，即或时，方程有两个根为：，不等式的解集为，综上，时，不等式的解集是；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为.21.年，全世界范围内都受到“新冠”疫情的影响，了解某些细菌､病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播､保护环境有极其重要的意义.某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究．经过分钟菌落的覆盖面积为，经过分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；现菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系有两个函数模型与可供选择.（参考数据：，，，，，，）（1）试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式；（2）在理想状态下，至少经过多久培养基中菌落面积能超过？（结果保留到整数）解：（1）的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢，应选模型为，则，解得：，，又，函数模型为.（2）由题意得：，即，，，，至少经过培养基中菌落面积能超过.22.已知函数．（1）求的单调区间及最大值．（2）设函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．解：（1）由得，的定义域为，，令，则在上单调递增，在上单调递减，又在定义域内单调递增，由复合函数单调性可知：的单调递增区间为，单调递减区间为，由单调性可知：.（2）在上恒成立，，即，在上恒成立，；令，则在上单调递增，在上单调递减，，，即实数的取值范围为.湖南省涟源市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1已知全集，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为全集，，所以根据补集的定义得.故选：C.2.若角满足，，则角所在的象限是（）．A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】由知，是一、三象限角，由知，是三、四象限角或终边在y轴负半轴上，故是第三象限角．故选：C.3.不等式成立的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】不等式的解集为，又，所以是不等式成立的一个充分不必要条件.故选：C.4.已知，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，所以，所以.故答案为：C.5.已知，则的最小值为（）A.5 B.3 C. D.或3【答案】B【解析】由，得，当且仅当，即时时等号成立，所以的最小值为3．故选：B.6.已知二次函数的零点为和，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为二次函数的零点为和，所以和为方程的两根，所以由韦达定理，得，解得，所以关于的不等式为，即，所以不等式的解集为.故选：A.7.某同学用“五点法”画函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0050根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象（）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位【答案】A【解析】由表中的数据可得，由，解得，所以，，将图象向左平移单位后，得到的图象.故选：A.8.果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去新鲜度与其采摘后时间（天）满足的函数关系式为.若采摘后天，这种水果失去的新鲜度为，采摘后天，这种水果失去的新鲜度为.采摘下来的这种水果失去新鲜度大概是（）（参考数据：，）A.第天 B.第天 C.第天 D.第天【答案】B【解析】依题意，，解得，于是得，当时，即，则有，即，整理得，因此，，所以采摘下来的这种水果失去新鲜度大概是第天.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若，则正确的结论为（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】依题意，，，所以，将代入得，，，，所以AC选项正确，BD选项错误．故选：AC.10.在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】若，则函数是R上的增函数，函数的图象的对称轴方程为，故A可能，B不可能；若，则函数是R上的减函数，，函数的图象与轴的负半轴相交，对称轴为，故C可能，D不可能.故选：AC.11.已知，则下列结论中错误的是（）A.的最大值为2B.在区间上单调递增C.的图象关于点对称D.的最小正周期为【答案】ACD【解析】．对于A，，故A错误；对于B，当时，，由正弦函数在上单调递增可知：在上单调递增，故B正确；对于C，当时，，则关于成轴对称，故C错误；对于D，最小正周期，故D错误．故选：ACD．12.若，且函数过点，则下列说法中正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】过点，，即；对于A，，当且仅当时取等号，，A错误；对于B，，，，，即，B正确；对于C，，当且仅当时取等号，C正确；对于D，，当且仅当时取等号，D正确.故选：BCD.三、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若一扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为__________.【答案】【解析】扇形的圆心角为，因此，该扇形的面积为.故答案为：.14.若，则___________.【答案】【解析】，∴，又，∴.故答案为：.15.设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则_________.【答案】【解析】根据题意，由为奇函数，得关于对称，故，即，∵，∴，又∵，∴，即，由，解得，，∵，∴.故答案为：.16.设和是定义在同一个区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“集团关联函数”，区间称为“集团关联区间”若与在上是“集团关联函数”，则的取值范围是__________．【答案】【解析】∵与在上是“集团关联函数”，∴在上有两不同零点，即在上有两个不同的根，设，其对称轴为，故需满足，解得，故的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.已知函数且的图象经过点.（1）求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）依题意且，.（2）在R上是增函数，且，，，所求的取值范围是.18.设集合，集合，其中.（1）若，求a的取值范围.（2）若“”是“”必要条件，求a的取值范围.解：（1）由，得，解得，即a的取值范围.（2）由于“”是“”的必要条件，故为的子集，当时，由（1）知，符合题意；当时，，解得，综上可得：a的取值范围为.19.设函数（）的最小正周期为．（1）求的单调递增区间；（2）当时，求方程的解集．解：（1），由已知，得，故，令，解得：，的单调递增区间为，.（2），，，或，即或，所以方程的解集为.20.已知函数过点，且满足.（1）求函数的解析式；（2）解关于的不等式：．解：（1）因为函数过点，所以，所以，即，因为，所以的对称轴为，所以，解得，故（2）由（1），，方程的判别式为，①当，即时，方程无解，所以不等式解集为；②当，