2023-2024学年河南省南阳市桐柏县高二上学期期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省南阳市桐柏县2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题注意事项：1、答题前考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上并将考生的条形码贴在答题卡指定位置上2、回答选择题时，选出每小题答案之后用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、单选题（每题5分共40分）1.若两平行直线与之间的距离是，则（）A. B.0 C.1 D.【答案】B【解析】因为直线与直线平行，所以有，所以有，又因为这两条平行线间距离为，所以有，或舍去，所以，故选：B2.已知随机变量服从正态分布，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，.故选：B.3.已知O为坐标原点，，是椭圆C：（）的焦点，过右焦点且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，，可得，又由，可得，故，由得，整理得，即，解之得或（舍）.故选：A4.已知空间中直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（）A.直线与平面平行 B.直线在平面内C.直线与平面垂直 D.直线与平面不相交【答案】C【解析】由，，可得，所以，故是平面的一个法向量，故直线与平面垂直，故选：C5.已知椭圆的焦点为，为上一点，且点不在直线上，则“”是“的周长大于”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为，所以，又，所以的周长为．若，则．若，则．所以“”是“的周长大于”的必要不充分条件．故C正确.故选：C.6.中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品.经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型.现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为（）A.216 B.228 C.384 D.486【答案】A【解析】先挂2盏吊灯有种挂法，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯有种挂法，最后将宫灯插空挂.当4盏宫灯分成2，2两份插空时有种挂法；当4盏宫灯分成1，1，2三份插空时有种挂法；当4盏宫灯分成1，1，1，1四份插空时有1种挂法，所以共有种不同的挂法.故选：A7.如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,故，，，.故选：A8.已知分别为双曲线的左、右焦点，过且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（）A B. C. D.【答案】B【解析】如图，不妨设点P为与双曲线渐近线平行的直线与双曲线的交点.由已知结合双曲线的定义可得，所以，，，，且锐角.又，，所以，.又，在中，由余弦定理可得，整理可得，，所以，.故选：B.二、多选题（每题5分共20分）9.已知圆经过点、，为直角三角形，则圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】设圆心，由题意可知，，即，解得，因为为直角三角形，则为直角三角形，则，即，解得，则圆的半径为，圆心为，因此，圆的方程为或，故选：BC.10.已知向量，，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】AC【解析】若，则，得，故A正确，B错误；若，则，即，故C正确，D错误；故选：AC.11.如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足.下列说法中错误的是（）A.点可以是棱的中点B.线段长度的最大值为C.点的轨迹是正方形D.点的轨迹长度为【答案】ABC【解析】在正方体中，分别以DA，DC，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，∵该正方体的棱长为1，M，N分别为，的中点，∴，，，，∴，设，则，∵，∴，即当时，，当时，，取，，，，连结EF，FG，，HE，则，，所以，∴四边形EFGH为矩形，则，，即，，又和为平面内的两条相交直线，∴平面EFGH，又，，∴M为EG的中点，则平面EFGH，为使，必有点平面EFGH，又点P在正方体表面上运动，∴点P的轨迹为四边形EFGH，因此点P不可能是棱的中点，故选项A错误；又，，∴，则点P的轨迹不是正方形且矩形EFGH周长为，故选项C错误，选项D正确；∵，，又，则，即，∴，点在正方体表面运动，则，解，∴，故当或，或1，MP取得最大值为，故B错误.故选：ABC．12.已知椭圆：的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（）A.离心率的取值范围为 B.当时，的最大值为C.存在点，使得 D.的最小值为【答案】ABD【解析】对于A项：因为点在椭圆内部，所以，得，，故A项正确；对于B项：，当在轴下方时，且，，三点共线时，有最大值，由，得，，所以得，所以最大值，故B项正确；对于C项：设，若，即：，则得，即点在以原点为圆心，半径为的圆上，又由A项知，得，又因为，得，所以得，所以该圆与椭圆无交点，故C项错误；对于D项：，，当且仅当时取等号，故D项正确.故选：ABD.三、填空题（每题5分共20分）13.已知抛物线,直线与抛物线交于两点,与圆交于两点在第一象限，则的最小值为______.【答案】【解析】因为抛物线M的方程为，所以抛物线M的焦点为，准线，则直线过抛物线的焦点F，当时，联立与可得，所以，则；当时，如图，过作轴于K，设抛物线的准线交y轴于E，则，得，则，同理可得，所以，化圆N：为，则圆N的圆心为F，半径为1，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：14.在的二项展开式中，的系数为______．【答案】【解析】根据二项式展开式的通项公式得：，令，则.故答案为：.15.在正方体中，设，若二面角的平面角的正弦值为，则实数的值为______．【答案】或【解析】建立空间直角坐标系如图所示，

设棱长为1，,则，，设平面，平面的一个法向量分别为，所以，，即，，分别令，则，故，设二面角的平面角为，由，则，故由，解得或.16.已知直线和直线，则曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是____________．【答案】【解析】设点的坐标为则动点到直线的距离为；动点直线的距离为.所以曲线上一动点到直线和直线的距离之和为令，即则的几何意义是过点的直线在轴上的截距.因为点在曲线上.所以当直线与曲线相切时有最值.因为曲线是以圆心，为半径的圆.则，解得或所以曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值为.故答案为：四、解答题（共70分）17.已知在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n的值，并求该展开式中二项式系数最大的项；（2）求含的项的系数.解：（1）根据二项式定理写出的通项公式为：……①二项式展开的第6项……②②代入①有第6项为：……③第6项为常数，且由③式可得：……④因为展开式共有项，故二项式系数最大项为第项，此时的，展开式第的二项式系数为，故答案为：.（2）由第1小问可知，且通项公式为：……⑤只需要令⑤式中的指数为2……⑥含的项的系数，故答案为：.18.如图，边长为2的等边所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M为BC的中点．（1）证明：；（2）求平面与平面的夹角的大小；（3）求点D到平面的距离．解：（1）以D为原点，为x轴，为y轴，过D作平面垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，所以.（2）因为平面的法向量，又，设平面的法向量，则，取，设平面与平面夹角的大小为，，所以，所以平面与平面夹角的大小为；（3），由（2）知平面的法向量，所以点D到平面的距离．19.已知椭圆C：（，）的长轴为，短轴长为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l：与椭圆C交于不同两点A、B，且，求直线的方程．解：（1）由已知长轴为，短轴长为4，可得，，则椭圆C的标准方程为：；（2）依题意，解得，因为，可得，且，因为，解得，所以直线的方程为l：．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，E为棱AB的中点，AC⊥PE，PA=PD.（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若PA=AD，∠BAD=60°，求二面角的正弦值.解：（1）如图，连接,取中点,连接,因底面ABCD为菱形，故,又E为棱AB的中点，故，则，已知平面，故平面，因平面，则，因，则又平面则平面，又平面，故平面平面（2）如图，连，由（1）知平面，且∠BAD=60°，则是正三角形，,故可以分别为轴正方向建立空间直角坐标系.不妨设,则于是,设平面D的法向量为，则有可取.因，故可取平面的法向量为.设二面角的平面角为，则为锐角，故则即二面角的正弦值为.21.某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章.（1）记甲同学在一轮比赛答对的题目数为，请写出的分布列，并求；（2）若甲同学进行了10轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大.解：（1）由题意，可取0，1，2，3，4.,，，，，则的分布列为：01234.（2）每一轮获得纪念章的概率为，每一轮相互独立，则每一轮比赛可视为二项分布，设10轮答题获得纪念章的数量为，则，，.由，得，解得，又，得，则获得4枚纪念章的概率最大.22.已知双曲线实轴长为2，且其渐近线方程为．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点且斜率不为0的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，（为坐标原点）的斜率分别为，，求是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）若实轴长为2，则，易知渐近线方程为，，解得，可得双曲线的标准方程为.（2）设直线的方程为其与的交点为联立得所以因为所以即所以所以河南省南阳市桐柏县2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题注意事项：1、答题前考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上并将考生的条形码贴在答题卡指定位置上2、回答选择题时，选出每小题答案之后用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、单选题（每题5分共40分）1.若两平行直线与之间的距离是，则（）A. B.0 C.1 D.【答案】B【解析】因为直线与直线平行，所以有，所以有，又因为这两条平行线间距离为，所以有，或舍去，所以，故选：B2.已知随机变量服从正态分布，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，.故选：B.3.已知O为坐标原点，，是椭圆C：（）的焦点，过右焦点且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，，可得，又由，可得，故，由得，整理得，即，解之得或（舍）.故选：A4.已知空间中直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（）A.直线与平面平行 B.直线在平面内C.直线与平面垂直 D.直线与平面不相交【答案】C【解析】由，，可得，所以，故是平面的一个法向量，故直线与平面垂直，故选：C5.已知椭圆的焦点为，为上一点，且点不在直线上，则“”是“的周长大于”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为，所以，又，所以的周长为．若，则．若，则．所以“”是“的周长大于”的必要不充分条件．故C正确.故选：C.6.中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品.经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型.现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为（）A.216 B.228 C.384 D.486【答案】A【解析】先挂2盏吊灯有种挂法，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯有种挂法，最后将宫灯插空挂.当4盏宫灯分成2，2两份插空时有种挂法；当4盏宫灯分成1，1，2三份插空时有种挂法；当4盏宫灯分成1，1，1，1四份插空时有1种挂法，所以共有种不同的挂法.故选：A7.如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,故，，，.故选：A8.已知分别为双曲线的左、右焦点，过且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（）A B. C. D.【答案】B【解析】如图，不妨设点P为与双曲线渐近线平行的直线与双曲线的交点.由已知结合双曲线的定义可得，所以，，，，且锐角.又，，所以，.又，在中，由余弦定理可得，整理可得，，所以，.故选：B.二、多选题（每题5分共20分）9.已知圆经过点、，为直角三角形，则圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】设圆心，由题意可知，，即，解得，因为为直角三角形，则为直角三角形，则，即，解得，则圆的半径为，圆心为，因此，圆的方程为或，故选：BC.10.已知向量，，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】AC【解析】若，则，得，故A正确，B错误；若，则，即，故C正确，D错误；故选：AC.11.如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足.下列说法中错误的是（）A.点可以是棱的中点B.线段长度的最大值为C.点的轨迹是正方形D.点的轨迹长度为【答案】ABC【解析】在正方体中，分别以DA，DC，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，∵该正方体的棱长为1，M，N分别为，的中点，∴，，，，∴，设，则，∵，∴，即当时，，当时，，取，，，，连结EF，FG，，HE，则，，所以，∴四边形EFGH为矩形，则，，即，，又和为平面内的两条相交直线，∴平面EFGH，又，，∴M为EG的中点，则平面EFGH，为使，必有点平面EFGH，又点P在正方体表面上运动，∴点P的轨迹为四边形EFGH，因此点P不可能是棱的中点，故选项A错误；又，，∴，则点P的轨迹不是正方形且矩形EFGH周长为，故选项C错误，选项D正确；∵，，又，则，即，∴，点在正方体表面运动，则，解，∴，故当或，或1，MP取得最大值为，故B错误.故选：ABC．12.已知椭圆：的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（）A.离心率的取值范围为 B.当时，的最大值为C.存在点，使得 D.的最小值为【答案】ABD【解析】对于A项：因为点在椭圆内部，所以，得，，故A项正确；对于B项：，当在轴下方时，且，，三点共线时，有最大值，由，得，，所以得，所以最大值，故B项正确；对于C项：设，若，即：，则得，即点在以原点为圆心，半径为的圆上，又由A项知，得，又因为，得，所以得，所以该圆与椭圆无交点，故C项错误；对于D项：，，当且仅当时取等号，故D项正确.故选：ABD.三、填空题（每题5分共20分）13.已知抛物线,直线与抛物线交于两点,与圆交于两点在第一象限，则的最小值为______.【答案】【解析】因为抛物线M的方程为，所以抛物线M的焦点为，准线，则直线过抛物线的焦点F，当时，联立与可得，所以，则；当时，如图，过作轴于K，设抛物线的准线交y轴于E，则，得，则，同理可得，所以，化圆N：为，则圆N的圆心为F，半径为1，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：14.在的二项展开式中，的系数为______．【答案】【解析】根据二项式展开式的通项公式得：，令，则.故答案为：.15.在正方体中，设，若二面角的平面角的正弦值为，则实数的值为______．【答案】或【解析】建立空间直角坐标系如图所示，

设棱长为1，,则，，设平面，平面的一个法向量分别为，所以，，即，，分别令，则，故，设二面角的平面角为，由，则，故由，解得或.16.已知直线和直线，则曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是____________．【答案】【解析】设点的坐标为则动点到直线的距离为；动点直线的距离为.所以曲线上一动点到直线和直线的距离之和为令，即则的几何意义是过点的直线在轴上的截距.因为点在曲线上.所以当直线与曲线相切时有最值.因为曲线是以圆心，为半径的圆.则，解得或所以曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值为.故答案为：四、解答题（共70分）17.已知在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n的值，并求该展开式中二项式系数最大的项；（2）求含的项的系数.解：（1）根据二项式定理写出的通项公式为：……①二项式展开的第6项……②②代入①有第6项为：……③第6项为常数，且由③式可得：……④因为展开式共有项，故二项式系数最大项为第项，此时的，展开式第的二项式系数为，故答案为：.（2）由第1小问可知，且通项公式为：……⑤只需要令⑤式中的指数为2……⑥含的项的系数，故答案为：.18.如图，边长为2的等边所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M为BC的中点．（1）证明：；（2）求平面与平面的夹角的大小；（3）求点D到平面的距离．解：（1）以D为原点，为x轴，为y轴，过D作平面垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，所以.（2）因为平面的法向量，又，设平面的法向量，则，取，设平面与平面夹角的大小为，，所以，所以平面与平面夹角的大小为；（3），由（2）知平面的法向量，所以点D到平面的距离．19.已知椭圆C：（，）的长轴为，短轴长为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l：与椭圆C交于不同两点A、B，且，求直线的方程．解：（1）由已知长轴为，短轴长为4，可得，，则椭圆C的标准方程为：；（2）依题意，解得，因为，可得，且，因为