常州23年高考数学试卷

常州23年高考数学试卷一、选择题

1.若函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+5$，则$f(1)$的值为（）

A.3

B.5

C.7

D.9

2.下列函数中，有最小值的是（）

A.$y=x^2$

B.$y=-x^2$

C.$y=2x-x^2$

D.$y=x^3$

3.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$x+y=5$的对称点$B$的坐标是（）

A.$(1,4)$

B.$(3,2)$

C.$(4,1)$

D.$(1,2)$

4.若$\tanx=\frac{1}{2}$，则$\sinx$的值为（）

A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$

B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

C.$\frac{\sqrt{5}}{10}$

D.$\frac{2\sqrt{5}}{10}$

5.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1=3$，$S_5=35$，则$a_3$的值为（）

A.5

B.6

C.7

D.8

6.下列方程中，无解的是（）

A.$x^2+2x+1=0$

B.$x^2+2x+3=0$

C.$x^2-2x+1=0$

D.$x^2-2x+2=0$

7.若$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(2,-1)$，则$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$的值为（）

A.3

B.4

C.5

D.6

8.下列不等式中，恒成立的是（）

A.$x+1>x$

B.$x-1>x$

C.$x+1<x$

D.$x-1<x$

9.若$\sinx=\frac{1}{2}$，则$\cosx$的值为（）

A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

B.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

D.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$

10.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$，若$f(-1)=2$，$f(0)=1$，$f(1)=0$，则下列结论正确的是（）

A.$a=1$，$b=-1$，$c=0$

B.$a=1$，$b=1$，$c=0$

C.$a=-1$，$b=1$，$c=0$

D.$a=-1$，$b=-1$，$c=0$

二、判断题

1.在直角坐标系中，两条直线的斜率相等，则这两条直线必定平行。（）

2.若一个三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长度必定在1和7之间。（）

3.对于任意实数$x$，都有$x^2+1>0$。（）

4.函数$y=\frac{1}{x}$在其定义域内是单调递增的。（）

5.在等差数列中，任意两项之和等于这两项中间项的两倍。（）

三、填空题

1.若函数$f(x)=2x^3-6x^2+9x-1$的图像与$x$轴的交点坐标为$(1,0)$，则该函数的另一个零点为______。

2.在直角坐标系中，点$P(2,3)$到直线$x+2y-4=0$的距离为______。

3.若等差数列$\{a_n\}$的第一项$a_1=5$，公差$d=2$，则第10项$a_{10}$的值为______。

4.若$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，且$\cos\alpha<0$，则$\tan\alpha=______$。

5.已知函数$f(x)=x^2-4x+3$，若$f(x)$在$x=2$处的导数值为______。

四、简答题

1.简述二次函数的性质，并举例说明如何利用二次函数的性质解决实际问题。

2.请解释什么是等差数列和等比数列，并分别给出一个等差数列和一个等比数列的例子。

3.简要说明如何判断一个函数在某一区间内是单调递增还是单调递减的。

4.请解释向量积（叉积）的定义，并说明其在几何和物理中的应用。

5.在直角坐标系中，如何求一个点到直线的距离？请给出具体步骤和公式。

五、计算题

1.计算下列函数的导数：$f(x)=\sqrt{x^2-4}$。

2.解下列方程组：$\begin{cases}2x+3y=8\\4x-y=1\end{cases}$。

3.已知函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，求$f(x)$在$x=2$处的极限。

4.计算下列积分：$\int_0^1(2x^2+3x+1)\,dx$。

5.若一个圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，求该圆锥的体积。

六、案例分析题

1.案例背景：某班级学生参加数学竞赛，成绩分布呈正态分布，平均分为80分，标准差为10分。请分析以下情况：

-该班级学生的数学水平整体情况如何？

-在这个班级中，成绩在70分以下和90分以上的学生分别占多少比例？

-如果要选拔前10%的学生参加地区赛，应该选拔多少名学生？

2.案例背景：某公司生产一种产品，其重量分布服从正态分布，平均重量为100克，标准差为5克。公司规定，产品重量超出标准差两倍即为不合格。请分析以下情况：

-如果随机抽取一个产品，其重量超出标准差的概率是多少？

-在最近一次抽样检查中，发现5个产品不合格，请估计该公司产品的不合格率。

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一批产品，已知每件产品的次品率为0.05，工厂计划生产1000件产品，请问至少需要生产多少件产品才能保证至少有990件合格产品？

2.应用题：一个长方体的长、宽、高分别为6cm、4cm和3cm，求该长方体的体积和表面积。

3.应用题：一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，从A地出发前往B地，行驶了2小时后，汽车的速度减半，请问汽车到达B地需要多少小时？

4.应用题：一个圆的半径增加了20%，求新圆的面积与原圆面积的比例。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案

1.B

2.B

3.A

4.C

5.A

6.B

7.A

8.A

9.A

10.A

二、判断题答案

1.×

2.×

3.√

4.×

5.√

三、填空题答案

1.-1

2.$\frac{3}{\sqrt{5}}$

3.17

4.-3

5.2

四、简答题答案

1.二次函数的性质包括：开口方向（向上或向下）、顶点坐标（$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$）、对称轴（$x=-\frac{b}{2a}$）等。例如，函数$f(x)=x^2-4x+4$的图像是一个开口向上的抛物线，顶点为$(2,0)$，对称轴为$x=2$。

2.等差数列是指数列中任意相邻两项之差相等的数列，如$\{1,3,5,7,\ldots\}$。等比数列是指数列中任意相邻两项之比相等的数列，如$\{2,6,18,54,\ldots\}$。

3.判断函数单调性的方法：求出函数的导数，若导数恒大于0，则函数单调递增；若导数恒小于0，则函数单调递减。

4.向量积（叉积）的定义：对于两个非零向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$，它们的叉积$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$是一个垂直于$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的向量，其模长等于$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的模长乘积与它们夹角的正弦值的乘积。

5.求点到直线的距离公式：设点$P(x_0,y_0)$，直线方程为$Ax+By+C=0$，则点$P$到直线的距离$d$为$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。

五、计算题答案

1.$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2-4}}\cdot2x=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}$

2.方程组解为$x=2,y=1$。

3.$\lim_{x\to2}f(x)=\lim_{x\to2}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to2}(x+1)=3$

4.$\int_0^1(2x^2+3x+1)\,dx=\left[\frac{2}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+x\right]_0^1=\frac{2}{3}+\frac{3}{2}+1=\frac{13}{6}$

5.圆锥体积$V=\frac{1}{3}\pir^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot3^2\cdot4=12\pi$立方厘米。

六、案例分析题答案

1.学生数学水平整体情况较好，70分以下和90分以上的学生比例分别为约15.87%和约2.35%。选拔前10%的学生需要选拔约80名学生。

2.不合格产品概率为0.05，不合格率估计为5%。

知识点总结及各题型知识点详解：

-选择题：考察对基础概念和性质的理解，如函数、方程、不等式、向量等。

-判断题：考察对基础概念和性质的判断能