2023-2024学年河南省洛阳市高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省洛阳市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线的斜率为，设直线倾斜角为，则，，．故选：C．2.若平面的法向量为，直线的方向向量为，，则下列四组向量中能使的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】根据题意，平面的法向量为，直线的方向向量为，，若，即，又由，则有，依次分析选项：对于A，，，，即成立，符合题意；对于B，，，，即不成立，不符合题意；对于C，，，，即不成立，不符合题意；对于D，，，，即不成立，不符合题意．故选：A．3.周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺,前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（）A.尺 B.尺 C.尺 D.尺【答案】C【解析】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长分别为，，，，前n项和，由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，得，解得，，所以谷雨日影长为（尺）．故选：C4.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（）A. B.C. D.且【答案】A【解析】方程，即表示焦点在轴上的椭圆，，解得．故选：A．5.椭圆的左、右顶点分别是，椭圆的左焦点和中心分别是，已知是，的等比中项，则此椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意可得，由是，的等比中项，可得，可得，所以．故选：B6.已知等比数列的首项为，前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为等比数列首项为，若，则，可得，解得，所以．故选：．7.若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为圆上总存在两个点到点的距离为，所以圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点，则圆与圆相交，所以，即，解得：且，所以实数的取值范围是．故选：D．8.已知为双曲线左支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心若，则点到焦点的距离是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，，，所以，，，又由双曲线的定义可知，设的内切圆的半径为，因为，所以，所以，所以，所以，设圆与的三边，，分别相切于，，三点，连接，，，如下图所示：由内切圆的性质可得，，，因为，所以，即，由，所以，，因为，，所以，即点到焦点的距离是．故选：B．二、多选题：本题共4小题，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知双曲线：，则（）A.双曲线的离心率为 B.双曲线的虚轴长为C.双曲线的实半轴长为 D.双曲线的渐近线方程为【答案】AB【解析】双曲线：的标准方程为，则双曲线的实半轴长、虚半轴长，半焦距，所以双曲线的离心率，故A正确；双曲线的虚轴长为，B正确；双曲线的实半轴长为，故C错误；双曲线的渐近线方程为，故D错误．故选：．10.三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】，所以二面角的大小可能为或．故选：BC11.已知，，直线，相交于，直线，的斜率分别为，，则（）A.当时，点的轨迹为除去，两点的椭圆B.当时，点轨迹为除去，两点的圆C.当时，点的轨迹为除去，两点的双曲线D.当时，点的轨迹为除去，两点的抛物线【答案】ABC【解析】根据题意知：，，设，对选项，，化简可得，点的轨迹为除去,点的椭圆，故A正确；对B选项,，,化简可得，，点的轨迹为除去，两点的圆，故B正确；对C选项，，,化简可得，,点的轨迹为除去，两点的双曲线，故C正确；对D选项，,化简可得，,点的轨迹不是除去，两点的抛物线，故D错误．故选：ABC12.数列满足，，数列的前项和为，且，则下列正确的是（）A.是数列中的项B.数列是首项为，公比为的等比数列C.数列的前项和D.数列的前项和【答案】BCD【解析】数列满足，，可得，即有，即，由，可得，解得，当时，由，可得，两式相减可得，即为，即数列是首项为，公比为的等比数列，则，故B正确；令，解得，不为整数，故A错误；，则，故C正确；，，，两式相减可得，化为，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知直线：与：平行，则______．【答案】【解析】因为两条直线平行，所以，解得．故答案为：．14.已知抛物线：的焦点为，点是抛物线的准线与轴的交点，点在抛物线上（点在第一象限），若，则______．【答案】【解析】由题意可知：抛物线的焦点，准线，作垂直轴于点，若，则，不妨设，则，由勾股定理可知，则，所以，解得，所以．故答案为：．15.已知数列的前项的积为，且，则满足的最小正整数的值为______．【答案】【解析】当时，有，所以；当时，由，得，即，则有数列是等差数列，其中公差为，首项为，可得，即，所以，若，则，即，因为数列单调递增数列，且当时，；当时，，所以满足的最小正整数的值为．故答案为：．16.已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：（a＞0）的右支上，若恒成立，则实数a的取值范围为__．【答案】.【解析】设P2关于轴的对称点P3（x2，﹣y2）仍在双曲线右支，由，得，即恒成立，∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°，∴其中一条渐近线的斜率，∴a≥1，所以实数a的取值范围为．故答案为：[1，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为的等比数列，且．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和．解：（1）设等差数列的公差为，由，，可得，，解得，，则；数列是公比为的等比数列，且，可得，即有；（2）由（1）知，18.已知圆：．（1）若直线过定点，且与圆相切，求的方程；（2）若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程．解：（1）由圆：得圆心，半径，当直线斜率存在时，设：，即，所以，解得，所以切线为，即，当直线斜率不存在时，直线为，易知也是圆的切线，所以直线的方程为：或；（2）设，则，解得，；或，，故所求圆的方程为或.19.如图，在正三棱柱中，，，为侧棱上的点，且，点，分别为，的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）取的中点，连接，，由正三棱柱性质可知平面，又，平面，可得，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空问直角坐标系，则，所以，由于，所以异面直线与所成角的余弦值为（2）因为平面，所以平面的一个法向量为，则，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．20.已知数列的前项和为，，，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．解：（1）由得，，即，又，，，即数列是首项为，公比为的等比数列，；（2）由（1）知，，，则，数列的前项和．21.已知椭圆：的短轴长为，且椭圆经过点．（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程．解：（1）由短轴长为，可得，即，将代入可得：，解得，所以椭圆的方程为：；（2）显然直线的斜率不为，设直线的方程为，设，，联立，整理得：，得，，且，因为，所以，所以，即，即，所以，整理可得：，解得，所以直线的方程为：，即22.在平面直角坐标系中，已知点，直线：，点在直线上移动，是线段与轴的交点，动点满足：，．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线交轨迹于，两点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与轨迹的另一交点为，的中点为，证明：，，三点共线．解：（1）由题意可知是线段的中点，因为，所以为的中垂线，即，又因为，即点到点的距离与到直线的距离相等，设，则，化简得，所以动点的轨迹的方程为．（2）设直线的方程为，设点，，联立，得，显然，由韦达定理可得，，又因为直线的方程为，将代入，可得，即点，所以，因为，则，所以直线的方程为，联立，得，则，故，，故G，，三点纵坐标相同，即三点共线．河南省洛阳市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线的斜率为，设直线倾斜角为，则，，．故选：C．2.若平面的法向量为，直线的方向向量为，，则下列四组向量中能使的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】根据题意，平面的法向量为，直线的方向向量为，，若，即，又由，则有，依次分析选项：对于A，，，，即成立，符合题意；对于B，，，，即不成立，不符合题意；对于C，，，，即不成立，不符合题意；对于D，，，，即不成立，不符合题意．故选：A．3.周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺,前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（）A.尺 B.尺 C.尺 D.尺【答案】C【解析】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长分别为，，，，前n项和，由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，得，解得，，所以谷雨日影长为（尺）．故选：C4.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（）A. B.C. D.且【答案】A【解析】方程，即表示焦点在轴上的椭圆，，解得．故选：A．5.椭圆的左、右顶点分别是，椭圆的左焦点和中心分别是，已知是，的等比中项，则此椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意可得，由是，的等比中项，可得，可得，所以．故选：B6.已知等比数列的首项为，前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为等比数列首项为，若，则，可得，解得，所以．故选：．7.若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为圆上总存在两个点到点的距离为，所以圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点，则圆与圆相交，所以，即，解得：且，所以实数的取值范围是．故选：D．8.已知为双曲线左支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心若，则点到焦点的距离是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，，，所以，，，又由双曲线的定义可知，设的内切圆的半径为，因为，所以，所以，所以，所以，设圆与的三边，，分别相切于，，三点，连接，，，如下图所示：由内切圆的性质可得，，，因为，所以，即，由，所以，，因为，，所以，即点到焦点的距离是．故选：B．二、多选题：本题共4小题，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知双曲线：，则（）A.双曲线的离心率为 B.双曲线的虚轴长为C.双曲线的实半轴长为 D.双曲线的渐近线方程为【答案】AB【解析】双曲线：的标准方程为，则双曲线的实半轴长、虚半轴长，半焦距，所以双曲线的离心率，故A正确；双曲线的虚轴长为，B正确；双曲线的实半轴长为，故C错误；双曲线的渐近线方程为，故D错误．故选：．10.三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】，所以二面角的大小可能为或．故选：BC11.已知，，直线，相交于，直线，的斜率分别为，，则（）A.当时，点的轨迹为除去，两点的椭圆B.当时，点轨迹为除去，两点的圆C.当时，点的轨迹为除去，两点的双曲线D.当时，点的轨迹为除去，两点的抛物线【答案】ABC【解析】根据题意知：，，设，对选项，，化简可得，点的轨迹为除去,点的椭圆，故A正确；对B选项,，,化简可得，，点的轨迹为除去，两点的圆，故B正确；对C选项，，,化简可得，,点的轨迹为除去，两点的双曲线，故C正确；对D选项，,化简可得，,点的轨迹不是除去，两点的抛物线，故D错误．故选：ABC12.数列满足，，数列的前项和为，且，则下列正确的是（）A.是数列中的项B.数列是首项为，公比为的等比数列C.数列的前项和D.数列的前项和【答案】BCD【解析】数列满足，，可得，即有，即，由，可得，解得，当时，由，可得，两式相减可得，即为，即数列是首项为，公比为的等比数列，则，故B正确；令，解得，不为整数，故A错误；，则，故C正确；，，，两式相减可得，化为，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知直线：与：平行，则______．【答案】【解析】因为两条直线平行，所以，解得．故答案为：．14.已知抛物线：的焦点为，点是抛物线的准线与轴的交点，点在抛物线上（点在第一象限），若，则______．【答案】【解析】由题意可知：抛物线的焦点，准线，作垂直轴于点，若，则，不妨设，则，由勾股定理可知，则，所以，解得，所以．故答案为：．15.已知数列的前项的积为，且，则满足的最小正整数的值为______．【答案】【解析】当时，有，所以；当时，由，得，即，则有数列是等差数列，其中公差为，首项为，可得，即，所以，若，则，即，因为数列单调递增数列，且当时，；当时，，所以满足的最小正整数的值为．故答案为：．16.已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：（a＞0）的右支上，若恒成立，则实数a的取值范围为__．【答案】.【解析】设P2关于轴的对称点P3（x2，﹣y2）仍在双曲线右支，由，得，即恒成立，∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°，∴其中一条渐近线的斜率，∴a≥1，所以实数a的取值范围为．故答案为：[1，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为的等比数列，且．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和．解：（1）设等差数列的公差为，由，，可得，，解得，，则；数列是公比为的等比数列，且，可得，即有；（2）由（1）知，18.已知圆：．（1）若直线过定点，且与圆相切，求的方程；（2）若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程．解：（1）由圆：得圆心，半径，当直线斜率存在时，设：，即，所以，解得，所以切线为，即，当直线斜率不存在时，直线为，易知也是圆的切线，所以直线的方程为：或；（2）设，则，解得，；或，，故所求圆的方程为或.19.如图，在正三棱柱中，，，为侧棱上的点，且，点，分别为，的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的正弦