北京高中三模数学试卷

北京高中三模数学试卷一、选择题

1.下列函数中，定义域为全体实数的是（）

A.$f(x)=\sqrt{x^2+1}$

B.$f(x)=\frac{1}{x}$

C.$f(x)=\ln(x)$

D.$f(x)=\sqrt{x}$

2.已知函数$f(x)=2x^2-3x+1$，则该函数的对称轴方程为（）

A.$x=1$

B.$x=\frac{3}{4}$

C.$x=-\frac{3}{4}$

D.$x=\frac{1}{2}$

3.下列命题中，正确的是（）

A.若$a>b$，则$a^2>b^2$

B.若$a>b$，则$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$

C.若$a>b$，则$\sqrt{a}>\sqrt{b}$

D.若$a>b$，则$a+c>b+c$

4.已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，公差$d=3$，则$a_{10}$的值为（）

A.25

B.28

C.31

D.34

5.若复数$z=a+bi$（$a$，$b$为实数），则$\overline{z}$等于（）

A.$a-bi$

B.$-a+bi$

C.$-a-bi$

D.$a+bi$

6.已知直线$ax+by+c=0$与$x$轴、$y$轴的交点分别为$A$、$B$，若$A$、$B$的坐标分别为$(1,0)$、$(0,2)$，则该直线的斜率为（）

A.$-1$

B.$2$

C.$-2$

D.$1$

7.下列函数中，奇函数的是（）

A.$f(x)=x^2+1$

B.$f(x)=|x|$

C.$f(x)=\sqrt{x}$

D.$f(x)=\frac{1}{x}$

8.若$a^2+b^2=1$，则下列不等式中成立的是（）

A.$a>b$

B.$a>-b$

C.$a^2>b^2$

D.$a^2+b^2>2ab$

9.已知正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱长为1，则对角线$AC$的长度为（）

A.$\sqrt{2}$

B.$\sqrt{3}$

C.$\sqrt{5}$

D.$\sqrt{6}$

10.下列命题中，正确的是（）

A.若$a>b$，则$a+c>b+c$

B.若$a>b$，则$ac>bc$

C.若$a>b$，则$\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$（$c>0$）

D.若$a>b$，则$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$

二、判断题

1.函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$处有定义，并且$f(1)=2$。（）

2.二项式定理中，若$x+y=2$，则$(x+y)^3$的展开式中$x^2y$的系数为6。（）

3.在平面直角坐标系中，若点$A(2,3)$关于直线$y=x$的对称点为$B$，则$B$的坐标为$(3,2)$。（）

4.在等差数列中，若$a_1=3$，公差$d=-2$，则第10项$a_{10}=-13$。（）

5.平面直角坐标系中，若直线$3x-4y+12=0$与$x$轴、$y$轴的夹角分别为$\alpha$和$\beta$，则$\tan\alpha=\frac{3}{4}$，$\tan\beta=\frac{4}{3}$。（）

三、填空题

1.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图象开口向上，则系数$a$的取值范围是__________。

2.二项式$(a+b)^n$展开式中，$x^3y^2$项的系数是__________。

3.在平面直角坐标系中，点$P(3,4)$到直线$x+2y-5=0$的距离是__________。

4.等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1=2$，公差$d=3$，则$S_6$的值是__________。

5.复数$z=3+4i$的模长是__________。

四、简答题

1.简述函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图象的几何特征，并说明如何通过这些特征来判断函数的增减性和极值。

2.给定一个三角形ABC，其中$\angleA=60^\circ$，$\angleB=45^\circ$，$\angleC$的度数是多少？请使用正弦定理或余弦定理来解决这个问题。

3.简化表达式$\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2-1}$，并说明简化过程中的每一步。

4.已知数列$\{a_n\}$是等比数列，且$a_1=3$，公比$q=-2$，求第5项$a_5$。

5.如果一个平面直角坐标系中的直线方程是$y=mx+b$，其中$m$是直线的斜率，$b$是y轴截距，请解释如何通过直线的斜率和截距来判断直线的倾斜方向和与坐标轴的交点位置。

五、计算题

1.计算下列极限：$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$。

2.解方程组：

\[

\begin{cases}

2x+3y=8\\

5x-2y=1

\end{cases}

\]

3.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求$f'(x)$，并求出函数的极值点。

4.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1=5$，公差$d=3$，求$S_{10}$和$a_{10}$。

5.已知复数$z=2+3i$，求$z$的共轭复数$\overline{z}$，以及$|z|$。

六、案例分析题

1.案例背景：某公司生产一种产品，其生产成本为每件100元，市场需求曲线为$p=200-0.5q$，其中$p$为价格，$q$为销量。假设公司不进行任何促销活动。

案例分析：

（1）请根据市场需求曲线，推导出该产品的需求函数。

（2）假设公司希望实现最大利润，请问应该生产多少件产品？此时每件产品的售价是多少？

（3）如果公司决定进行促销活动，每件产品给予消费者10元的折扣，请重新计算公司应该生产多少件产品以实现最大利润？此时每件产品的售价是多少？

2.案例背景：某学校计划在校园内修建一座图书馆，图书馆的建设成本为1000万元。学校希望通过图书馆的运营来弥补部分建设成本，图书馆的运营成本为每年200万元，包括人员工资、水电等费用。图书馆的藏书量固定，每年可以吸引一定数量的读者。

案例分析：

（1）假设图书馆每年可以吸引1000名读者，每位读者的图书借阅费用为10元，请问图书馆每年可以通过借阅费用回收多少成本？

（2）如果图书馆决定提高图书借阅费用，请问为了回收建设成本的80%，每位读者的图书借阅费用应该设定为多少？

（3）考虑到图书馆的运营成本，如果图书馆每年需要通过借阅费用回收至少300万元，请问图书馆需要吸引多少名读者才能实现这一目标？

七、应用题

1.应用题：某工厂生产两种产品，产品A和产品B。生产产品A的固定成本为每天200元，每单位产品的可变成本为10元；生产产品B的固定成本为每天150元，每单位产品的可变成本为15元。市场对产品A的需求量为每天不超过50单位，对产品B的需求量为每天不超过40单位。工厂每天最多可以生产100单位产品。

（1）请列出生产产品A和产品B的总成本函数。

（2）如果产品A的售价为每单位30元，产品B的售价为每单位50元，请问工厂应该如何安排生产计划以实现最大利润？

（3）如果产品A和产品B的售价分别上涨到每单位35元和60元，其他条件不变，请问工厂的最大利润是多少？

2.应用题：一个长方体的长、宽、高分别为$x$、$y$、$z$，其体积为$V$，表面积为$S$。已知长方体的体积$V=8$立方米，表面积$S=24$平方米。

（1）请列出长方体体积和表面积的表达式。

（2）根据已知条件，求解长方体的长、宽、高。

（3）如果长方体的表面积增加8平方米，请问体积将如何变化？

3.应用题：某市公交车线路有两条，线路A和线路B。线路A的起点到终点的距离为12公里，线路B的起点到终点的距离为8公里。两条线路在某个站点交汇，交汇点将线路A和线路B分别分为两段，每段距离为6公里。公交车在交汇点的平均速度为每小时60公里。

（1）请计算公交车从线路A的起点到交汇点所需的时间。

（2）如果公交车在交汇点停留5分钟，请计算公交车从线路B的起点到交汇点所需的时间。

（3）假设公交车在交汇点停留的时间不变，请计算公交车从线路B的起点到终点所需的总时间。

4.应用题：某工厂生产一批产品，每批产品有5个零件组成。零件A、B、C、D、E的合格率分别为0.95、0.90、0.85、0.80、0.75。工厂希望每批产品至少有4个零件是合格的。

（1）请计算每批产品中所有零件都合格的概率。

（2）如果工厂对不合格的零件进行返工，返工后零件A、B、C、D、E的合格率分别提高到0.98、0.95、0.90、0.85、0.80，请重新计算每批产品至少有4个零件合格的概率。

（3）假设工厂不进行返工，请问在100批产品中，预计有多少批产品满足至少有4个零件合格的条件？

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.A

2.B

3.D

4.A

5.A

6.D

7.B

8.D

9.A

10.A

二、判断题

1.错

2.对

3.对

4.对

5.错

三、填空题

1.$a>0$

2.$C_{n}^{2}a^{2}b^{2}$

3.$\frac{5}{2}$

4.$S_6=90$

5.$5$

四、简答题

1.函数$y=ax^2+bx+c$的图象是一个抛物线，当$a>0$时，抛物线开口向上，当$a<0$时，抛物线开口向下。抛物线的对称轴是$x=-\frac{b}{2a}$，顶点是$(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^2}{4a})$。如果$a>0$，则函数在顶点左侧递减，在顶点右侧递增；如果$a<0$，则函数在顶点左侧递增，在顶点右侧递减。

2.由正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$，代入已知角度得到$\sinC=\sin(180^\circ-60^\circ-45^\circ)=\sin75^\circ$。

3.$\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2-1}=x^2+1$（分子分母同时除以$x^2-1$）

4.$a_5=a_1\cdotq^{(n-1)}=3\cdot(-2)^{4}=48$

5.斜率$m$表示直线与x轴正方向的夹角的正切值，如果$m>0$，则直线向右上方倾斜；如果$m<0$，则直线向右下方倾斜。截距$b$表示直线与y轴的交点坐标。如果$b>0$，则交点在y轴的正半轴；如果$b<0$，则交点在y轴的负半轴。

五、计算题

1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$

2.$x=2,y=1$

3.$f'(x)=3x^2-6x+4$，极值点为$x=1$

4.$S_{10}=180,a_{10}=28$

5.$\overline{z}=2-3i,|z|=5$

六、案例分析题

1.（1）$C_A(x)=100+10x,C_B(x)=150+15x$

（2）$x=30,y=20$

（3）$x=25,y=20$

2.（1）$V=xyz,S=2(xy+yz+zx)$

（2）$x=2,y=2,z=2$

（3）体积不变，因为长方体的体积公式不变

3.（1）$\frac{12}{60}=0.2$小时

（2）$\frac{6}{60}+\frac{8}{60}=0.3$小时

（3）$\frac{6}{60}+\frac{6}{60}=0.4$小时

4.（1）$P(A)=0.95,P(B)=0.90,P(C)=0.85,P(D)=0.80,P(E)=0.75$

（2）$P(A')=0.02,P(B')=0.10,P(C')=0.15,P(D')=0.20,P(E')=0.25$

（3）预计有70批产品满足条件

知识点总结：

本试卷涵盖了高中