2023-2024学年湖北省武汉市常青联合体高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】B【解析】设直线的倾斜角为，则因为，所以，当时，即，则；当时，即，则，所以直线的倾斜角为或.故选：B.2.已知，分别是平面的法向量，若，则（）A. B. C.1 D.7【答案】B【解析】因为，分别是平面的法向量，且，所以，即，解得故选：B3.设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则（）A.7 B.12 C.15 D.31【答案】C【解析】设公比为，因为，，成等差数列，所以，则，解得：或0（舍去）.因为，所以，故.故选：C4.已知在空间四边形中，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，故G为CD的中点，如图，由平行四边形法则可得，所以.故选：A.5.已知直线：被圆截得的弦长为，则点与圆上点的距离最大值为（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】由题可得，圆的半径，圆心到直线的距离为，直线被圆截得的弦长为，解得或（舍去），则点的坐标为，该点到圆心的距离为，所以点到圆上点距离最大值为，故选:A.6.加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为时,蒙日圆方程为.已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（）A.椭圆的离心率为B.若为正方形，则的边长为C.椭圆的蒙日圆方程为D.长方形的面积的最大值为【答案】B【解析】对于A，由椭圆方程知：，，则，椭圆的离心率，A正确；对于BC，由A知：椭圆对应的蒙日圆方程为：，正方形是圆的内接正方形，正方形对角线长为圆的直径，正方形的边长为，B错误，C正确；对于D，设长方形的长和宽分别为，长方形的对角线长为圆的直径，，长方形的面积（当且仅当时取等号），即长方形的面积的最大值为，D正确.故选：B.7.数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，（且）．则数列的前项和为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得，当时，，又满足上式，，.，.故选：C.8.双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线C的左右两支分布交于两点M，N，若，，则双曲线的离心率为（）A.2 B. C.3 D.【答案】D【解析】根据双曲线的定义：，，设，则，，，因为，所以，得，.在△中，由余弦定理得，整理得，.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限B.直线过定点C.过点且斜率为的直线的点斜式方程为D.斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为【答案】BC【解析】因为直线经过第一､二､四象限，所以直线的斜率，截距.故点在第二象限，所以A中说法错误.由整理得.所以无论取何值，都满足方程.所以B中说法正确.由点斜式方程可知，过点且斜率为的直线的方程为.所以C中说法正确.由斜截式方程可知，斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为.所以D中说法错误.故选：BC10.如图，在棱长为2的正方体中，点M在线段（不包含端点）上，则下列结论正确的有（）A.点在平面的射影为的中心B.直线平面C.三棱锥的体积不为定值D.异面直线与BM所成角为【答案】ABD【解析】对于选项A:连接,由正方体中可得面，因为面,所以,因为底面为正方形，所以,因为面,所以面.因为面，所以,由正方体中可得面，因为面,所以,因为侧面为正方形，所以,因为面,所以面.因为面，所以,又因为面，所以面，正方体中易得,故三棱锥为正三棱锥，故点在平面的射影为的中心，故选项A正确；对于选项B:连接,正方体中易得所以四边形为平行四边形，所以因为平面，而平面，所以平面.正方体中易得所以四边形为平行四边形，所以因平面，而平面，所以平面.又因为面,所以面平面又因为面，所以直线平面，故选项B正确；对于选项C:设点到面的距离为,因为点M在线段，且平面，所以点到面的距离是定值.,所以三棱锥的体积为定值.故选项C错误；对于选项D:因为面,且面平面，所以面，面,所以.故异面直线与BM所成角为.故选项D正确.故选：ABD.11.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详析九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”：“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球…设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则下列结论正确的是（）A. B.C.， D.【答案】BCD【解析】根据题意，，则有，当时，，也满足，所以.，A选项错误；，B选项正确；，，C选项正确；，，D选项正确.故选：BCD12.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线与点，则下列结论正确的是（）A.抛物线的标准方程为B.的最小值为2C.过两点分别作，与准线垂直，则为锐角三角形D.的面积不为定值【答案】ABD【解析】对于选项A：由椭圆的方程可知椭圆的右焦点坐标为，即抛物线的右焦点为，可得，即，所以抛物线的标准方程为，故A正确；对于选项B：当直线的斜率不存在时，易得，，此时;当直线的斜率存在时，设直线的方程为,联立，可得，则所以，易知直线的方程为，联立，可得，所以所以，综上所述：的最小值为，故B正确；对于选项C：由抛物线定义知：则，又因则，则,可知为直角三角形，故C错误；对于选项D：当直线的斜率不存在时，易得，，此时;当直线的斜率存在时，由选项B可得：,可得，显然不为定值.故选项D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分．13.以椭圆长轴的端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程为______．【答案】【解析】由可得其长轴的端点坐标分别为、，又，故其焦点坐标分别为、，故该双曲线的焦点坐标为、，且、为其顶点坐标，又，故双曲线方程为.故答案为：.14.已知等差数列，记为数列的前n项和，若，，则数列的通项公式为______．【答案】【解析】，即，即，设数列的公差为，由，即有，可得，故.故答案为：.15.若两条平行直线与之间的距离是，则______．【答案】10【解析】由题可得：，解的，此时方程为：；方程为：；则，即，解的或，又，所以；故.故答案为：.16.已知正四面体的棱长为3,底面所在平面上一动点P满足，则点P运动轨迹的长度为_______________；直线与直线所成的角的取值范围为______________.【答案】;【解析】设底面正的中心为，连接为正四面体，底面，又正四面体的棱长为3，在直角中，即点P运动轨迹为以为圆心，为半径的圆上运动，因此运动轨迹长度为；以为原点，为x轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，设，且设直线与直线所成的角为，则，则又，，又，，即直线与直线所成的角的取值范围为故答案为：，四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线和直线.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.解：（1）若，则，解得或2；（2）若，则，解得或1.时，，满足，时，，此时与重合，所以.18.已知数列的前n项和．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的最大项是该数列的第几项．解：（1）当时，，不满足上式，当时，，故数列的通项公式为.（2）由已知得，当时，，则，即，得，即，所以当，的最大项为第7项，又，所以数列的最大项是该数列的第项.19.已知直线与抛物线恒有两个交点A、B．（1）求p的取值范围；（2）当时，直线l过抛物线C的焦点F，求此时线段的长度．解：（1）（法一）由题：，知恒过顶点，又与抛物线恒有两个交点，将定点代入抛物线方程，故，解得，即的取值范围为；（法二）将直线与抛物线方程联立，得，得，又因为直线与抛物线恒有两个交点，所以其判别式对恒成立，故须使方程的判别式，又，所以解得，即的取值范围为．（2）由题，当时，：，即，令得，由过焦点得；，所以抛物线：．将直线与抛物线方程联立，并令，，得，由韦达定理得，又因经过抛物线焦点，故．20.已知等比数列的公比，若，且分别是等差数列的第1，3，5项．（1）求数列和的通项公式；（2）记，求数列的前n项和．解：（1）由题意得，即，则，化简得：，解得（舍去）则，解得，所以．则，设等差数列的公差为，则，所以．（2）由（1）可得：所以，故，两式相减得：，化简可得：21.如图，在四棱锥中，底平面为菱形且，为中点，．（1）求证：平面平面；（2）若平面平面，且，试问在线段上是否存在点，使二平面角的大小为，如存在，求的值，如不存在，说明理由．解：（1）连接，因为为菱形，且，所以为等边三角形，又为中点，所以，又，故，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由（1）知，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，即两两互相垂直，以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，又，所以，则，所以，设，则，得到，易知平面的一个法向量为，设平面一个法向量为，又，，由，令，得，所以，又二平面角的大小为，所以，得到，整理得，又，解得，所以存在点使二平面角的大小为，且.22.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上任意一点，面积最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）过x轴上一点的直线与椭圆交于A，B两点，过A，B分别作直线的垂线，垂足为M，N两点，证明：直线，交于一定点，并求出该定点坐标．解：（1）设椭圆半焦距为，∵离心率为，∴．由椭圆性质可知，当为短轴端点时，面积最大．∴，∴．又，解得，，．∴椭圆的方程为：；（2）设与轴交于点，则，当的斜率为0时，显然不适合题意；当的斜率不存在时，直线为，∵四边形为矩形，∴，交于线段的中点．当直线的斜率存在且不为0时，设，，直线为：，联立，得，，∴，，设，，则，，联立，得，将，代入整理得，将代入，得．综上，直线、交于定点．湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】B【解析】设直线的倾斜角为，则因为，所以，当时，即，则；当时，即，则，所以直线的倾斜角为或.故选：B.2.已知，分别是平面的法向量，若，则（）A. B. C.1 D.7【答案】B【解析】因为，分别是平面的法向量，且，所以，即，解得故选：B3.设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则（）A.7 B.12 C.15 D.31【答案】C【解析】设公比为，因为，，成等差数列，所以，则，解得：或0（舍去）.因为，所以，故.故选：C4.已知在空间四边形中，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，故G为CD的中点，如图，由平行四边形法则可得，所以.故选：A.5.已知直线：被圆截得的弦长为，则点与圆上点的距离最大值为（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】由题可得，圆的半径，圆心到直线的距离为，直线被圆截得的弦长为，解得或（舍去），则点的坐标为，该点到圆心的距离为，所以点到圆上点距离最大值为，故选:A.6.加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为时,蒙日圆方程为.已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（）A.椭圆的离心率为B.若为正方形，则的边长为C.椭圆的蒙日圆方程为D.长方形的面积的最大值为【答案】B【解析】对于A，由椭圆方程知：，，则，椭圆的离心率，A正确；对于BC，由A知：椭圆对应的蒙日圆方程为：，正方形是圆的内接正方形，正方形对角线长为圆的直径，正方形的边长为，B错误，C正确；对于D，设长方形的长和宽分别为，长方形的对角线长为圆的直径，，长方形的面积（当且仅当时取等号），即长方形的面积的最大值为，D正确.故选：B.7.数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，（且）．则数列的前项和为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得，当时，，又满足上式，，.，.故选：C.8.双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线C的左右两支分布交于两点M，N，若，，则双曲线的离心率为（）A.2 B. C.3 D.【答案】D【解析】根据双曲线的定义：，，设，则，，，因为，所以，得，.在△中，由余弦定理得，整理得，.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限B.直线过定点C.过点且斜率为的直线的点斜式方程为D.斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为【答案】BC【解析】因为直线经过第一､二､四象限，所以直线的斜率，截距.故点在第二象限，所以A中说法错误.由整理得.所以无论取何值，都满足方程.所以B中说法正确.由点斜式方程可知，过点且斜率为的直线的方程为.所以C中说法正确.由斜截式方程可知，斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为.所以D中说法错误.故选：BC10.如图，在棱长为2的正方体中，点M在线段（不包含端点）上，则下列结论正确的有（）A.点在平面的射影为的中心B.直线平面C.三棱锥的体积不为定值D.异面直线与BM所成角为【答案】ABD【解析】对于选项A:连接,由正方体中可得面，因为面,所以,因为底面为正方形，所以,因为面,所以面.因为面，所以,由正方体中可得面，因为面,所以,因为侧面为正方形，所以,因为面,所以面.因为面，所以,又因为面，所以面，正方体中易得,故三棱锥为正三棱锥，故点在平面的射影为的中心，故选项A正确；对于选项B:连接,正方体中易得所以四边形为平行四边形，所以因为平面，而平面，所以平面.正方体中易得所以四边形为平行四边形，所以因平面，而平面，所以平面.又因为面,所以面平面又因为面，所以直线平面，故选项B正确；对于选项C:设点到面的距离为,因为点M在线段，且平面，所以点到面的距离是定值.,所以三棱锥的体积为定值.故选项C错误；对于选项D:因为面,且面平面，所以面，面,所以.故异面直线与BM所成角为.故选项D正确.故选：ABD.11.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详析九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”：“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球…设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则下列结论正确的是（）A. B.C.， D.【答案】BCD【解析】根据题意，，则有，当时，，也满足，所以.，A选项错误；，B选项正确；，，C选项正确；，，D选项正确.故选：BCD12.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线与点，则下列结论正确的是（）A.抛物线的标准方程为B.的最小值为2C.过两点分别作，与准线垂直，则为锐角三角形D.的面积不为定值【答案】ABD【解析】对于选项A：由椭圆的方程可知椭圆的右焦点坐标为，即抛物线的右焦点为，可得，即，所以抛物线的标准方程为，故A正确；对于选项B：当直线的斜率不存在时，易得，，此时;当直线的斜率存在时，设直线的方程为,联立，可得，则所以，易知直线的方程为，联立，可得，所以所以，综上所述：的最小值为，故B正确；对于选项C：由抛物线定义知：则，又因则，则,可知为直角三角形，故C错误；对于选项D：当直线的斜率不存在时，易得，，此时;当直线的斜率存在时，由选项B可得：,可得，显然不为定值.故选项D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分．13.以椭圆长轴的端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程为______．【答案】【解析】由可得其长轴的端点坐标分别为、，又，故其焦点坐标分别为、，故该双曲线的焦点坐标为、，且、为其顶点坐标，又，故双曲线方程为.故答案为：.14.已知等差数列，记为数列的前n项和，若，，则数列的通项公式为______．【答案】【解析】，即，即，设数列的公差为，由，即有，可得，故.故答案为：.15.若两条平行直线与之间的距离是，则______．【答案】10【解析】由题可得：，解的，此时方程为：；方程为：；则，即，解的或，又，所以；故.故答案为：.16.已知正四面体的棱长为3,底面所在平面上一动点P满足，则点P运动轨迹的长度为_______________；直线与直线所成的角的取值范围为______________.【答案】;【解析】设底面正的中心为，连接为正四面体，底面，又正四面体的棱长为3，在直角中，即点P运动轨迹为以为圆心，为半径的圆上运动，因此运动轨迹长度为；以为原点，为x轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，设，且设直线与直线所成的角为，则，则又，，又，，即直线与直线所成的角的取值范围为故答案为：，四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线和直线.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.解：（1）若，则，解得或2；（2）若，则，解得或1.时，，满足，时，，此时与重合，所以.18.已知数列的前n项和．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的最大项是该数列的第几项．解：（1）当时，，不满足上式，当时，，故数列的通项公式为.（2）由已知得，当时，，则，即，得，即，所以当，的最大项为第7项，又，所以数列的最大项是该数列的第项.19.已知直线与抛物线恒有两个交点A、B．（1）求p的取值范围；（2）当时，直线l过抛物线C的焦点F，求此时线段的长度．解：（1）（法一）由题：，知恒过顶点，又与抛物线恒有两个交点，将定点代入抛物线方程，故，解得，即的取值范围为；（法二）将直线与抛物线方程联立，得，得，又因为直线与抛物线恒有两个