（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+巩固训练+随堂检测05 三角函数的图象与性质（教师版）

第页第05讲三角函数的图象与性质知识讲解三角函数的图象与性质图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴三角函数型函数的图象和性质正弦型函数、余弦型函数性质，振幅，决定函数的值域，值域为决定函数的周期，叫做相位，其中叫做初相正切型函数性质的周期公式为：会用五代作图法及整体代换思想解决三角函数型函数的图象及性质考点一、正弦（型）函数的图象及性质【例1】函数为增函数的区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数单调性的求法求得正确答案.【详解】，，，，令可的的递增区间为.故选：C【变式1】函数的最小正周期为【答案】【分析】化简即得解.【详解】解：由题得，所以函数的最小正周期为.故答案为：【变式2】关于函数有下述四个结论：①f(x)是偶函数

②f(x)在区间（,）单调递增③f(x)在有4个零点

④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③【答案】C【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④

正确，故选C．【变式3】（多选）关于函数，下列说法正确的是（

）A．函数在上最大值为 B．函数的图象关于点对称C．函数在上单调递增 D．函数的最小正周期为【答案】BD【分析】根据给定条件，利用正弦函数的图象性质，逐项分析判断作答.【详解】对于A，当时，，，最大值为2，A错误；对于B，因为，则函数的图象关于点对称，B正确；对于C，当时，，函数在上不单调，则在上不单调，C错误；对于D，函数的最小正周期，D正确.故选：BD.考点二、余弦函数（型）的图象及性质【例2】已知函数，则（

）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递增【答案】C【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为.对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.故选：C.【变式4】函数是（）A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为【答案】D【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值.故选：D.【变式5】记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为．【答案】【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；【详解】解：因为，（，）所以最小正周期，因为，又，所以，即，又为的零点，所以，解得，因为，所以当时；故答案为：【变式6】已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为．【答案】2【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知，即，所以；由五点法可得，即；所以.因为，；所以由可得或；因为，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，解得，令，可得，可得的最小正整数为2.考点三、正切函数（型）的图象及性质【例3】函数的最小正周期为．【答案】【分析】利用二倍角公式化简后，由正切函数的性质可得.【详解】因为，即，所以，所以于是易知，所求函数的最小值周期.故答案为：【变式7】已知函数，则下列说法正确的是（

）A．为奇函数 B．在区间上单调递增C．图象的一个对称中心为 D．的最小正周期为π【答案】C【分析】根据正切函数的定义域、对称中心、周期、单调性逐项判断即可得解.【详解】因为，所以，解得，即函数的定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误；当时，，此时无意义，故在区间上单调递增不正确，故B错误；当时，，正切函数无意义，故为函数的一个对称中心，故C正确；因为，故是函数的一个周期，故D错误.故选：C【变式8】（多选）已知函数，则（

）A．函数的最小正周期为πB．函数的图像关于点中心对称C．函数在定义域上单调递增D．若，则【答案】BD【分析】根据函数的最小正周期公式判断A选项，求的对称中心判断B选项，特殊值法判断C选项，求函数值域判断D选项.【详解】的最小正周期为,A选项错误;的对称中心，令,,对称中心为，当是对称中心,B选项正确;,函数在定义域上不是单调递增,C选项错误;当,则,可得,D选项正确;.故选：BD.考点四、求三角函数图象的解析式【例4】如图是函数的图象，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由、在函数的图象结合五点作图法可得答案.【详解】因为在函数的图象上，所以，，所以，此时，，又点在函数的图象上，所以，由五点作图得该点是“五点”中的第五个点，所以，.故选：C.【变式9】（多选）已知函数（，），若函数的部分图象如图所示，则关于函数下列结论正确的是（

）

A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上单调递增D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到【答案】AC【分析】根据函数图象，求解参数，代入的表达式中，利用正弦型函数的图象及性质，依次判断各项正误.【详解】由题意结合函数图象可得，解得，故，由，所以，又，所以，所以，，对于A，因为，所以函数的图象关于直线对称，故A正确；对于B，因为，所以点不是函数的图象的对称中心，故B错误；对于C，由，得，所以函数在区间上单调递增，故C正确；对于D，将函数的图象向左平移个单位长度，得，故D错误.故选：AC.【变式10】已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则．

【答案】【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．【详解】设，由可得，由可知，或，，由图可知，，即，．因为，所以，即，．所以，所以或，又因为，所以，．故答案为：．考点五、三角函数图象及性质的综合应用【例5】（多选）已知函数，则（

）A．若的最小正周期为，则B．若，则在上的最大值为C．若在上单调递增，则D．若的图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，则的最小值为【答案】AC【分析】根据正弦型三角函数的图象性质逐项判断即可.【详解】对于A，若的最小正周期为，则，所以，故A正确；对于B，若，则，当，则，所以，则在上的最大值为，故B不正确；对于C，当，则，由于在上单调递增，所以，解得，故C正确；对于D，的图象向右平移个单位得，因为其为偶函数，所以，所以，又，则的最小值为，故D不正确.故选：AC.【变式11】已知函数的部分图象如图所示，其中，图中函数的图象与坐标轴的交点分别为，则下列代数式中为定值的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据图象，由求出，再由M，N点的坐标求出为定值.【详解】由图象可得，，且，所以，令，则，所以，则.故选：D【变式12】（多选）已知函数，则下列说法正确的有（

）A．若，则B．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称C．若在上有且仅有4个零点，则的取值范围为D．是的导函数，令.则在上的值域为【答案】ABC【分析】利用正弦函数的最值和周期性可判断A，根据图象平移和奇偶性可判断B，根据正弦函数的零点可判断C，再根据导数运算公式和正弦函数的图象性质可判断D.【详解】A选项，由，故，必有一个最大值和一个最小值，则为半个周期长度，正确；B选项，由题意的图象关于y轴对称，正确；C选项，，在上有且仅在4个零点，结合正弦函数的性质知：，则，正确；D选项，由题意，则在时，，故值域为，错误.故选：ABC.【基础过关】一、单选题1．函数的图象的一条对称轴方程是，则的最小正值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化简，然后利用对称轴写出，即可求出答案【详解】，因为图象的一条对称轴方程是，，解得，故当时，取得最小正值．故选：D2．已知函数，则使得和都单调递增的一个区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复合函数的单调性，判断各选项是否正确.【详解】当从增加到时，从0递减到，从递增到1，所以从递减到，从递减到，A错误；当从增加到时，从递减到，从1递减到，所以从递增到，从递减到，B错误；当从增加到时，从递减到，从递减到，所以从递增到，从递减到，C错误；当从增加到时，从-1递增到，从递减到0，所以从递增到，从递增到，D正确；故选：D3．已知函数，若对于任意实数x，都有，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．8【答案】C【分析】根据给定条件，可得函数图象的对称中心，再利用正弦函数的性质列式求解作答.【详解】因为对于任意实数x，都有，则有函数图象关于点对称，因此，解得，而，所以当时，取得最小值4.故选：C4．已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为．【答案】【分析】代入余弦函数的零点满足的公式判断即可.【详解】的图象关于点对称，，即，令，可得的最小值为．故答案为：5．已知函数（）在区间上单调递减，且为偶函数，则．【答案】【分析】根据是正弦函数的单调递减区间的子集推出，根据为偶函数推出，，二者结合可得.【详解】当时，，由在区间上单调递减，得，解得,因为，所以．因为为偶函数，所以，，解得，，又，所以．故答案为：.6．已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为．【答案】【分析】化简，得，转化为在区间上存在最小值，根据余弦函数的性质可得结果.【详解】，因为在区间上存在最大值，所以在区间上存在最小值，由，得，所以，即.故答案为：7．已知函数的两个相邻的零点之差的绝对值为，且是的最小正零点，则.【答案】1【分析】根据函数两个相邻的零点之差的绝对值求出周期和，再根据的最小正零点求出，即可求出的值．【详解】令函数，得，所以函数两个相邻的零点之差的绝对值为，即，解得，又因为是的最小正零点，所以，即，所以，，解得，，又，所以，即，所以．故答案为：．【能力提升】一、单选题1．已知（为常数），若在上单调，且，则的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据在上单调，可得，再由求得的一条对称轴和一个对称中心，进而求得，再求的值.【详解】对于函数，，因为在上单调，所以，即.又，所以为的一条对称轴，且即为的一个对称中心，因为，所以和是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则，即，所以，所以，又为的一个对称中心，则，，则，，当时，.故选：A.二、多选题2．已知曲线关于轴对称，关于原点对称，设函数，则（

）A． B．C．函数的最小正周期是 D．函数的值域是【答案】CD【分析】根据对称确定，代入得到函数解析式，A错误，取特殊值排除B，根据周期公式得到C正确，求值域得到D正确，得到答案.【详解】关于轴对称，，故关于原点对称，，，故，，即，对选项A：，错误；对选项B：取，，，错误；对选项C：，对于恒成立，正确；对选项D：，对于恒成立，正确．故选：CD．3．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数的最小正周期是B．函数的最大值为1，最小值为C．函数的图像在区间上单调递减D．函数的图像关于对称【答案】AD【分析】首先根据降幂公式化简，根据周期函数的定义即可判断A；设，求出的值域，即可判断B；由得出，根据复合函数的单调性，即可判断C；根据对称轴的定义，即可判断D．【详解】，对于A：设的周期为，则,所以，其中，解得，所以最小值为，故A正确；对于B：设，则，所以函数的最大值为1，最小值为，故B错误；对于C：由B得当时，，且在上单调递减，因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误；对于D：由，，所以，所以关于直线对称，故D正确，故选：AD．4．已知函数，则下列说法正确的有（

）A．若，则B．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称C．函数的最小正周期为D．若在上有且仅有3个零点，则的取值范围为【答案】ABD【分析】对A：必有一个最大值和一个最小值可求；对B：求出平移后函数解析式判断是否为偶函数；对C：化简后求周期；对D：求出的范围，数据正弦曲线的图象列出满足的不等式并求解.【详解】由，故必有一个最大值和一个最小值，则为半个周期长度，故正确；由题意的图象关于轴对称，B正确；的最小正周期为C错误.，在上有且仅在3个零点，结合正弦函数的性质知：，则，D正确；故选：ABD5．已知函数的图象关于直线对称，那么（

）A．函数为奇函数B．函数在上单调递增C．若，则的最小值为D．函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的最大值为【答案】ACD【分析】根据题意求得，得到，利用三角函数图象变换，以及三角函数的图象与性质，结合利用导数求得函数的单调性与最值，逐项判定，即可求解.【详解】由函数的图象关于直线对称，可得，所以，所以，对于A中，由为奇函数，所以A正确；对于B中，由，可得，当时，即，函数单调递减；当时，即，函数单调递增，所以在上不是单调函数，所以B错误；对于C中，若，则和中，其中一个为最大值，另一个为最小值，则的最小值为半个周期，即，所以C正确；对于D中，把函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则，令，可得，则，令，求得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减，且，可得，所以的最大值为，所以D正确.故选：ACD.课后训练1．已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.【详解】因为在区间单调递增，所以，且，则，，当时，取得最小值，则，，则，，不妨取，则，则，故选：D.2．（多选）已知函数的图像关于点中心对称，则（

）A．在区间单调递减B．在区间有两个极值点C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线【答案】AD【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：，所以，，即，又，所以时，，故．对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；对C，当时，，，直线不是对称轴；对D，由得：，解得或,从而得：或,所以函数在点处的切线斜率为，切线方程为：即．故选：AD．3．已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是A． B．C． D．【答案】C【详解】，由题设的周期为，∴，由得，，故选C.4．函数的部分图象如图所示，则（

）

A．－2 B．－1 C．0 D．【答案】C【分析】根据图象及“五点法”求函数解析式.【详解】由图可知，且过点，代入解析式可知，即．因为，所以，所以，所以．故答案为：C5．（多选）已知函数，若是的一个极大值点，与此极大值点相邻的一个零点为，则下列结论正确的是（

）A．在区间上单调递减B．将的图象向右平移个单位长度可得的图象C．在区间上的值域为D．的图象关于直线对称【答案】BC【分析】先根据题意求出，再利用极大值点和的范围求出，得到的解析式，利用余弦函数的单调性即可判断A的正误；利用三角函数图象的平移变换法则即可判断B的正误；利用余弦函数的图象与性质求出在区间上的值域，即可判断C的正误；求出的值，即可判断D的正误．【详解】选项A：由题知，，∴，则，又是的一个极大值点，∴，，即，，∵，∴，∴，当时，，∴函数在区间上先增后减，故A错误；选项B：将的图象向右平移个单位长度可得的图象，故B正确；选项C：当时，，∴在区间上的值域为，故C正确；选项D：，则的图象不关于直线对称，故D错误．故选：BC.6．已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（

）A．的最小正周期为B．C．将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数D．函数在上有且仅有一个零点【答案】ACD【分析】根据函数的单调性和对称性列式求出，再根据最小正周期公式可判断A；根据解析式计算可判断B；利用图象变换和余弦函数的奇偶性可判断C，利用余弦函数的图象可判断D.【详解】因为函数在上单调，所以的最小正周期满足，即，所以.因为的图象关于点对称，所以，，得，，由，得，因为，所以，.所以.对于A，的最小正周期为，故A正确；对于B，，，所以，故B不正确；对于C，将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为为偶函数，故C正确；对于D，，令，得，令，由，得，作出函数与直线的图象如图：

由图可知，函数与直线的图象有且只有一个交点，所以函数在上有且仅有一个零点，故D正确.故选：ACD随堂检测1．函数的部分图象如图，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】先利用图象中的1和3，求得函数的周期，求得，最后根据时取最大值1，求得，即可得解．【详解】解：根据函数的图象可得：函数的周期为，∴，当时取最大值1，即，又，所以，故选：C．2．函数的最小正周期是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据三角函数的辅角公式将函数化简为的形式，再由可得到答案．【详解】(其中)，．故选：C．3.函数的最小值为（

）A．2 B．0 C． D．6【答案】B【分析】设，则，结合二次函数性质求其最小值即可.【详解】因为，设，则，由二次函数性质可得当上单调递减，所以当，取最小值，最小值为0，故当时，函数取最小值，最小值为0，故选：B.4．函数，，的部分图象如图所示，则函数表达式为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据图像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊点求出，化简即得所求.【详解】由图像知，，，解得，因为函数过点，所以，，即，解得，因为，所以，.故选：A5．（多选）如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（

）

A．B．C．D．【答案】AD【分析】由图象求出的解析式，再结合三角函数的诱导公式逐项分析即得.【详解】设，则的最小正周期为：，所以，因为的最大值为，最小值为，所以，所以，因为，所以，所以，故A正确，，故B不正确；，故D正确；