高考数学总复习《成对数据的统计分析》专项测试卷有答案

第第页高考数学总复习《成对数据的统计分析》专项测试卷有答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单项选择题1．(2024·河北沧州模拟)下列说法正确的是()A．样本中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))不一定在经验回归直线上B．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数就越接近于1C．若所有样本点都在直线y＝－2x＋1上，则r＝－2D．以eq\o(y,\s\up16(^))＝cekx拟合一组数据时，经z＝lny代换后的线性回归方程为eq\o(z,\s\up16(^))＝0.3x＋4，则eq\o(y,\s\up16(^))＝e0.3x＋42．(2024·河南郑州质检)某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：记忆能力x46810识图能力y3568由表中数据，求得经验回归方程为eq\o(y,\s\up16(^))＝eq\f(4,5)x＋eq\o(a,\s\up16(^)).若某儿童的记忆能力为12，则他的识图能力约为()A．9.2B．9.5C．9.8D．103．已知变量x，y的关系可以用模型y＝cekx拟合，设z＝lny，其变换后得到一组数据如下表：x16171819z50344131由上表可得线性回归方程为eq\o(z,\s\up16(^))＝－4x＋eq\o(a,\s\up16(^))，则c＝()A．－4B．e－4C．109D．e1094．(2024·黑龙江哈师大附中高二期末)两个线性相关变量x与y的统计数据如表：x99.51010.511y1110865其经验回归方程是eq\o(y,\s\up16(^))＝eq\o(b,\s\up16(^))x＋40，则相对应于点(11,5)的残差eq\o(e,\s\up16(^))i(eq\o(e,\s\up16(^))i＝yi－eq\o(y,\s\up16(^))i)为()A．0.1 B．0.2C．－0.1 D．－0.25．为考查某种营养品对儿童身高增长的影响，选取部分儿童进行试验，根据100个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表，由表可知下列说法正确的是()营养品身高合计有明显增长无明显增长食用a1050未食用b3050合计6040100参考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.参考数据：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A．a＝b＝30B．χ2≈12.667C．从样本中随机抽取1名儿童，抽到食用该营养品且身高有明显增长的儿童的概率是eq\f(3,5)D．有不少于99.9%的把握认为该营养品对儿童身高增长有影响6．某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动前五天的数据如下表：第x天12345使用人数y151734578421333由表中数据可得y关于x的经验回归方程为eq\o(y,\s\up16(^))＝55x2＋eq\o(m,\s\up16(^))，则据此经验回归模型相应于点(2,173)的残差为()A．－5B．－6C．3D．2二、多项选择题7．已知由样本数据(xi，yi)，i＝1,2,3,4,5,6求得的经验回归方程为eq\o(y,\s\up16(^))＝2x＋1，且eq\x\to(x)＝3.现发现一个样本数据(8,12)误差较大，去除该数据后重新求得的经验回归直线l的纵截距依然是1，则下列说法正确的是()A．去除前变量x每增加1个单位，变量y一定增加2个单位B．去除后剩余样本数据中x的平均数为2C．去除后的经验回归方程为eq\o(y,\s\up16(^))＝2.5x＋1D．去除后样本相关系数r变大8．某班级学生开展课外数学探究活动，将一杯冷水从冰箱中取出后静置，在25℃的室温下测量水温y(单位：℃)随时间x(单位：min)的变化关系，在测量了15个数据后，根据这些实验数据(xi，yi)(i＝1,2，…，15)得到如下的散点图，现需要选择合适的经验回归方程进行回归分析，则根据散点图，合适的经验回归方程类型有(c1，c2为正实数)()A．y＝25－c1e－c2xB．y＝25＋eq\r(,c1x＋c2)C．y＝25－eq\f(1,c1x＋c2)D．y＝c1(x－25)＋c29．在一次恶劣天气的飞行航程中，调查男、女乘客在飞机上晕机的情况，得到如下列联表：(单位：人)，则()性别晕机情况合计晕机者未晕机者男a15c女6bd合计e2846A．eq\f(a,c)<eq\f(6,d)B．χ2<2.706C．至少有99%的把握认为在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别有关D．没有充分的证据显示在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别有关三、填空题与解答题10．国际青年物理学家竞赛(简称IYPT)是当今最受重视的中学生顶级国际物理赛事，某中学物理兴趣小组通过实验对其中一道竞赛题的两个物理量u，v进行测量，得到10组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(u10，v10)，通过散点图发现其具有较强的线性相关关系，并且利用最小二乘法求得经验回归方程为eq\o(v,\s\up16(^))＝1.5u＋1，由于数据保存失误导致eq\i\su(i＝1,10,v)i丢失，但eq\i\su(i＝1,10,u)i＝50被保存，通过所学知识可以求得eq\i\su(i＝1,10,v)i＝________.11．某学校《统计初步》课程的教师随机调查了选该课的学生情况，调查数据如下表：非统计专业统计专业男1310女720为了判断是否主修统计专业与性别的关系，根据表中的数据，计算得到χ2≈________(保留三位小数)，所以判定________(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为是否主修统计专业与性别有关．12．已知由样本数据点(xi，yi)，i＝1,2，…，n求得的经验回归方程为eq\o(y,\s\up16(^))＝1.5x＋0.5，且eq\x\to(x)＝3.现发现两个数据点(1.1,2.1)和(4.9，7.9)的误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l的斜率为1.2，那么，当x＝2时，y的预测值为________．13．(2024·东北三校联考)某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月(30天)完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：天数[0，5](5，10](10，15](15，20](20，25](25，30]人数4153331116(1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本的平均数(每组数据取区间的中间值)，且σ＝6.1，若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数(精确到1)．(2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在(15,30]的学生中有30名男生，天数在[0,15]的学生中有20名男生．学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号．请填写下面列联表：性别活动天数合计[0,15](15,30]男生女生合计并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联．如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响．附：参考数据：P(μ－σ≤x≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(n＝a＋b＋c＋d).α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82814．(2024·湖北十七所重点中学第一次联考)为调查某地区植被覆盖面积x(单位：公顷)和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，部分数据如表所示.x…2.73.63.2…y…57.864.762.6…经计算得eq\i\su(i＝1,20,x)i＝60，eq\i\su(i＝1,20,y)i＝1200，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\x\to(x))2＝80，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝640.(1)利用最小二乘法建立y关于x的经验回归方程．(2)该小组又利用这组数据建立了x关于y的经验回归方程，并把这两条拟合直线画在同一直角坐标系xOy上，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致，①比较前者与后者的斜率大小，并证明；②求这两条直线的公共点坐标．附：y关于x的经验回归方程eq\o(y,\s\up16(^))＝eq\o(a,\s\up16(^))＋eq\o(b,\s\up16(^))x中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为eq\o(b,\s\up16(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up16(^))＝eq\o(y,\s\up16(^))－eq\o(b,\s\up16(^))eq\x\to(x).高分推荐题15．(2024·山东临沂模拟)2022年6月5日是世界环境日，第十三届全国人大常委会第三十二次会议表决通过的《中华人民共和国噪声污染防治法》今起施行．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音强度D(单位：dB)与声音能量I(单位：W·cm－2)之间的关系，将测量得到的声音强度D和声音能量I的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图：(1)根据散点图判断，D＝a1＋b1I与D＝a2＋b2lgI哪一个适宜作为声音强度D关于声音能量I的回归模型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)求声音强度D关于声音能量I的非线性经验回归方程(请使用题后参考数据作答)．(3)假定当声音强度大于45dB时，会产生噪声污染．城市中某点P处共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是Ia和Ib，且eq\f(1,Ia)＋eq\f(9,Ib)＝1010.已知点P处的声音能量等于Ia与Ib之和，请根据(2)中的非线性经验回归方程，判断点P处是否受到噪声污染，并说明理由．参考数据：eq\x\to(I)＝1.04×10－11，eq\x\to(D)＝36.7，令Wi＝lgIi，有eq\x\to(W)＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,W)i，eq\x\to(W)＝－11.4，eq\i\su(i＝1,10,)(Ii－eq\x\to(I))2＝1.38×10－21，eq\i\su(i＝1,10,)(Wi－eq\x\to(W))2＝1.48，eq\i\su(i＝1,10,)(Wi－eq\x\to(W))·(Di－eq\x\to(D))＝7.4，eq\i\su(i＝1,10,)(Ii－eq\x\to(I))(Di－eq\x\to(D))＝6.9×10－11，eq\o(b,\s\up16(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)Ii－\x\to(I)Di－\x\to(D),\i\su(i＝1,n,)Ii－\x\to(I)2)，eq\o(a,\s\up16(^))＝eq\x\to(D)－eq\o(b,\s\up16(^))eq\x\to(W)，lg2≈0.3.解析版一、单项选择题1．(2024·河北沧州模拟)下列说法正确的是()A．样本中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))不一定在经验回归直线上B．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数就越接近于1C．若所有样本点都在直线y＝－2x＋1上，则r＝－2D．以eq\o(y,\s\up16(^))＝cekx拟合一组数据时，经z＝lny代换后的线性回归方程为eq\o(z,\s\up16(^))＝0.3x＋4，则eq\o(y,\s\up16(^))＝e0.3x＋4解析：经验回归直线必过样本中心，故A不正确；两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值就越接近于1，故B不正确；若所有样本点都在直线y＝－2x＋1上，则r＝－1，故C不正确；以eq\o(y,\s\up16(^))＝cekx拟合一组数据时，经z＝lny代换后的线性回归方程为lneq\o(y,\s\up16(^))＝eq\o(z,\s\up16(^))＝0.3x＋4，则eq\o(y,\s\up16(^))＝e0.3x＋4，故D正确．故选D．答案：D2．(2024·河南郑州质检)某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：记忆能力x46810识图能力y3568由表中数据，求得经验回归方程为eq\o(y,\s\up16(^))＝eq\f(4,5)x＋eq\o(a,\s\up16(^)).若某儿童的记忆能力为12，则他的识图能力约为()A．9.2B．9.5C．9.8D．10解析：由表中数据得eq\x\to(x)＝7，eq\x\to(y)＝5.5，由点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))在直线eq\o(y,\s\up16(^))＝eq\f(4,5)x＋eq\o(a,\s\up16(^))上，得eq\o(a,\s\up16(^))＝－eq\f(1,10)，即经验回归方程为eq\o(y,\s\up16(^))＝eq\f(4,5)x－eq\f(1,10).所以当x＝12时，eq\o(y,\s\up16(^))＝eq\f(4,5)×12－eq\f(1,10)＝9.5，即他的识图能力约为9.5.故选B．答案：B3．已知变量x，y的关系可以用模型y＝cekx拟合，设z＝lny，其变换后得到一组数据如下表：x16171819z50344131由上表可得线性回归方程为eq\o(z,\s\up16(^))＝－4x＋eq\o(a,\s\up16(^))，则c＝()A．－4B．e－4C．109D．e109解析：由题意知eq\x\to(x)＝17.5，eq\x\to(z)＝39，代入eq\o(z,\s\up16(^))＝－4x＋eq\o(a,\s\up16(^))，得eq\o(a,\s\up16(^))＝109，所以z＝lny＝ln(cekx)＝kx＋lnc，所以lnc＝109，故c＝e109.故选D．答案：D4．(2024·黑龙江哈师大附中高二期末)两个线性相关变量x与y的统计数据如表：x99.51010.511y1110865其经验回归方程是eq\o(y,\s\up16(^))＝eq\o(b,\s\up16(^))x＋40，则相对应于点(11,5)的残差eq\o(e,\s\up16(^))i(eq\o(e,\s\up16(^))i＝yi－eq\o(y,\s\up16(^))i)为()A．0.1 B．0.2C．－0.1 D．－0.2解析：由表得eq\x\to(x)＝eq\f(9＋9.5＋10＋10.5＋11,5)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f(11＋10＋8＋6＋5,5)＝8，所以8＝eq\o(b,\s\up16(^))×10＋40，所以eq\o(b,\s\up16(^))＝－3.2，故eq\o(y,\s\up16(^))＝－3.2x＋40.当x＝11时，eq\o(y,\s\up16(^))＝－3.2×11＋40＝4.8，故eq\o(e,\s\up16(^))i＝5－4.8＝0.2，故选B．答案：B5．为考查某种营养品对儿童身高增长的影响，选取部分儿童进行试验，根据100个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表，由表可知下列说法正确的是()营养品身高合计有明显增长无明显增长食用a1050未食用b3050合计6040100参考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.参考数据：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A．a＝b＝30B．χ2≈12.667C．从样本中随机抽取1名儿童，抽到食用该营养品且身高有明显增长的儿童的概率是eq\f(3,5)D．有不少于99.9%的把握认为该营养品对儿童身高增长有影响解析：由题可知a＝50－10＝40，b＝50－30＝20，所以A错误；χ2＝eq\f(100×40×30－10×202,50×50×60×40)≈16.667>10.828，所以有不少于99.9%的把握认为该营养品对儿童身高增长有影响，所以B错误，D正确；从样本中随机抽取1名儿童，抽到食用该营养品且身高有明显增长的儿童的概率是eq\f(40,100)＝eq\f(2,5)，所以C错误．答案：D6．某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动前五天的数据如下表：第x天12345使用人数y151734578421333由表中数据可得y关于x的经验回归方程为eq\o(y,\s\up16(^))＝55x2＋eq\o(m,\s\up16(^))，则据此经验回归模型相应于点(2,173)的残差为()A．－5B．－6C．3D．2解析：令t＝x2，则eq\o(y,\s\up16(^))＝55t＋eq\o(m,\s\up16(^))，t＝x21491625使用人数y151734578421333eq\x\to(t)＝eq\f(1＋4＋9＋16＋25,5)＝11，eq\x\to(y)＝eq\f(15＋173＋457＋842＋1333,5)＝564，所以564＝55×11＋eq\o(m,\s\up16(^))，得eq\o(m,\s\up16(^))＝－41，所以eq\o(y,\s\up16(^))＝55x2－41，当x＝2时，eq\o(y,\s\up16(^))＝55×22－41＝179，所以残差为173－179＝－6.故选B．答案：B二、多项选择题7．已知由样本数据(xi，yi)，i＝1,2,3,4,5,6求得的经验回归方程为eq\o(y,\s\up16(^))＝2x＋1，且eq\x\to(x)＝3.现发现一个样本数据(8,12)误差较大，去除该数据后重新求得的经验回归直线l的纵截距依然是1，则下列说法正确的是()A．去除前变量x每增加1个单位，变量y一定增加2个单位B．去除后剩余样本数据中x的平均数为2C．去除后的经验回归方程为eq\o(y,\s\up16(^))＝2.5x＋1D．去除后样本相关系数r变大解析：对于C选项，当eq\x\to(x)＝3时，eq\x\to(y)＝2×3＋1＝7，则eq\i\su(i＝1,6,x)i＝6eq\x\to(x)＝18，eq\i\su(i＝1,6,y)i＝6eq\x\to(y)＝42，去除样本数据(8,12)后的新数据的eq\x\to(x)′＝eq\f(18－8,5)＝2，eq\x\to(y)′＝eq\f(42－12,5)＝6，设去除样本数据(8,12)后重新求得的经验回归直线方程为eq\o(y,\s\up16(^))＝eq\o(a,\s\up16(^))x＋1，则2eq\o(a,\s\up16(^))＋1＝6，解得eq\o(a,\s\up16(^))＝2.5，故去除后的经验回归方程为eq\o(y,\s\up16(^))＝2.5x＋1，C对；对于A选项，去除前变量x每增加1个单位，变量y大约增加2个单位，A错；对于B选项，去除后剩余样本数据中x的平均数为2，B对；对于D选项，去除了误差较大的样本数据后，线性相关性变强，因为y关于x呈正相关，则r>0，所以样本相关系数r变大，D对．故选BCD．答案：BCD8．某班级学生开展课外数学探究活动，将一杯冷水从冰箱中取出后静置，在25℃的室温下测量水温y(单位：℃)随时间x(单位：min)的变化关系，在测量了15个数据后，根据这些实验数据(xi，yi)(i＝1,2，…，15)得到如下的散点图，现需要选择合适的经验回归方程进行回归分析，则根据散点图，合适的经验回归方程类型有(c1，c2为正实数)()A．y＝25－c1e－c2xB．y＝25＋eq\r(,c1x＋c2)C．y＝25－eq\f(1,c1x＋c2)D．y＝c1(x－25)＋c2解析：散点图中的点是递增的，增长速度越来越慢，且y<25.对于A，符合散点图的特点；对于B，y＝25＋eq\r(,c1x＋c2)≥25，不符合散点图的特点；对于C，符合散点图的特点；对于D，y＝c1(x－25)＋c2的增长速度不变，不符合散点图的特点．答案：AC9．在一次恶劣天气的飞行航程中，调查男、女乘客在飞机上晕机的情况，得到如下列联表：(单位：人)，则()性别晕机情况合计晕机者未晕机者男a15c女6bd合计e2846A．eq\f(a,c)<eq\f(6,d)B．χ2<2.706C．至少有99%的把握认为在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别有关D．没有充分的证据显示在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别有关解析：由题中列联表数据，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋6＝e，,15＋b＝28，,a＋15＝c，,6＋b＝d，,e＋28＝46，,c＋d＝46，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝12，,b＝13，,e＝18，,c＝27，,d＝19.))所以得到如下列联表：性别晕机情况合计晕机者未晕机者男121527女61319合计182846所以eq\f(a,c)＝eq\f(12,27)＝eq\f(4,9)>eq\f(6,19)＝eq\f(6,d)，所以A错误；提出零假设H0：在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别无关，由列联表中的数据，得χ2＝eq\f(46×12×13－6×152,18×28×27×19)≈0.775<3.841.所以没有充分的证据显示在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别有关，所以B，D正确，C错误．答案：BD三、填空题与解答题10．国际青年物理学家竞赛(简称IYPT)是当今最受重视的中学生顶级国际物理赛事，某中学物理兴趣小组通过实验对其中一道竞赛题的两个物理量u，v进行测量，得到10组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(u10，v10)，通过散点图发现其具有较强的线性相关关系，并且利用最小二乘法求得经验回归方程为eq\o(v,\s\up16(^))＝1.5u＋1，由于数据保存失误导致eq\i\su(i＝1,10,v)i丢失，但eq\i\su(i＝1,10,u)i＝50被保存，通过所学知识可以求得eq\i\su(i＝1,10,v)i＝________.解析：由eq\i\su(i＝1,10,u)i＝50，得eq\x\to(u)＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,u)i＝50×eq\f(1,10)＝5，再由经验回归方程恒过样本点的中心可得，eq\x\to(v)＝1.5×eq\x\to(u)＋1＝1.5×5＋1＝8.5，∴eq\i\su(i＝1,10,v)i＝10eq\x\to(v)＝10×8.5＝85.答案：8511．某学校《统计初步》课程的教师随机调查了选该课的学生情况，调查数据如下表：非统计专业统计专业男1310女720为了判断是否主修统计专业与性别的关系，根据表中的数据，计算得到χ2≈________(保留三位小数)，所以判定________(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为是否主修统计专业与性别有关．解析：由题意可知，χ2＝eq\f(50×13×20－7×102,23×27×20×30)≈4.844>3.841＝x0.05，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为是否主修统计专业与性别有关．答案：4.844'能12．已知由样本数据点(xi，yi)，i＝1,2，…，n求得的经验回归方程为eq\o(y,\s\up16(^))＝1.5x＋0.5，且eq\x\to(x)＝3.现发现两个数据点(1.1,2.1)和(4.9，7.9)的误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l的斜率为1.2，那么，当x＝2时，y的预测值为________．解析：将eq\x\to(x)＝3代入eq\o(y,\s\up16(^))＝1.5x＋0.5，得eq\x\to(y)＝5.所以样本点的中心为(3,5)，由数据点(1.1，2.1)和(4.9,7.9)知，eq\f(1.1＋4.9,2)＝3，eq\f(2.1＋7.9,2)＝5，故去除这两个数据点后，样本点的中心不变．设新的经验回归方程为eq\o(y,\s\up16(^))＝1.2x＋eq\o(b,\s\up16(^))，将样本点的中心坐标代入得eq\o(b,\s\up16(^))＝1.4，所以当x＝2时，y的预测值为3.8.答案：3.813．(2024·东北三校联考)某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月(30天)完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：天数[0，5](5，10](10，15](15，20](20，25](25，30]人数4153331116(1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本的平均数(每组数据取区间的中间值)，且σ＝6.1，若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数(精确到1)．(2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在(15,30]的学生中有30名男生，天数在[0,15]的学生中有20名男生．学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号．请填写下面列联表：性别活动天数合计[0,15](15,30]男生女生合计并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联．如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响．附：参考数据：P(μ－σ≤x≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(n＝a＋b＋c＋d).α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解：(1)由频数分布表知μ＝eq\f(4×2.5＋15×7.5＋33×12.5＋31×17.5＋11×22.5＋6×27.5,100)＝14.9，则X～N(14.9,6.12)，∵P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，∴P(X>21)＝P(X>14.9＋6.1)≈eq\f(1－0.6827,2)＝0.15865，∴3000×0.15865＝475.95≈476，∴参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数约为476.(2)由频数分布表知，锻炼活动的天数在[0,15]的人数为4＋15＋33＝52，∵参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0,15]的学生中有20名男生，∴参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0,15]的学生中女生人数为52－20＝32.由频数分布表知，锻炼活动的天数在(15,30]的人数为31＋11＋6＝48，∵参加“每天锻炼1小时”活动的天数在(15,30]的学生中有30名男生，∴参加“每天锻炼1小时”活动的天数在(15,30]的学生中女生人数为48－30＝18.得列联表如下：性别活动天数合计[0,15](15,30]男生203050女生321850合计5248100零假设为H0：学生性别与获得“运动达人”称号无关．则χ2＝eq\f(100×20×18－30×322,50×50×52×48)≈5.769>3.841，依据α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有关；而且此推断犯错误的概率不大于0.05.根据列联表中的数据得到，男生、女生中活动天数超过15天的频率分别为eq\f(30,50)＝0.6和eq\f(18,50)＝0.36，可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”称号的频率的eq\f(0.6,0.36)≈1.67倍，于是依据频率稳定于概率的原理，我们可以认为男生获得“运动达人”的概率大于女生，即男生更容易获得运动达人称号．14．(2024·湖北十七所重点中学第一次联考)为调查某地区植被覆盖面积x(单位：公顷)和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，部分数据如表所示.x…2.73.63.2…y…57.864.762.6…经计算得eq\i\su(i＝1,20,x)i＝60，eq\i\su(i＝1,20,y)i＝1200，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\x\to(x))2＝80，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝640.(1)利用最小二乘法建立y关于x的经验回归方程．(2)该小组又利用这组数据建立了x关于y的经验回归方程，并把这两条拟合直线画在同一直角坐标系xOy上，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致，①比较前者与后者的斜率大小，并证明；②求这两条直线的公共点坐标．附：y关于x的经验回归方程eq\o(y,\s\up16(^))＝eq\o(a,\s\up16(^))＋eq\o(b,\s\up16(^))x中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为eq\o(b,\s\up16(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up16(^))＝eq\o(y,\s\up16(^))－eq\o(b,\s\up16(^))eq\x\to(x).解：(1)eq\x\to(x)＝eq\f(60,20)＝3，eq\x\to(y)＝eq\f(1200,20)＝60，eq\o(b,\s\up16(^))＝eq\f(640,80)＝8，eq\o(a,\s\up16(^))＝60－8×3＝36，故经验回归方程为eq\o(y,\s\up16(^))＝8x＋36.(2)①设前者和后者的斜率分别为k1，k2，x关于y的经验回归方程为eq\o(x,\s\up16(^))＝eq\o(a,\s\up16(^))1＋eq\o(b,\s\up16(^))1y，eq\o(b,\s\up16(^))1＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)，k1＝eq\o(b,\s\up16(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,20,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,20,)xi－\x\to(x)2)，k2＝eq\f(1,\o(b,\s\up16(^))1)＝eq\f(\i\su(i＝1,20,)yi－\x\to(y)2,\i\su(i＝1,20,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y))，则eq\f(k1,k2)＝eq\f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,20,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y)))2,\i\su(i＝1,20,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,20,)yi－\x\to(y)2)＝r2，r为y与x的相关系数．又|r|≤1，k1，k2>0，故eq\f(k1,k2)≤1，即k1≤k2.下面证k1≠k2.若k1＝k2，则|r|＝1，即yi＝8xi＋36(i＝1,2，…，20)恒成立，代入表格中的一组数据得57.8≠8×2.7＋36，矛盾，故k1<k2，即前者斜率小于后者．②注意到，两直线都过(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，且k1<k2，故公共点仅有(3,60)．高分推荐题15．(2024·山东临沂模拟)2022年6月5日是世界环境日，第十三届全国人大常委会第三十二次会议表决通过的《中华人民共和国噪声污染防治法》今起施行．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音强度D(单位：dB)与声音能量I