2023-2024学年安徽省亳州市蒙城县高一上学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省亳州市蒙城县2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，，所以，，B错误，D正确；显然，，AC错误.故选：D.2.（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】因为，所以.故选：B.3.中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（）A.与B.与C.与D.与【答案】C【解析】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，A不是；对于B，函数的定义域为，函数的定义域为或，两个函数定义域不同，B不是；对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，且，两个函数定义域相同，对应法则也相同，C是；对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，D不是.故选：C.4.2023年某城市美食节期间，依据小王与小张2023年12月1日至12月7日每日外卖的单数（单位：单）数据，整理并绘制的折线图（如图），小王与小张两组数据的平均数分别为，标准差分别为，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由统计图知，小王同学的总体成绩要好于小张同学的成绩，且小张同学的成绩波动较大，小王同学成绩较稳定，所以.故选：C．5.已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】“，”为真命题，则“，”为真命题，而，当且仅当时取等号，则，所以实数a的取值范围为.故选：A.6.我国古代数学名若（九章算术）中有如下问题“今有北乡八千七百五十八，西乡七千二百三十六，南乡八千三百五十六．凡三乡，发役北乡一百三十六人，欲以算数多少出之，何各几何？“意思是：北乡有8758人，西乡有7236人，南乡有8356人．现要按人数多少从北乡征集136人，问从各乡征集多少人？在上述问题中．需从南乡征集的人数为（）A.128人 B.130人 C.132人 D.134人【答案】B【解析】设从南乡征集人，则，解得：人.故选：B.7.函数在上的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】依题意，，因此函数是偶函数，其图象关于y轴对称，排除AB；又，选项C不满足，D符合题意.故选：D.8.定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为定义在上的偶函数在上单调递减，且，所以在上单调递增，且，所以当或时，；当时，，因，所以或，所以或，解得或，则不等式的解集是．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.已知，则下列结论错误的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】由及在R上单调递增，可得，A正确；取，满足，而，B错误；由，知是否是非负数不确定，当时，不等式无意义，C错误；取，满足，而，D错误.故选：BCD.10.已知集合，，则（）A.集合B.C.集合可能是D.可能是B的子集【答案】ABD【解析】集合，，则，，AB正确；显然，即，而是的真子集，C错误；由于，，因此可能是B的子集，D正确.故选：ABD.11.中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确是（）A.E与H是互斥事件 B.F与I是互斥事件，且是对立事件C. D.【答案】ABC【解析】对于A，事件E，H不可能同时发生，是互斥事件，故A正确；对于B，事件F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确；事件“至多去一个名楼”刚好包含事件“只去一个名楼”与事件“一个名楼也不去”，所以，，故C正确，D错误.故选：ABC．12.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.若函数在上单调递减，则且B.若函数有2个零点，则且C.若函数有1个零点，则且D.若函数在的最大值为1，则且【答案】AB【解析】当时，，当时，单调递增，函数值集合为，当时，，当时，单调递减，函数值集合为；当时，，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增，对于A，由函数在上单调递减，得，解得且，A正确；对于B，当时，，函数在上最多一个零点，由函数有2个零点，得函数在上有一个零点，在上有一个零点，因此且，B正确；对于C，当时，在上无零点，当时，在上有一个零点，则当且时，函数也只有1个零点，C错误；对于D，由于函数在的最大值为1，则在上不能单调递减，即，且，当时，在上单调递增，，不符合题意，当时，若，即，则在上单调递减，，此时在的最大值为1，因此，若，即，则在上单调递减，在上单调递增，必有，解得，则，此时在的最大值为1，因此，综上所述，函数在的最大值为1，则且，D错误.故选：AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为______________．【答案】【解析】设幂函数为，将点代入得，解得，所以．故答案为：.14.若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为_____________．【答案】【解析】因为在上均为增函数，所以函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断，故若在区间上存在零点，则解得，故常数a的取值范围为．故答案为：.15.已知函数，若，，且，则的最小值为___________.【答案】36【解析】函数中，，，则函数的定义域为，而，则函数是奇函数，显然函数在上都单调递减，则函数在上单调递减，而函数在上单调递增，则函数在上单调递减，于是函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，，由，得，则，即，于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为36.故答案为：36.16.“秋风起．月渐圆，桂树落叶，兔儿下凡间”．中秋节是中国传统节日，为了让更多的小朋友参与到中秋节的欢乐氛围中来，秦皇岛市青少年宫特别推出了“团圆中秋喜迎国庆”——中秋猜灯谜活动，欢迎小朋友们前来，感受传统文化的熏陶，品味传统习俗的趣味．现有甲，乙两位小朋友组成“快乐宝贝队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲，乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮精对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“快乐宝贝队”在两轮活动中猜对2个灯谜的概率为_________．【答案】【解析】设分别表示甲两轮猜对个，个，个灯谜的事件，分别表示乙两轮猜对个，个，个灯谜的事件．根据独立事件的性质，可得，，设“两轮活动‘快乐宝贝队’猜对2个灯谜”，则，且互斥，与，与，与分别相互独立，所以，因此，“快乐宝贝队”在两轮活动中猜对2个灯谜的概率是．故答案：.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：（1）；（2）.解：（1）.（2）.18.现用分层抽样的方法从某中学的学生中抽取100名学生参加知识竞赛，对其成绩进行统计分析．得到如下图所示的频率分布直方图．（1）估计该校学生知识竞赛成绩的第60百分位数（精确到0.1）；估计该校学生知识竞赛成绩的众数、平均数；（2）从样本中成绩是90分以上（包括90分）的学生中选一人，求选到前3名学生的概率（前3名分数各不同）.解：（1）得分在70以下的学生所在比例为，得分在80以下的学生所占比例为，所以第60百分位数位于内，由，估计第百分位数为，由图可，得众数位于之间，则估计值为，平均数估计值为：．（2）样本中成绩是以上（包括）的学生共，则选到前3名学生的概率．19.已知函数的定义域为，，，总有成立.若时，.（1）判断并证明函数的单调性；（2）若，求解关于x的不等式的解集.解：（1）在上单调递减，证明如下：因为，，总有成立，当时，，，且，则，则，即，所以在上单调递减.（2）因为，，总有成立，所以，则，因为，所以，所以不等式可化为，所以，解得，所以不等式的解集为.20.已知函数.（1）若关于的不等式的解集为，求a，b的值；（2）已知当时，恒成立，求实数a的取值范围.解：（1）因为，且的解集为，所以和2是方程的两个不等实根，且，由韦达定理可得，解得，故，.（2）因为，所以，则可化为，整理可得，令，，所以，则上式可化为在上恒成立，即在上恒成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，而当时，；当时，；所以，故，所以，所以实数a的取值范围为.21.拉鲁湿地国家级自然保护区位于西藏自治区首府拉萨市西北角，是国内最大的城市湿地自然保护区，也是世界上海拔最高、面积最大的城市天然湿地．其中央有一座凉亭，凉亭的俯瞰图的平面图是如图所示的正方形结构，其中EFIJ和GHKL为两个相同的矩形，俯瞰图白色部分面积为20平方米．现计划对下图平面正方形染色，在四个角区域（即图中阴影部分）用特等颜料，造价为200元/平方米，中间部分即正方形MNPQ区域使用一等颜料，造价为150元/平方米，在四个相同的矩形区域即EFNM，GHPN，PQJI，MQKL用二等颜料，造价为100元/平方米．（1）设总造价为W元，MN的边长为x米，AB的边长为y米，试建立W关于x的函数关系式；（2）计划至少要投入多少元，才能完成平面染色．解：（1）由题意得，阴影部分的面积为，，化简得，显然，所以，则，故W关于x的函数关系式．（2），当且仅当时，即时，W有最小值，所以当米时，元，故计划至少要投入元，才能完成平面染色．22.已知函数是定义在上的奇函数．（1）求和实数b的值；（2）若满足，求实数t的取值范围．解：（1）根据题意可得，又是定义在上的奇函数，所以，即，解得（负值舍去）．（2）由（1）可知，，易知函数在上单调递减，由奇函数性质及可得，当时，由复合函数单调性可知在上单调递增，需满足解得；当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，需满足解得；所以当时，；当时，．安徽省亳州市蒙城县2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，，所以，，B错误，D正确；显然，，AC错误.故选：D.2.（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】因为，所以.故选：B.3.中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（）A.与B.与C.与D.与【答案】C【解析】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，A不是；对于B，函数的定义域为，函数的定义域为或，两个函数定义域不同，B不是；对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，且，两个函数定义域相同，对应法则也相同，C是；对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，D不是.故选：C.4.2023年某城市美食节期间，依据小王与小张2023年12月1日至12月7日每日外卖的单数（单位：单）数据，整理并绘制的折线图（如图），小王与小张两组数据的平均数分别为，标准差分别为，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由统计图知，小王同学的总体成绩要好于小张同学的成绩，且小张同学的成绩波动较大，小王同学成绩较稳定，所以.故选：C．5.已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】“，”为真命题，则“，”为真命题，而，当且仅当时取等号，则，所以实数a的取值范围为.故选：A.6.我国古代数学名若（九章算术）中有如下问题“今有北乡八千七百五十八，西乡七千二百三十六，南乡八千三百五十六．凡三乡，发役北乡一百三十六人，欲以算数多少出之，何各几何？“意思是：北乡有8758人，西乡有7236人，南乡有8356人．现要按人数多少从北乡征集136人，问从各乡征集多少人？在上述问题中．需从南乡征集的人数为（）A.128人 B.130人 C.132人 D.134人【答案】B【解析】设从南乡征集人，则，解得：人.故选：B.7.函数在上的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】依题意，，因此函数是偶函数，其图象关于y轴对称，排除AB；又，选项C不满足，D符合题意.故选：D.8.定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为定义在上的偶函数在上单调递减，且，所以在上单调递增，且，所以当或时，；当时，，因，所以或，所以或，解得或，则不等式的解集是．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.已知，则下列结论错误的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】由及在R上单调递增，可得，A正确；取，满足，而，B错误；由，知是否是非负数不确定，当时，不等式无意义，C错误；取，满足，而，D错误.故选：BCD.10.已知集合，，则（）A.集合B.C.集合可能是D.可能是B的子集【答案】ABD【解析】集合，，则，，AB正确；显然，即，而是的真子集，C错误；由于，，因此可能是B的子集，D正确.故选：ABD.11.中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确是（）A.E与H是互斥事件 B.F与I是互斥事件，且是对立事件C. D.【答案】ABC【解析】对于A，事件E，H不可能同时发生，是互斥事件，故A正确；对于B，事件F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确；事件“至多去一个名楼”刚好包含事件“只去一个名楼”与事件“一个名楼也不去”，所以，，故C正确，D错误.故选：ABC．12.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.若函数在上单调递减，则且B.若函数有2个零点，则且C.若函数有1个零点，则且D.若函数在的最大值为1，则且【答案】AB【解析】当时，，当时，单调递增，函数值集合为，当时，，当时，单调递减，函数值集合为；当时，，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增，对于A，由函数在上单调递减，得，解得且，A正确；对于B，当时，，函数在上最多一个零点，由函数有2个零点，得函数在上有一个零点，在上有一个零点，因此且，B正确；对于C，当时，在上无零点，当时，在上有一个零点，则当且时，函数也只有1个零点，C错误；对于D，由于函数在的最大值为1，则在上不能单调递减，即，且，当时，在上单调递增，，不符合题意，当时，若，即，则在上单调递减，，此时在的最大值为1，因此，若，即，则在上单调递减，在上单调递增，必有，解得，则，此时在的最大值为1，因此，综上所述，函数在的最大值为1，则且，D错误.故选：AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为______________．【答案】【解析】设幂函数为，将点代入得，解得，所以．故答案为：.14.若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为_____________．【答案】【解析】因为在上均为增函数，所以函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断，故若在区间上存在零点，则解得，故常数a的取值范围为．故答案为：.15.已知函数，若，，且，则的最小值为___________.【答案】36【解析】函数中，，，则函数的定义域为，而，则函数是奇函数，显然函数在上都单调递减，则函数在上单调递减，而函数在上单调递增，则函数在上单调递减，于是函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，，由，得，则，即，于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为36.故答案为：36.16.“秋风起．月渐圆，桂树落叶，兔儿下凡间”．中秋节是中国传统节日，为了让更多的小朋友参与到中秋节的欢乐氛围中来，秦皇岛市青少年宫特别推出了“团圆中秋喜迎国庆”——中秋猜灯谜活动，欢迎小朋友们前来，感受传统文化的熏陶，品味传统习俗的趣味．现有甲，乙两位小朋友组成“快乐宝贝队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲，乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮精对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“快乐宝贝队”在两轮活动中猜对2个灯谜的概率为_________．【答案】【解析】设分别表示甲两轮猜对个，个，个灯谜的事件，分别表示乙两轮猜对个，个，个灯谜的事件．根据独立事件的性质，可得，，设“两轮活动‘快乐宝贝队’猜对2个灯谜”，则，且互斥，与，与，与分别相互独立，所以，因此，“快乐宝贝队”在两轮活动中猜对2个灯谜的概率是．故答案：.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：（1）；（2）.解：（1）.（2）.18.现用分层抽样的方法从某中学的学生中抽取100名学生参加知识竞赛，对其成绩进行统计分析．得到如下图所示的频率分布直方图．（1）估计该校学生知识竞赛成绩的第60百分位数（精确到0.1）；估计该校学生知识竞赛成绩的众数、平均数；（2）从样本中成绩是90分以上（包括90分）的学生中选一人，求选到前3名学生的概率（前3名分数各不同）.解：（1）得分在70以下的学生所在比例为，得分在80以下的学生所占比例为，所以第60百分位数位于内，由，估计第百分位数为，由图可，得众数位于之间，则估计值为，平均数估计值为：．（2）样本中成绩是以上（包括）的学生共，则选到前3名学生的概率．19.已知函数的定义域为，，，总有成立.若时，.（1）判断并证明函数的单调性；（2）若，求解关于x的不等式的解集.解：（1）在上单调递减，证明如下：因为，，总有成立，当时，，，且，则，则，即，所以在上