2023-2024学年广东省广州市天河区高一上学期期末考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省广州市天河区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故选：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当，则成立；反之，当，时，显然不一定成立，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了．将这一事实表示成一个不等式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，即.故选：B.4.已知点在角的终边上，则的值为（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】由已知，.故选：A.5.如图中，①②③④中不属于函数，，中一个的是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】B【解析】由指数函数的性质可知：①是的部分图象；③是的部分图象；④是的部分图象；所以只有②不是指数函数的图象.故选：B.6.已知，若，则实数为（）A.或2 B.2或 C.或 D.2【答案】D【解析】若，，解得；若，，舍去.故选：D.7.已知，，则的大小关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，所以：.故选：A.8.定义在上的函数满足：是奇函数，且函数的图象与函数的交点为，则（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】因为是奇函数，所以关于点对称，又函数的图象关于点对称，所以两个函数图象的交点也关于点对称，所以两个图象的横坐标之和：.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由题意，解得集合，，则，故A错误，B正确；，C正确；，D正确.故选：BCD.10.下列说法正确的是（）A.与的终边相同B.若，则C.若是第二象限角，则是第一象限角D.已知某扇形的半径为2，面积为，那么此扇形的弧长为【答案】AD【解析】对于A，与的终边相同，都是x轴的非负半轴，故A正确；对于B，，是第二象限角，所以，故B错误；对于C，若是第二象限角，即，则，则是第一象限或第三象限角，故C错误；对于D，设此扇形的弧长为，则，解得，故D项正确.故选：AD.11.教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表1.251.3751.406251.4221.43751.50.020.33分析表中数据，则下列说法正确的是：（）A.B.方程有实数解C.若精确度到0.1，则近似解可取为1.375D.若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375【答案】BC【解析】∵与都是R上的单调递增函数，∴是R上的单调递增函数，∴在R上至多有一个零点，由表格中的数据可知：，，∴在R上有唯一零点，零点所在的区间为，∴，A错误；方程有实数解，B正确；，即精确度到0.1，则近似解可取为1.375，C正确；，即精确度为0.01，则近似解不可取为1.4375，D错误.故选：BC.12.已知函数（为自然对数的底数），则（）A.函数至少有1个零点B.函数至多有1个零点C.当时，若，则D.当时，方程恰有4个不同实数根【答案】ACD【解析】作出函数和函数的图象如图所示：当时，函数只有1个零点，当时，函数有2个零点，当时，函数只有1个零点，故选项A正确，B错误；当时，因为每一段单增，且，所以函数为增函数，故选项C正确；当时，，当时，该方程有两个解，当时，该方程有两个解，所以方程有4个不同的解，故选项D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中第16题第一空2分，第二空3分，共20分．13.命题“”的否定是____________________．【答案】【解析】由题意命题“”的否定是“”.故答案为：.14.已知函数在上单调递增，若，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】∵函数在上单调递增，且，∴，即，解得.故答案为：.15.已知指数函数和幂函数的图象都过点，若，则__________．【答案】【解析】依题意，设，，代入得，，解得，所以，，由，，解得：，所以.故答案为：.16.立德学校为了表彰在体育运动会上表现优秀的班级，特制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形的半径为10，，，则__________．（用表示），据调研发现，当最长时，该奖杯比较美观，此时的值为__________．【答案】【解析】作交于，交于，且，则，则，，设，作交于，交于，因为，所以，，，所以，所以，即，所以，所以，因为，所以当，即时，最大.故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合，全集．（1）求；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）由题意，解得：，则.（2）由题意，可知，因为，所以，解得：，即，实数的取值范围.18.已知函数．（1）判断的奇偶性，并根据定义证明；（2）判断函数在区间上单调性，并根据定义证明．解：（1）为奇函数，证明如下：函数定义域为R，所以，，则，所以为奇函数.（2）在上单调递减，证明如下：任取，且，则，因为，所以，，所以，即，故函数在上是减函数.19.已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点．（1）若，求的值：（2）若，求的值．解：（1）因角为第二象限角，为其终边和单位圆交点，且，所以，，由诱导公式得：原式.（2）因为角为第二象限角，且，所以为第一象限角，且，所以，即.20.某呼吸机生产企业本年度计划投资固定成本2300（万元）引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，每生产（单位：百台）另需投入成本（万元），当年产量不足50(百台)时，（万元；当年产量不小于50（百台）时，(万元)，据以往市场价格，每百台呼吸机的售价为600万元，且依据疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完.（1）求年利润(万元)关于年产量（百台）的函数解析式；(利润销售额一投入成本固定成本)（2）当年产量为多少时，年利润最大?并求出最大年利润.解：（1）当时，；当时，，综上：.（2）当时，，当时，取得最大值为1700万元，当时，，当且仅当，即时，等号成立，此时最大利润为1950万元，因，所以当年产量为75百台时，年利润最大，最大年利润为1950万元.21.已知函数．（1）求函数的最小正周期以及单调递减区间；（2）设函数，求函数在上的最大值、最小值．解：（1）因为函数，所以，最小正周期为，当时，即时，为减函数，则的单调递减区间为.（2）因为函数，令，则，因为在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以在上的最大值为5，最小值为.22.定义在上的奇函数，当时，，其中，且，其中是自然对数的底，．（1）求的值；（2）当时，求函数的解析式；（3）若存在，满足，求的取值范围．解：（1）∵，是奇函数，∴，则.（2）当时，，，又是奇函数，则，当时，，，又是奇函数，则，因为是定义在R上的奇函数，则，故.（3）若，则由，有，且，从而有，若，则由，有，而，所以等式不成立；若，则由，有，即，且，从而有，综上：的取值范围为.广东省广州市天河区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故选：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当，则成立；反之，当，时，显然不一定成立，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了．将这一事实表示成一个不等式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，即.故选：B.4.已知点在角的终边上，则的值为（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】由已知，.故选：A.5.如图中，①②③④中不属于函数，，中一个的是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】B【解析】由指数函数的性质可知：①是的部分图象；③是的部分图象；④是的部分图象；所以只有②不是指数函数的图象.故选：B.6.已知，若，则实数为（）A.或2 B.2或 C.或 D.2【答案】D【解析】若，，解得；若，，舍去.故选：D.7.已知，，则的大小关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，所以：.故选：A.8.定义在上的函数满足：是奇函数，且函数的图象与函数的交点为，则（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】因为是奇函数，所以关于点对称，又函数的图象关于点对称，所以两个函数图象的交点也关于点对称，所以两个图象的横坐标之和：.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由题意，解得集合，，则，故A错误，B正确；，C正确；，D正确.故选：BCD.10.下列说法正确的是（）A.与的终边相同B.若，则C.若是第二象限角，则是第一象限角D.已知某扇形的半径为2，面积为，那么此扇形的弧长为【答案】AD【解析】对于A，与的终边相同，都是x轴的非负半轴，故A正确；对于B，，是第二象限角，所以，故B错误；对于C，若是第二象限角，即，则，则是第一象限或第三象限角，故C错误；对于D，设此扇形的弧长为，则，解得，故D项正确.故选：AD.11.教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表1.251.3751.406251.4221.43751.50.020.33分析表中数据，则下列说法正确的是：（）A.B.方程有实数解C.若精确度到0.1，则近似解可取为1.375D.若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375【答案】BC【解析】∵与都是R上的单调递增函数，∴是R上的单调递增函数，∴在R上至多有一个零点，由表格中的数据可知：，，∴在R上有唯一零点，零点所在的区间为，∴，A错误；方程有实数解，B正确；，即精确度到0.1，则近似解可取为1.375，C正确；，即精确度为0.01，则近似解不可取为1.4375，D错误.故选：BC.12.已知函数（为自然对数的底数），则（）A.函数至少有1个零点B.函数至多有1个零点C.当时，若，则D.当时，方程恰有4个不同实数根【答案】ACD【解析】作出函数和函数的图象如图所示：当时，函数只有1个零点，当时，函数有2个零点，当时，函数只有1个零点，故选项A正确，B错误；当时，因为每一段单增，且，所以函数为增函数，故选项C正确；当时，，当时，该方程有两个解，当时，该方程有两个解，所以方程有4个不同的解，故选项D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中第16题第一空2分，第二空3分，共20分．13.命题“”的否定是____________________．【答案】【解析】由题意命题“”的否定是“”.故答案为：.14.已知函数在上单调递增，若，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】∵函数在上单调递增，且，∴，即，解得.故答案为：.15.已知指数函数和幂函数的图象都过点，若，则__________．【答案】【解析】依题意，设，，代入得，，解得，所以，，由，，解得：，所以.故答案为：.16.立德学校为了表彰在体育运动会上表现优秀的班级，特制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形的半径为10，，，则__________．（用表示），据调研发现，当最长时，该奖杯比较美观，此时的值为__________．【答案】【解析】作交于，交于，且，则，则，，设，作交于，交于，因为，所以，，，所以，所以，即，所以，所以，因为，所以当，即时，最大.故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合，全集．（1）求；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）由题意，解得：，则.（2）由题意，可知，因为，所以，解得：，即，实数的取值范围.18.已知函数．（1）判断的奇偶性，并根据定义证明；（2）判断函数在区间上单调性，并根据定义证明．解：（1）为奇函数，证明如下：函数定义域为R，所以，，则，所以为奇函数.（2）在上单调递减，证明如下：任取，且，则，因为，所以，，所以，即，故函数在上是减函数.19.已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点．（1）若，求的值：（2）若，求的值．解：（1）因角为第二象限角，为其终边和单位圆交点，且，所以，，由诱导公式得：原式.（2）因为角为第二象限角，且，所以为第一象限角，且，所以，即.20.某呼吸机生产企业本年度计划投资固定成本2300（万元）引进先进设备，用于生产救治新