2023-2024学年湖北省荆门市高二上学期1月期末学业水平检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省荆门市2023-2024学年高二上学期1月期末学业水平检测数学试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.椭圆的长轴长为（）A.1 B.2 C. D.4【答案】B【解析】椭圆的标准方程为则长轴长为故选：B2.对于正整数，若数列为等差数列，则是的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由等差数列的性质可知，，，，，反之，取数列为常数列，对任意，，，，都有．故选：．3.在下列关于概率的命题中，正确的是（）A.若事件、满足，则、为对立事件B.若三个事件、、两两独立，则C.若事件、满足，，，则、相互独立D.若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件【答案】C【解析】对于A选项，若事件、不互斥，但是恰好，满足，但是、不是对立事件．故A错误；对于B选项，设样本空间含有等可能的样本点，且，，，可求得，，，所以，，，即、、两两独立，但，所以，故B错误；对于C选项，因为事件、满足，，，所以，所以、相互独立，故C正确；对于D选项，若事件与是互斥事件，不妨设与对立，则，此时，与是同一事件，故D错误．故选：C.4.F为抛物线的焦点，点在C上，直线MF交C的准线于点N，则（）A. B. C.5 D.12【答案】B【解析】点在抛物线上，则，解之得，则又抛物线的焦点F，准线则直线MF的方程为，则N则故选：B5.在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到3333大约需要的天数为（）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：）A42 B.43 C.35 D.49【答案】A【解析】设第n轮感染的人数为，则数列是，公比的等比数列，由，可得，两边取对数得，所以，所以，故需要的天数约为.故选：A6.在四面体中，M点在线段上，且，G是的重心，已知，，，则等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为G是的重心，则，由，得，所以.故选：C.7.已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意得，圆的标准方程为，故，，又点在圆外，所以，，或，所以m的取值范围为．故选：D.8.已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于．已知，，则的长度为（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】平面和平面的夹角为，则二面角的大小为或，因为，所以或，由题可知，，故或，或．故选：D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（）A B.C. D.【答案】AC【解析】对于A，平面DEF，平面DEF，直线AB与平面DEF平行，故A正确；对于B，如图，取正方体所在棱的中点G，连接FG并延长，交AB延长线于H，则AB与平面DEF相交于点H，故B错误；对于C，，平面DEF，平面DEF，直线AB与平面DEF平行，故C正确；对于D，AB与DF所在平面的正方形对角线有交点B，DF与该对角线平行，直线AB与平面DEF相交，故D错误.故选：AC.10.下列说法不正确的有（）A.若两条直线与互相平行，则实数a的值为B.若直线不经过第三象限，则点在第二象限C.过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为D.已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为或【答案】BC【解析】对于A，若两条直线与互相平行，其中直线的斜率为，则直线的斜率存在且为，得，解得或，舍去，此时两条直线与重合，故实数a的值为，选项A正确；对于B，当时，直线不经过第三象限，此时点是坐标原点，不在第二象限，选项B错误；对于C，当直线过原点时，直线经过点，即直线也满足题意，选项C错误；对于D，将直线化为，所以直线恒过定点，且直线的斜率为，其中，，结合图象，若直线与线段相交，可得或，选项D正确．故选：BC.11.设数列前n项和为，，则下列说法正确的是（）A.B.当且仅当时，取得最大值C.时，n的最大值为33D.，，，……，，……中，最大值【答案】ACD【解析】对于A项，．当时，；当时，时，，满足．综上所述，，A正确；对于B项，要使取得最大值，则应有，即，解得．又，所以当或时，取得最大值．故B不正确；对于C项，由A知，，解，可得．所以，时，n的最大值为33．故C正确．对于D项，由前面可知当，，且当时，取得最大值，是最小正项，所以D正确．故选：ACD12.已知双曲线（，），实轴长为8，虚半轴长为，，分别为双曲线左右焦点，点，P为双曲线在第一象限上任意一点，则下列说法正确的是（）A.B.内切圆圆心的横坐标为定值C.若直线l交双曲线于A，B两点，且Q为中点，则直线l的方程为D.的最小值为【答案】ABD【解析】由题意可知：，，，双曲线方程为，对于选项A：因为，且，所以，故A正确；对于选项B：设内切圆的圆心为，内切圆与边分别切于点，可知：，因为，设点的横坐标为，由可知：点的横坐标为，则，即，所以内切圆圆心的横坐标为定值4，故B正确；对于选项C：设，，若Q为中点，则，可得，，因为A，B在双曲线上，则，两式相减得，整理得，即，所以直线l的方程为，即，联立方程，消去y得，计算，故C错误，对于选项D：因为，则，可得，当且仅当P在线段上时，等号成立，故D正确．故选：ABD.三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上）13.已知是等比数列，且，，则______.【答案】4【解析】设等比数列的公比为，由题意，所以，所以，所以.故答案为：414.在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲、乙进入了决赛.比赛规则是三局两胜制．根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6，利用计算机模拟实验，产生内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为__________．【答案】【解析】由计算机产生的15组数据中，甲获得冠军的数据有421，231，114，522，123，232，122，共7组，据此估计甲获得冠军的概率为．故答案为：.15.一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，交y轴于R，则光线从P到R所走的路程为__________．【答案】【解析】关于x轴的对称点，光线从射出与x轴相交于点，则反射光线所在的直线经过点，Q，则反射光线所在直线的方程为，化简得，得，所以则光线从P到R所走的路程为．故答案为：.16.若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，则实数t的所有可能取值的和为______.【答案】【解析】由已知得，，整理得，看成有且仅有三条直线满足，和到直线（不过原点）的距离t相等；由，（1）当，此时，易得符合题意的直线l为线段的垂直平分线以及直线平行的两条直线.（2）当时，有4条直线l会使得点和到它们的距离相等，注意到l不过原点，所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去；设点A到l的距离为d，①作为增根被舍去的直线l，过原点和A，B的中点，其方程为，此时，，符合；②作为增根被舍去的直线l，过原点且以为方向向量，其方程为，此时，，符合；综上，满足题意的实数t为，，，它们的和为.故答案为：四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.甲、乙两人组成“上元队”参加猜灯谜比赛，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.记事件“甲第一轮猜对”，“乙第一轮猜对”，“甲第二轮猜对”，“乙第二轮猜对”.（1）求“上元队”在第一轮活动中仅猜对1个灯谜的概率；（2）求“上元队”在两轮活动中，甲、乙猜对灯谜的个数相等且至少为1的概率.解：（1）设“上元队”在第一轮活动中仅猜对1个灯谜”，则，则，故“上元队”在第一轮活动中仅猜对1个灯谜的概率为.（2）甲两轮猜对1个灯谜的概率为，甲两轮猜对2个灯谜的概率为，乙两轮猜对1个灯谜的概率为，乙两轮猜对2个灯谜的概率为，所以“上元队”在两轮活动中，甲、乙猜对灯谜的个数相等且至少为1的概率为.18.已知数列的首项，且满足.（1）求证：数列为等比数列；（2）若，求满足条件的最大整数n.解：（1），，可得，又由，所以，则数列表示首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）可得，所以.设数列的前n项和为，则，若，即，因为函数为单调递增函数，所以满足的最大整数n的值为2023.19.如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆C半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a的取值范围．解：（1）根据题意，圆心C在直线上，也在直线上，联立方程，解得，即，所以圆．当切线斜率存在时，过点A的切线方程可设为，即，则，所以切线方程．当切线斜率不存在时，直线也与圆相切；综上所述：所求切线直线方程为或．（2）设点，，因为，则，即点M的轨迹方程为，又点M在圆C上，所以，若存在这样的点M，则与有公共点，即两圆的圆心距d满足，即，解得或，所以圆心C的横坐标a的取值范围为.20.在三棱锥中，M是线段的中点，，，，．（1）证明：P在平面内的射影O为的垂心；（2）求二面角的余弦值．解：（1）因为，可知，同理可得．且平面，平面，，所以平面．由平面，可得，又因为是的中点，且，则．由，可知，，则，所以，过P作平面于O，平面，则，，且，平面，所以平面，由平面，可知，由，，，所以平面，由平面，可知，且，平面，所以平面，由平面，可知，所以P在平面内的射影O为的垂心．（2）由（1）知，，，故以P为原点，为x轴，为z轴，为y轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，由（1）可知：平面，则平面的一个法向量为．因为，，设平面的一个法向量为，则，令，则，可得，设所求二面角的平面角为，由图象可知，为锐角，可得，所以二面角的平面角的余弦值为．21.已知数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由.解：（1）由题意知，当时，，因为，所以，①因为，所以，所以，②两式相减得，所以.由①②，数列是以2为首项，4为公比的等比数列，所以数列的通项公式；（2）由（1）知，，所以，所以.假设数列中存在3项，，，（其中成等差数列）成等比数列，则，互不相等，所以，即.又因为m，k，p成等差数列，所以，所以.化简得，所以，又，所以与已知矛盾.所以在数列中不存在3项，，成等比数列.22.已知椭圆的离心率为，，，，，设P为椭圆C上一点的面积的最大值为.（1）求椭圆C的方程；（2）当P在第三象限，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N，求证：四边形的面积为定值.解：（1）依题意，所以，又最大值为，所以，所以，解得，，所以椭圆C的方程为；（2）设点，由题意，，，而，，所以直线，所以点，所以，又直线，所以点，所以，所以，所以是定值.湖北省荆门市2023-2024学年高二上学期1月期末学业水平检测数学试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.椭圆的长轴长为（）A.1 B.2 C. D.4【答案】B【解析】椭圆的标准方程为则长轴长为故选：B2.对于正整数，若数列为等差数列，则是的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由等差数列的性质可知，，，，，反之，取数列为常数列，对任意，，，，都有．故选：．3.在下列关于概率的命题中，正确的是（）A.若事件、满足，则、为对立事件B.若三个事件、、两两独立，则C.若事件、满足，，，则、相互独立D.若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件【答案】C【解析】对于A选项，若事件、不互斥，但是恰好，满足，但是、不是对立事件．故A错误；对于B选项，设样本空间含有等可能的样本点，且，，，可求得，，，所以，，，即、、两两独立，但，所以，故B错误；对于C选项，因为事件、满足，，，所以，所以、相互独立，故C正确；对于D选项，若事件与是互斥事件，不妨设与对立，则，此时，与是同一事件，故D错误．故选：C.4.F为抛物线的焦点，点在C上，直线MF交C的准线于点N，则（）A. B. C.5 D.12【答案】B【解析】点在抛物线上，则，解之得，则又抛物线的焦点F，准线则直线MF的方程为，则N则故选：B5.在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到3333大约需要的天数为（）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：）A42 B.43 C.35 D.49【答案】A【解析】设第n轮感染的人数为，则数列是，公比的等比数列，由，可得，两边取对数得，所以，所以，故需要的天数约为.故选：A6.在四面体中，M点在线段上，且，G是的重心，已知，，，则等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为G是的重心，则，由，得，所以.故选：C.7.已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意得，圆的标准方程为，故，，又点在圆外，所以，，或，所以m的取值范围为．故选：D.8.已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于．已知，，则的长度为（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】平面和平面的夹角为，则二面角的大小为或，因为，所以或，由题可知，，故或，或．故选：D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（）A B.C. D.【答案】AC【解析】对于A，平面DEF，平面DEF，直线AB与平面DEF平行，故A正确；对于B，如图，取正方体所在棱的中点G，连接FG并延长，交AB延长线于H，则AB与平面DEF相交于点H，故B错误；对于C，，平面DEF，平面DEF，直线AB与平面DEF平行，故C正确；对于D，AB与DF所在平面的正方形对角线有交点B，DF与该对角线平行，直线AB与平面DEF相交，故D错误.故选：AC.10.下列说法不正确的有（）A.若两条直线与互相平行，则实数a的值为B.若直线不经过第三象限，则点在第二象限C.过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为D.已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为或【答案】BC【解析】对于A，若两条直线与互相平行，其中直线的斜率为，则直线的斜率存在且为，得，解得或，舍去，此时两条直线与重合，故实数a的值为，选项A正确；对于B，当时，直线不经过第三象限，此时点是坐标原点，不在第二象限，选项B错误；对于C，当直线过原点时，直线经过点，即直线也满足题意，选项C错误；对于D，将直线化为，所以直线恒过定点，且直线的斜率为，其中，，结合图象，若直线与线段相交，可得或，选项D正确．故选：BC.11.设数列前n项和为，，则下列说法正确的是（）A.B.当且仅当时，取得最大值C.时，n的最大值为33D.，，，……，，……中，最大值【答案】ACD【解析】对于A项，．当时，；当时，时，，满足．综上所述，，A正确；对于B项，要使取得最大值，则应有，即，解得．又，所以当或时，取得最大值．故B不正确；对于C项，由A知，，解，可得．所以，时，n的最大值为33．故C正确．对于D项，由前面可知当，，且当时，取得最大值，是最小正项，所以D正确．故选：ACD12.已知双曲线（，），实轴长为8，虚半轴长为，，分别为双曲线左右焦点，点，P为双曲线在第一象限上任意一点，则下列说法正确的是（）A.B.内切圆圆心的横坐标为定值C.若直线l交双曲线于A，B两点，且Q为中点，则直线l的方程为D.的最小值为【答案】ABD【解析】由题意可知：，，，双曲线方程为，对于选项A：因为，且，所以，故A正确；对于选项B：设内切圆的圆心为，内切圆与边分别切于点，可知：，因为，设点的横坐标为，由可知：点的横坐标为，则，即，所以内切圆圆心的横坐标为定值4，故B正确；对于选项C：设，，若Q为中点，则，可得，，因为A，B在双曲线上，则，两式相减得，整理得，即，所以直线l的方程为，即，联立方程，消去y得，计算，故C错误，对于选项D：因为，则，可得，当且仅当P在线段上时，等号成立，故D正确．故选：ABD.三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上）13.已知是等比数列，且，，则______.【答案】4【解析】设等比数列的公比为，由题意，所以，所以，所以.故答案为：414.在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲、乙进入了决赛.比赛规则是三局两胜制．根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6，利用计算机模拟实验，产生内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为__________．【答案】【解析】由计算机产生的15组数据中，甲获得冠军的数据有421，231，114，522，123，232，122，共7组，据此估计甲获得冠军的概率为．故答案为：.15.一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，交y轴于R，则光线从P到R所走的路程为__________．【答案】【解析】关于x轴的对称点，光线从射出与x轴相交于点，则反射光线所在的直线经过点，Q，则反射光线所在直线的方程为，化简得，得，所以则光线从P到R所走的路程为．故答案为：.16.若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，则实数t的所有可能取值的和为______.【答案】【解析】由已知得，，整理得，看成有且仅有三条直线满足，和到直线（不过原点）的距离t相等；由，（1）当，此时，易得符合题意的直线l为线段的垂直平分线以及直线平行的两条直线.（2）当时，有4条直线l会使得点和到它们的距离相等，注意到l不过原点，所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去；设点A到l的距离为d，①作为增根被舍去的直线l，过原点和A，B的中点，其方程为，此时，，符合；②作为增根被舍去的直线l，过原点且以为方向向量，其方程为，此时，，符合；综上，满足题意的实数t为，，，它们的和为.故答案为：四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.甲、乙两人组成“上元队”参加猜灯谜比赛，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.记事件“甲第一轮猜对”，“乙第一轮猜对”，“甲第二轮猜对”，“乙第二轮猜对”.（1）求“上元队”在第一轮活动中仅猜对1个灯谜的概率；（2）求“上元队”在两轮活动中，甲、乙猜对灯谜的个数相等且至少为1的概率.解：（1）设“上元队”在第一轮活动中仅猜对1个灯谜”，则，则，故“上元队”在第一轮活动中仅猜对1个灯谜的概率为.（2）甲两轮猜对1个灯谜的概率为，甲两轮猜对2个灯谜的概率为，乙两轮猜对1个灯谜的概率为，乙两轮猜对2个灯谜的概率为，所以“上元队”在两轮活动中，甲、乙猜对灯谜的个数相等且至少为1的概率为.18.已知数列的首项，且满足.（1）求证：数列为等比数列；（2）若，求满足条件的最大整数n.解：（1），，可得，又由，所以，则数列表示首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）可得，所以.设数列的前n项和为，则，若，即，因为函数为单调递增函数，所以满足的最大整数n的值为2023.19.如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆C半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线上，过点A作