G单元立体几何

G单元立体几何

目录

G单元立体几何...................................................................1

G1空间几何体的结构...........................................................1

G2空间几何体的三视图和直观图.................................................5

G3平面的基本性质、空间两条直线..............................................13

G4空间中的平行关系..........................................................15

G5空间中的垂直关系..........................................................30

G6三垂线定理................................................................51

G7棱柱与棱锥.................................................................51

G8多面体与球................................................................56

G9空间向量及运算.............................................................59

G10空间向量解决线面位置关系.................................................60

G11空间角与距离的求法........................................................62

G12单元综合..................................................................80

G1空间几何体的结构

【数学文卷•2015届贵州省贵阳市普通高中高三8月摸底考试（201408）118.（本小题满

分12分）

在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O,底面ABCD,F

为BE的中点.（1）求证：DE平面ACF；

（2）若CE=1,AB=Ji，求三棱锥E-ACF的体积.

【知识点】空间中的位置关系；体积求法.G1G4G5

【答案解析】（1）略；（2）」解析：（1）证明如下：连接OF.

6

E

由四边形ABCD是正方形可知，点O为BD中点.

又F为BE中点，所以。9DE.

又OFu平面ACF,DE（Z平面ACF,

所以DE平面ACF.-------------6分

（2）因为在AE8C中，8C_LCE,尸为的中点，CE=1,BC=J5

所以S&CEF=2^ABC£=于3乂6乂1="

又因为底面ABCD是正方形，£C_L底面ABCD

所以48，BC,AB±CE,BCC\CE=C

所以AB_L平面BCE

所以三棱锥E-ACF的体积/ACF=VAC£F=-xS^CEFxAB=-x—xy/2=---12

334o

【思路点拨】（1）根据线面平行的判定定理，需要在平面ACF中找到直线与直线DE平行,

为此连接OF即可；（2）等体积转化//CF=匕CEF=』XSACEFX48=1XLSx4B

th-A—Villi'332ZyDUxl

【数学文卷•2015届贵州省贵阳市普通高中高三8月摸底考试（201408）［16.一个几何体

的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球的表面积之比为.

【知识点】空间几何体的三视图；几何体的表面积.G1G2

【答案解析】上解析：该几何体是边长为1的正八面体，其表面积为

71

8x—乂1、1义5也60°=26，其外接球的半径为匚，故外接球表面积为4万—=2万，

222

所以所求比值为V义3.

【思路点拨】由三视图得该几何体是边长为1的正八面体，从而求得其表面积及其外接球的

表面积，进一步求出所求比值.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

【数学文卷•2015届广东省深圳市高三上学期第一次五校联考（201409）118.（本小题满

分13分）

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知/2=45°,/。=90°,/4。。=105°,/8=3£>,

现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABDL平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱

AC、AD的中点.

（I）求证：DC平面ABC；

（2）设CD=a,求三棱锥A—BFE的体积.

【知识点】空间位置关系的判定与性质；

几何体体积的计算.G1G4G5

V3a

【答案解析】（1）略；（2）—a3

解析：（1）证明：在图甲中，•.•■=1«）且一二彳*

，乙ADB=4竽Z^C=9ir即山_LED....................1分

又在图乙中，：平面ABDJ■平面BDC,且平面ABD（1平面BDC=BD

；.AB_L底面BDC,AABXCD.........................................3分

\^.DCB=VT,.-.DC±BC.........................................4分

又由.门仇7=6.................................5分

.♦.DCJ-平面ABC.......................................6分

（2）•.•点E、F分别为AC、AD的中点；.EF〃CD........................7分

又由（1）知，DC，平面ABC

；.EFJ_平面ABC.........................................8分

于是EF即为三棱锥的高，

■.雨

；•3..........9分

在图甲中，•.4DC=IO£,,,ZBDC=Cff^.DBC=3V

BF=-CD=-a

由CD=a得6。=2a,BC=E,22................11分

S^=-ABBC=-2aJ3a=j3d*=

22.•.202..........12分

—32212.....................13分

（若有其他解法，可视情况酌情给分）

【思路点拨】（1）根据线面垂直的判定定理，只需在平面ABC中找到两条相交直线都与直

线DC垂直即可，显然平面ABC中的两条相交直线是BC和BA；（2）;•点E、F分别为

AC、AD的中点，/.EF//CD,又由（1）知，DC，平面ABC,/.EFXiFABC,

=3

^A-BEFVF_ABE=—VD-ABc=~-x-^—xABxBCxCD=--x2ax43axa=—^-a.

G2空间几何体的三视图和直观图

【数学(理)卷*2015届黑龙江省大庆市高三第一次教学质量检测(201409)】(7)

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的

体积为

(A)—(B)———■

66

©(8+2)』⑴)"+2》)「

66

【知识点】三视图G2

【答案解析】B解析：由三视图可知该几何体左边为半个圆锥，

右边为底面是正方形的四棱锥，所以其体积为

1-1国11c，/T+85/3E”不

一xyrxrxJ3x—+—x2~xJ3=----------，则选B.

3236

【思路点拨】由三视图求几何体的体积的关键是正确分析原几何体的特征.

【数学(文)卷•2015届黑龙江省大庆市高三第一次教学质量检测(201409)】4.

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.6B.2A/3C.3D.3>/3

【知识点】三视图G2

【答案解析】D解析：由三视图可知该几何体为一个倒放的正三棱柱，所以其体积为

-x2xV3x3=3V3,贴D.

2

【思路点拨】由三视图求几何体的体积，关键是由三视图正确分析几何体的特征.

【数学理卷•2015届贵州省贵阳市普通高中高三8月摸底考试(201408)[15、某几何体的

三视图如右图(其中侧视图中的圆弧是半圆)，则该几何体的体积为

【知识点】二视图.G2

【答案解析】80+10〃解析：解：由三视图知：几何体是一半圆柱与长方体的组合体，

长方体的长、宽、高分别为5、4、4；半圆柱的高为5,底面半径为2,

几何体的底面积为：底面周长为：4X3+JIX2=12+2IT,

.••几何体的表面积S=2X（16+2）+5X（12+2无）=92+14n.几何体的体积V=5义（16+2

n）=80+10Ji.

【思路点拨】根据题意求出几何体的数值，由于是组合体所以要分开计算.

【数学理卷•2015届湖南省长沙市长郡中学高三上学期第一次月考（201409）】7.已知一个

几何体的三视图及有关数据如图所示，

则该几何体的体积为（）

A.2V3B.

3

C.A/3

【知识点】由三视图求面积、体积.G2

【答案解析】B解析：由该几何体的

三视图可以借用长方体将其还原

为直观图如右所示,（由简到繁），由俯视图”侧视图f正视图-直

其为四棱锥尸-々CD,所以vP_ABCD=1^BCDxe=芈，选B.LfitrF0

【思路点拨】几何体是四棱锥，结合其直观图，利用四棱锥的一个侧面与底面垂直，作四棱

锥的高线，求出棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算.

【数学理卷•2015届湖南省师大附中高三第一次月考（201409）］8.一个四面体的三视图

如图所示，则该四面体的表面积为（）

【知识点】三视图.G2

【答案解析】D解析：如图所示，四面体为棱长为2的正四面体,

【思路点拨】根据题意转化为正方体内的正四面体，可知其棱长再求面积即可.

【数学理卷•2015届浙江省绍兴一中高三上学期回头考试（201409）】3.已知某四棱锥的

三视图（单位：cm）如图所示，则该四棱锥的体积是（）

A863G3

A.-----cmBR.—cm

33

4G3

Cr.-----cmD.43cm3

3

【知识点】三视图，棱锥体积G2G7

【答案解析】A解析：由三视图可知该四棱锥的底面是长和宽分别为4,2的矩形，高为

所以其体积为:x4x2xK=里，所以选A.

33

【思路点拨】由三视图求几何体的体积，应先由三视图分析原几何体的特征（注意物体的位

置的放置与三视图的关系），再利用三视图与原几何体的数据对应关系进行解答.

【数学理卷•2015届浙江省嘉兴市高三上学期学科基础测试(201409)】14.若某空间几何

体的三视图如图所示，

则该几何体的体积是:

【知识点】空间几何体的三视图.G2

【答案解析】32解析：由三视图可知：此几何体是四棱锥，其底面是邻边长分别为6,4的

矩形，且棱锥高为4,所以该几何体的体积是,x6x4x4=32.

3

【思路点拨】先由三视图获得此几何体的结构，底面特点，棱的特点，然后求此几何体的体

积.

物视图

【数学理卷•2015届广西桂林中学高三8月月考(201408)】18.(本小题满分为12分)已

知四棱锥P—ABCD及其三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点。

(I)求四棱锥P—ABCD的体积；

(II)不论点E在何位置，是否都有BDLAE?试证明你的结论；

(III)若点E为PC的中点，求二面角D—AE—B的大小。

俯视因

【知识点】三视图；线面垂直的性质定理；二面角.G2G5

2

【答案解析】(I)-(II)见解析(III)120。

3

解析：(I)由三视图知PC上面ABCD,ABCD为正方形，且PC=2,AB=BC=1,

[12

VP-ABCD=ySABCDxPC=yxl2x2=j4分

(II)VPC±®ABCD,BDu面ABCD；.PCJ_BD,而BDJ_AC,ACAAE=A,ABDlffiACE,

而AEu面ACEABDXAE-----------------7分

an)法一：连接AC,交BD于0.由对称性，二面角D-AE-B是二面角0-AE-B的2倍，设。

为二面角0-AE-B的平面角.注意到B在面ACE上的射影为0

SS

AAOE=yAACE=3：*及=字,SAABE=yABxBE=^y-,；.COS®=\AAOE=:,

9=60°...二面角D-AE-B是120°-------------12分

法二：以C为坐标原点，CD所在直线为x轴建立空间直角坐标系

则D(1,0,0),A(1,1,0),B(0,1,0),E(0,0,1),

从而DE=(T,0,1),DA=(0,1,0),BA=(1,0,0),BE=(0,-1,1)

设平面ADE和平面ABE的法向量分别为1=(xi,yi,zO,石=(x2,y2,z2)

贝ij—xi+zi=0,yi=0,X2=0,-y2+zz=0令zi=l,zz=T,

则ni=((1,0,1),n2=(0,T,-1)

设二面角D-AE-B的平面角为9,则|cos。=1t3=-.

HH

二面角D-AE-B为钝二面角.二面角D-AE-B是120°---------12分

俯视因

【思路点拨】本试题主要考查了立体几何中的线面的垂直，以及二面角的求解的综合运用。

【数学理卷•2015届广东省广州市第六中学高三上学期第一次质量检测(201409)(1)]5.

若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于

()

A.30B.12C.24D.4

【知识点】三视图G2

【答案解析】C解析：由三视图知几何体是底面为边长为3,4,5的三角形，高为5的三

棱柱被平面截得的，如图所示，所以几何体的体积为Ix3x4x5--xix3x4x3=24,

232

所以选C.

【思路点拨】本题考查三视图的识别以及多面体的体积问题.根据三视图得出几何体的形状

及长度关系是解决问题的关键.

【数学理卷•2014届河南省实验中学高三第三次模拟考试(201405)】15.如图所示是一

个几何体的三视图，则该几何体的体积为.

【知识点】由三视图求面积、体积.G2

【答案解析】8+2兀解析：该几何体由一个长方体和两个半圆柱构成，

则圆柱的体积为Vi=Tixl2x2=2n,

长方体的体积为V2=1X4X2=8,

则该几何体的体积为V=VI+V2=8+2TT,

故答案为8+2l

【思路点拨】该几何体由一个长方体和两个半圆柱构成，代入求解.

【数学理卷•2014届河南省实验中学高三第三次模拟考试(201405)】4.如图，网格纸上的

正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为()

(A)30(B)50(C)75(D)150

【知识点】由三视图求面积、体积.G2

【答案解析】B解析：该几何体是四棱锥，

其底面面积S=5x6=30,高h=5,

则其体积V」XSxh」X30x5=50.故选B.

33

【思路点拨】由三视图可知：该几何体是四棱锥.

【数学文卷•2015届浙江省绍兴一中高三上学期回头考试(201409)】3.已知某四棱锥的

三视图(单位：cm)如图所示，则该四棱锥的体积是()

8733V33

A.cmB.—cm

33

「4G3

C.------cmD.\l3cm3

3

【知识点】三视图,棱锥体积G2G7

【答案解析】A解析：由三视图可知该四棱锥的底面是长和宽分别为4,2的矩形，高为G,

所以其体积为工义4义2义6=迪，所以选A.

33

【思路点拨】由三视图求几何体的体积，应先由三视图分析原几何体的特征（注意物体的位

置的放置与三视图的关系），再利用三视图与原几何体的数据对应关系进行解答.

【数学文卷•2015届浙江省嘉兴市高三上学期学科基础测试（201409）［14.若某空间几何

体的三视图如图所示，

则该几何体的体积是:

【知识点】空间几何体的三视图.G2

【答案解析】32解析：由三视图可知：此几何体是四棱锥，其底面是邻边长分别为6,4的

矩形，且棱锥高为4,所以该几何体的体积是,x6x4x4=32.

3

【思路点拨】先由三视图获得此几何体的结构，底面特点，棱的特点，然后求此几何体的体

积.

【数学文卷•2015届广西桂林中学高三8月月考（201408）】13.一个几何体的三视图如图

所示（单位长度：cm）,

则此几何体的表面积是.

【知识点】由三视图求面积、体积.G2

【答案解析】（20+40）cm?解析：三视图复原的组合体是下部是棱长为2的正方体，

上部是底面边长为2的正方形，高为1的四棱锥，

组合体的表面积为：5X2X2+4XAX2X72=（20+4扬cm

故答案为：（20+4＞次）cm2

【思路点拨】三视图复原的组合体是下部是正方体，上部是四棱锥，根据三视图数据，求出

表面积即可.

【数学文卷•2015届广东省深圳市高三上学期第一次五校联考（201409）［12.一个几何体

的三视图如图，

则该几何体的体积为.

【知识点】几何体的三视图.G2

【答案解析】6〃解析：由三视图可知此几何体

是底面半径为2,高为3的半圆柱，所以其体积为

—X^-X22X3=6^.

2

【思路点拨】由几何体的三视图得该几何体的形状，从而求该几何体的体积.

【数学文卷”OIS届天津一中高三上学期零月月考（201409）】10.某几何体的三视图如图所

示，则该几何体的体积为.

【知识点】三视图的意义.G2

【答案解析】108+3〃解析：该几何体的体积=2x6x6xl.5+万X12X3=108+3〃.

【思路点拨】由三视图可知该几何体是由两个底面边长是6,高是1.5的正四棱柱，和一个

底面半径是1,高是3的圆柱组成的几何体.

【数学文卷•2014届河南省实验中学高三第三次模拟考试（201405）】14.右图为某几何体的

三视图，则该几何体的体积为.

【知识点】由三视图求面积、体积.G2

【答案解析】一夕解析：由三视图知：几何体是圆柱与士球体的组合体，

34

圆柱的高为1,圆柱底面圆的半径与球的半径都为1,

，几何体的体积VFXFXI+L乌ixl3=9兀.

433

故答案为：”.

3

【思路点拨】几何体是圆柱与』球体的组合体，根据三视图判断圆柱的高及圆柱的底面圆半

4

径，判断球的半径，把数据代入圆柱与球的体积公式计算.

G3平面的基本性质、空间两条直线

【数学理卷•2015届贵州省贵阳市普通高中高三8月摸底考试(201408)[18、如图，在直

三棱柱ABC-44cl中,ABIBC,AB=BC=1,AA1=2,D,E分别是441,与。的中点.

A

(I)证明：DE//平面ABC；

(II)求二面角C-BQ-B的余弦值

【知识点】直线与平面的位置关系；二面角.G3,G4

【答案解析】解析：(D证明：如图，E是用。的中点，取为BC的中点G,连接EG、AG、ED,

在BCB,中，

•••BG=GC,BXE=ECEG/IBB,,且EG=|BB^AD//3月且AD=1BB1

:.EG11AD,EG=AD四边形ADEF为平行四边形，:.ED!/AG,又

ZGu平面ABC,DEa平面ABC,所以DE//平面ABC

(H)解：如图，以B为原点，BC,BA,AS],分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系。-町，z

则3(0,0,0),c(l,0,0),/(0,1,0),耳(0,0,2),£(1,0,2)4(0,1,2)0(0,1,1)•••直三棱柱

ABC-A.B^.-.B.BVBC,455C,48cAs1=8，平面ABBQ,如图，连

22

接BD,在BBQ中BD=B1D=2,BB1=2,:.BD+B1D=BB；,即BDJLBQ,BD是

CD在平面ABBQ内的射影，

:.CD±BQNCQ8为二面角C-B1D-B的平面角vDC=(1,-1,-1),D5=(0,-1,-1)

cosNCDB=匕,竺=—,所以二面角C-B.D-B的余弦值为—

|DC|-|D5|33

【思路点拨】根据已知条件可判定直线与平面平行,再建立空间坐标系求出二面角的余弦值.

G4空间中的平行关系

【数学（理）卷-2015届黑龙江省大庆市高三第一次教学质量检测（201409）】（19）

（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-4BCD中，4BCD为平行四边形，且

平面「48,PALAB,〃■为尸8的中点，PA=AD=2.

（T）求证：PD〃平面AMC；

（II）若48=1,求二面角8—ZC—M的余弦值.

【知识点】直线与平面平行、二面角G4G11

【答案解析】（I）略（II）—

6

解析：（I）证明：连接8。，设8。与ZC相交于点。，连接。

因为四边形4SCD为平行四边形，所以点。为8。的中点，

又因为"为08的中点，所以0M为AP8D的中位线，

所以〃尸。，.........3分

又因为。河u平面ZMC,W平面

所以尸。〃平面....6分

为8CL平面

PAB,AD//

8C,所以40,

PAB,

又因为

PA1AB,所以48,40,4?两两垂直，

故可以建立空间直角坐标系（如图所示），.........8分

则N（0,0,0）,8（1,0,0）,£＞（0,2,0）,C（l,2,0）,P（0,0,2）,

所以羽=（1刀,0）,AC=（1,2,0）,而=

因为PZ，平面4BCD,故平面ABC的一个法向量为4P=（0,0,2）,

_/、\n-AC=O,+2%=0

设平面的法向量为〃=(xi，%,zj,贝1"______.即晨，

n-AM=0—+Z[=0

i12

令Z]=l,则项=一2,必=1,可取〃=（一2,1,1）,...........10分

H_AP•〃_2_V6

而COS<A.P>=।“-[zrr-/—，

H-H2X7（-2）2+12+126

故所求二面角8—ZC—M的余弦值为逅......12分.

6

【思路点拨】证明直线与平面平行一般利用直线与平面平行的判定定理转化为线线平行证明;

求二面角一般通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角解答.

【数学理卷•2015届贵州省贵阳市普通高中高三8月摸底考试（201408）[18、如图，在直

三棱柱ABC-481cl中，AB1BC,AB=BC=1,AA,=2,D,E分别是,耳。的中点.

（I）证明：DE//平面ABC；

（II）求二面角C-BXD-B的余弦值

【知识点】直线与平面的位置关系；二面角.G3,G4

【答案解析】解析：（I）证明：如图，E是4c的中点，取为BC的中点G,连接EG、AG、ED,

在BCBX中，

•/BG=GC,BXE=ECEG/IBB,,且EG=1BBJC4D//5用且AD=|BB1

:.EG//AD,EG=AD四边形ADEF为平行四边形，:.ED//AG,又

ZGu平面ABC,DE<z平面ABC,所以。E//平面ABC

（H）解：如图，以B为原点，BC,BA,84，分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系。-型

则8（0,0,0）,C（1,0,0）4（01,0）,耳（0,0,2）6（1，0,2）4（0,1,2）0（01,1）•••直三棱柱

ABC-A.B.C„.-.B.BLBC,48，=8,8C，平面ABBQ,如图，连

22

接BD,在BBQ中­••BD=B1D=2,BB1=2,.\BD+BXD=BB；,即80，BQ,BD是

CD在平面ABB.D内的射影，

:.CD_LB[DNCQ8为二面角C-B1D-B的平面角vDC=（1,-1,-1）,DB=（0,-l,-1）

cosNCDB=1驾％=—,所以二面角C—BQ_B的余弦值为—

|DC|.|D5|33

【思路点拨】根据已知条件可判定直线与平面平行,再建立空间坐标系求出二面角的余弦值.

【数学理卷•2015届湖南省长沙市长郡中学高三上学期第一次月考（201409）】18.（本小题

满分12分）

直三棱柱ABC-48cl中,=5,/C=4,8C=3,

=4,点。在上.

（I）若。是48中点，求证:4G〃平面4cD;

Dr\i

(II)当一刀=7时，求二面角B-CD-B.的余弦值.

AB3

【知识点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法.G4

G11

【答案解析】(I)见解析(II)当

61

解析：(I)连接BG交&C于点E,连接DE,

因为直三棱柱中侧面2CC4为矩形，所以

E为BC、的中点，又。是中点，

于是DE〃/q,且DEu面4。，ACiC平面BQD

所以/q〃平面4。；...................6分

(H)由AB=5,4C=4,3C=3,知ZXCB=90。,即、C_LCB,

又直三棱柱中AAX1面/8C,于是以C为原点建立空间

直角坐标系C-砂z如右图所示，于是3(3,0,0),男(3,0,4),

又坐=(，由平面几何易知。(2,±0),

AB33

显然平面8。的一个法向量为耳=(0,0,1),

又设平面gCD的一个法向量为%=(x,%z),则由

外,函=(3,0,4),[3x+4=0,

—.4，得'4八

n2±CZ)=(2,-,0),2x+飞y=0

、JI,

44

解得x=-]J=2,取z=1,则%=(―12,1)，设二面角B-CD-B.的平面角为0,

贝"c°s昨后察，又由图知为锐角，

所以其余弦值为李

12分

61

【思路点拨】(I)通过作平行线，由线线平行证明线面平行；(II)建立空间直角坐标系，求

得两平面的法向量，利用向量法求二面角的余弦值.

【数学理卷•2015届浙江省绍兴一中高三上学期回头考试（201409）】4.设/，色〃表示三条

不同的直线，/夕表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若/〃加，mua,则/〃a；B.若I工mJ工n,m,〃ua,贝!!/_La；

C.若/〃a,I//（5,a[\p=m,贝1"〃加；D.若Iua,mu0,1Lm,则

【知识点】空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系G4G5

【答案解析】C解析：对于A,直线1还有可能在平面a内，所以错误，对于B,若m〃n,

则直线1与平面a不一定垂直，所以错误，对于D,若lua,mu/3,l工m,两面可以平行和

相交，不一定垂直，所以错误，则选C.

【思路点拨】判断空间位置关系时，可用相关定理直接判断，也可用反例排除判断.

【数学理卷•2015届浙江省嘉兴市高三上学期学科基础测试（201409）】7.对于空间的一

条直线m和两个平面,下列命题中的真命题是

A.若ma,m夕，则/3B..若ma,m民则

C.若能J_tz,a_1_/?,则a/3D.若加_1_生机_1_/?,则tz_1_

【知识点】空间中的平行关系；空间中的垂直关系.G4G5

【答案解析】C解析：若机a,m凡则平面见，可能平行可能相交，所以A,B是假命题；

显然若机_Lar，m_1_夕,则tz，成立，故选C.

【思路点拨】根据线面平行的性质，线面垂直的性质得结论.

【数学理卷・2015届安徽省示范高中高三第一次联考试题（201409）】⑷已知加，〃为不同

的直线，%，为不同的平面，则下列说法正确的是

k.mua,nIlm=n11a

B.ma,nLm=>nLa

C.mua,nu/3,mIln=>a11/3

D.nu/3,nLa=>a工0

【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系.G4G5

【答案解析】D解析：A选项可能有B选项也可能有“ua,c选项两平面可能相

交，故选D.

【思路点拨】分别根据线面平行和线面垂直的性质和定义进行判断即可.

【数学文卷•2015届贵州省贵阳市普通高中高三8月摸底考试（201408）118.（本小题满

分12分）

在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O,EC,底面ABCD,F

为BE的中点.（1）求证：DE平面ACF；

（2）若CE=1,AB=V^，求三棱锥E-ACF的体积.

【知识点】空间中的位置关系；体积求法.G1G4G5

【答案解析】（1）略；（2）!解析：（1）证明如下：连接OF.

由四边形ABCD是正方形可知，点O为BD中点.

又F为BE中点，所以OEDE.

又OFu平面ACF,DE①平面ACF,

所以DE平面ACF.-------------6分

（2）因为在AEBC中，8CJ_CE，尸为的中点，CE=bBC=J2

所以SACEF=；X；X行xl=^

又因为底面ABCD是正方形，底面ABCD

所以AB±BC,AB±CE,BCHCE=C

所以AB_L平面BCE

所以三棱锥E-ACF的体积/=VA-CEF=—又S“EF义4B=—x-^—xV2=--------12分

3346

【思路点拨】（1）根据线面平行的判定定理，需要在平面ACF中找到直线与直线DE平行,

为此连接。F即可；⑵等体积转化％c-净…日?卜…5

=3x2

346

【数学文卷•2015届贵州省贵阳市普通高中高三8月摸底考试（201408）［10.已知两个平

面垂直，给出下列四个命题：

①一个平面内的已知直线必垂直另一平面内的任意一条直线.

②一个平面内的已知直线必垂直另一平面内的无数条直线.

③一个平面内的任一条直线必垂直另一平面.

④在一个平面内一定存在直线平行于另一平面.

其中正确命题的个数是

A.OB.lC.2D.3

【知识点】线面位置关系的判定与性质.G4G5

【答案解析】C解析：①只有当一个平面内的这条已知直线垂直另一平面时，它才垂直另一

平面内的任意一条直线，所以①是错误的；②一个平面内的已知直线必与另一平面内和两平

面交线垂直的无数直线垂直，所以②正确；③只有一个平面内垂直于两平面交线的直线才垂

直于另一平面，所以③是错误的；④其中一个平面内平行于两平面交线的直线一定平行于另

一平面，所以④正确.故选C.

【思路点拨】根据线面位置关系的判定与性质，逐一分析①②③④这四个命题的正误.

【数学文卷•2015届湖南省衡阳八中高三上学期第二次月考（201409）】18.（本小题满分

1

A,RD□丁FP4per,

12分）如图所示的多面体中，是菱形，二.是矩形，“面/八一）

八、4T平面8c尸/，立面.

（1）求证：

“、.厅£=80=小求四桂母1n八""也”

【知识点】空间平行关系的证明；几何体的体积.G4G5G1

「ABC^

【答案解析】⑴略；（2）立解析：证明：（1）由是菱形

6

•.BC//"小

面f「而.；「BC!际.八

------3分

由BDE”是矩形二BF/

BF（X面NOE,八"「而//尸"）,

BCu面8。尸，£尸二巴"口”cp”一

平面8。尸/，五而八

••----------------6分

(2)连接4T,AC

由是菱形，\AC1D>

^ED'ABCL>4Cu在"小u；£。」一

由面，

---ED,BDu面"八cn八」./o1D

则N「为四棱锥4—的高

4R「八AJnn

由''是菱形，/B人八->则“,为等边三角形,

12V37-

1/——-r*

V

A-BDEF-3-4-------------------13分

【思路点拨】⑴只需证明平面BCF中两条相交直线BC、BF都与平面AED平行即可；

（2）易证四棱锥的高是菱形ABCD对角线AC的一半，而底面是正方形BDEF,由此得出四棱

锥A-BDEF的体积.

【数学文卷•2015届湖南省师大附中高三第一次月考（201409）】5.已知a,6为两条直线,

a,2为两个平面，下列命题中正确的是（）

A.若a〃6,p//b,贝ija〃夕B.若a"a,a//b,贝

C.若a_La,b邛,贝Ua〃夕D.若aJLa,a邛,则a〃夕

【知识点】空间中线线、线面间的位置关系.G4G5

【答案解析】D解析：对于A：若a〃b,p〃b,则a〃P或相交，故A错误；

对于B：若alla；a//b,则a与b平行、相交或异面.故B错误；

对于C：明显错误；对于D：若a_La,a邛,则a〃[3,正确.

故选D.

【思路点拨】依据定理、公理依次排除即可.

【数学文卷•2015届浙江省绍兴一中高三上学期回头考试（201409）】19.（本小题满分8

分）

如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4,E为边AB的中点，将AADE沿直线DE翻折成AAiDE

（1）设M为线段AIC的中点，求证：BM//A1DE；

（2）当平面AiDEL平面BCD时，求直线CD与平面AiCE所成角的正弦

【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角G4G11

【答案解析】（1）略（2）-

2

解析：（1）证明：取AQ的中点N,连接MN,NE,因为MN〃DC,MN=；DC,EB〃

DC,£5=^£＞。,则如〃£8且]^=£8,所以四边形MNEB为平行四边形，贝ijMB

〃NE,NEu平面ZQE,所以BM〃AiDE；3分

8

M

⑵

解：⑴略；3分

(2)由矩形ABCD中，AB=2BC=4,E为边AB的中点，可得ED2=22+22=8=CE2,CD2=42=16,.,.CE2+ED2=(

CED=90°,ACEXED.

又：平面AiDE_L平面BCD,；.CE_L平面AiDE,/.CEXDAi.

又YDAJAiE,AiECEC=E,；.DAi_L平面AiCE,；./AiCE即为直线CD与平面AiCE所成的角.在Rt^A

【思路点拨】证明直线与平面平行通常结合直线与平面平行的判定定理，在平面内找到一条

直线与已知直线平行；求直线与平面所成角，通常先找出其平面角，再利用三角形求角.

【数学文卷•2015届浙江省绍兴一中高三上学期回头考试（201409）】4.设/，色〃表示三条

不同的直线，©夕表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若/〃加，mua,则/〃a；B.若/_L根,〃ua,贝i"_Ltz；

C.若/〃a,I//p,a[\/3-m,则/〃加；D.若/ua,/wu尸,/_L加，则

【知识点】空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系G4G5

【答案解析】C解析：对于A,直线1还有可能在平面a内，所以错误，对于B,若m〃n,

则直线1与平面a不一定垂直，所以错误，对于D,若lua,mu0,lLn,两面可以平行和

相交，不一定垂直，所以错误，则选C.

【思路点拨】判断空间位置关系时，可用相关定理直接判断，也可用反例排除判断.

【数学文卷•2015届浙江省嘉兴市高三上学期学科基础测试（201409）】7.对于空间的一

条直线m和两个平面见，，下列命题中的真命题是

A.若机a,m夕，则tzBB..若加a,m/?,则a_L/7

C.若能_L%/w则°D.若能_L_L△则c_L，

【知识点】空间中的平行关系；空间中的垂直关系.G4G5

【答案解析】C解