（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+巩固训练+随堂检测07 空间向量（原卷版）

第页第07讲空间向量的概念及其运算空间向量法和几何法求空间角和空间距离知识讲解1．空间向量及其有关概念概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一个平面的向量共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb空间向量基本定理及推论定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))且x＋y＋z＝12．数量积及坐标运算(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝eq\r(x2＋y2＋z2).(2)空间向量的坐标运算：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共线a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0夹角公式cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))3．直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或共线，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．空间位置关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则(1)线线平行：l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R；线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；面面平行：α∥β⇔u∥ν⇔u＝kν，k∈R.(2)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R；面面垂直：α⊥β⇔u⊥ν⇔u·ν＝0.两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θ的范围为(0，eq\f(π,2)]，公式为cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).求二面角的大小(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉．如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．空间两点间的距离公式若，，则=.点到平面的距离（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.考点一、空间向量的基本概念及其运算【例1】设向量，，当数与满足下列哪种关系时，向量与轴垂直（

）A． B． C． D．【变式1】（多选）设、为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（

）A． B．C． D．【变式2】（多选）《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（

）．A．B．C．向量在向量上的投影向量为D．向量在向量上的投影向量为考点二、空间中的距离求解【例2】在空间直角坐标系中，直线的方程为，空间一点，则点到直线的距离为（

）A． B．1 C． D．【变式3】如图，平行六面体中，，，，，则线段的长为.

【变式4】如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．考点三、异面直线所成角【例3】“曲池”是《九章算术》记载的一种几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，面ABCD，，底面扇环所对的圆心角为，的长度是长度的2倍，，则异面直线与所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【变式5】已知正四棱锥的侧棱长为2，底面边长为，点E在射线PD上，F，G分别是BC，PC的中点，则异面直线AE与FG所成角的余弦值的最大值为（

）A． B． C． D．【变式6】如图所示，正方体中，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部移动，若，则异面直线与所成角的余弦值的最大值为（）A． B． C． D．考点四、线面角【例4】在四棱锥中，底面．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．【变式7】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且.

(1)求证：直线平面；(2)求证：平面平面；(3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离.【变式8】如图，四面体中，，E为的中点．(1)证明：平面平面；(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．【变式9】图①是直角梯形，，，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.

(1)求证：平面平面；(2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.考点五、二面角【例5】已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?【变式10】如图，在圆台中，分别为上、下底面直径，且，，为异于的一条母线．(1)若为的中点，证明：平面；(2)若，求二面角的正弦值．【基础过关】1.如图，在直三棱柱中，，E为的中点，．(1)证明：．(2)求二面角的余弦值．2.如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点．

(1)证明：；(2)求二面角的平面角的余弦值．课后训练1.在四面体中，，，，，则的值为（

）A．7 B．9 C．11 D．132.如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，，E为的中点，则点E到直线的距离为（

）

A． B． C． D．3.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.随堂检测1.已知向量，若与垂直，则（

）.A． B． C． D．2.如图，已知是侧棱长和底面边长均等于的直三棱柱，是侧棱的中点.