2025年外研版2024高三数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版2024高三数学上册阶段测试试卷508考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，为使方盒的容积最大，则x的值是（）A.B.C.D.2、已知向量，满足||=1，||=2，且（+）⊥，则向量与的夹角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°3、等比数列{an}中，a1=-2，a5=-8，则a3的值为（）A.±4B.4C.-4D.164、抛物线y2=ax（a≠0）的焦点到其准线的距离是（）

A.

B.

C.|a|

D.-

5、已知a，b∈R，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)6、已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意x∈R，满足f（x+4）-f（x）≤2x+3，f（x+20）-f（x）≥10x+95，且f（0）=0，则f（24）=____．7、函数f（x）=的定义域是____．8、设f（x）=，则f（-11）+f（-10）+f（-9）+f（10）+f（11）+f（12）=____．9、在平面几何中，可以得到正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的”，将此结论拓展到空间，类比上述平面几何的结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的____．10、已知集合集合则.11、设x，y∈R，若不等式组所表示的平面区域是一个锐角三角形，则a的取值范围是．评卷人得分三、判断题(共8题，共16分)12、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．13、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）14、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）15、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．16、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）17、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，则5∈A．____．18、任一集合必有两个或两个以上子集．____．19、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数____．评卷人得分四、简答题(共1题，共7分)20、如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，当E、F分别在线段AD、BC上，且AD=4，CB=6，AE=2，现将梯形ABCD沿EF折叠，使平面ABFE与平面EFCD垂直。1.判断直线AD与BC是否共面，并证明你的结论；2.当直线AC与平面EFCD所成角为多少时，二面角A—DC—E的大小是60°。评卷人得分五、证明题(共1题，共8分)21、定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0当x＞0，f（x）＞1且对于任意的a，b∈R有，f（a+b）=f（a）f（b），（1）证明：f（0）=1．（2）证明：对于任意的x∈R，恒有f（x）＞0．评卷人得分六、综合题(共2题，共4分)22、已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求数列{an}前n项和Sn．23、如图，已知抛物线C：x2=2py（p＞0）与圆O：x2+y2=8相交于A、B两点，且（O为坐标原点）；直线l与圆O相切，切点在劣弧AB（含A；B两点）上，且与抛物线C相交于M、N两点，d是M、N两点到抛物线C的焦点的距离之和．

（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）求d的最大值，并求d取得最大值时直线l的方程．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、D【分析】【分析】由于在边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面是正方形，且边长为a-2x，高为x，从而写出函数表达式；求导V′（x）=12x2-8ax+a2=（6x-a）（2x-a），由导数可得在x=时函数V（x）有最大值．【解析】【解答】解：由于在边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长为x的小正方形；做成一个无盖方盒；

所以无盖方盒的底面是正方形；且边长为a-2x，高为x；

则无盖方盒的容积V（x）=（a-2x）2x，0＜x＜；

即V（x）=（a-2x）2x=4x3-4ax2+a2x，0＜x＜；

V′（x）=12x2-8ax+a2=（6x-a）（2x-a）；

∴当x∈（0，）时；V′（x）＞0；

当x∈（，）时；V′（x）＜0；

故x=是函数V（x）的最大值点；

即当x=时；方盒的容积V最大．

故选：D．2、C【分析】【分析】由便得到，而根据已知，即可求得，求出cos，从而得到向量的夹角．【解析】【解答】解：由已知条件得；

∴；

∴向量与的夹角为120°．

故选C．3、C【分析】【分析】根据等比数列的性质可知a32=a1•a5，把a1及a5的值代入，再根据a3与a1，a5同号，开方即可求出a3的值．【解析】【解答】解：因为a1=-2，a5=-8；

所以a32=a1•a5=16，且a3与a1，a5同号；

所以a3=-4．

故选C4、B【分析】

根据抛物线方程可求得p=

∴焦点为（0），准线方程为x=-

或焦点为（-0），准线方程为x=

∴焦点到准线的距离为p=

故选B

【解析】【答案】先根据抛物线的标准方程求得P；则抛物线的焦点和准线方程可得，进而利用点到直线的距离求得答案．

5、A【分析】【解答】若又所以反之则不一定成立，比如但所以是充分条件，但不是必要条件.选A.二、填空题(共6题，共12分)6、略

【分析】【分析】先由题目中的两个不等式推导出f（x+4）-f（x+2）的值，然后再用累加法和等比数列求和公式即可求解【解析】【解答】解：∵f（x+4）-f（x）≤2x+3；

∴f（x+8）-f（x+4）≤2x+11；

f（x+12）-f（x+8）≤2x+19；

f（x+16）-f（x+12）≤2x+27；

f（x+20）-f（x+16）≤2x+35；

累加可得f（x+20）-f（x）≤10x+95；

又f（x+20）-f（x）≥10x+95；

f（x+20）-f（x）=10x+95；

因为不等式组相加；能取到上限，所以每个不等式都能取上限．

f（0）=0；可得f（4）=3．

f（24）-f（4）=40+95=135；

f（24）=138．

故答案为：138．7、略

【分析】【分析】根据函数成立的条件，即可得到结论．【解析】【解答】解：要使函数f（x）有意义，则；

即；

解得x≤1且x≠0；

故函数的定义域为（-∞；0）∪（0，1]；

故答案为：（-∞，0）∪（0，1]8、略

【分析】【分析】根据条件证明f（x）+f（1-x）为定值，即可得到结论．【解析】【解答】解：∵f（x）=；

∴f（x）+f（1-x）=+=+=；

∴f（x）+f（1-x）=；

∴f（-11）+f（-10）+f（-9）+f（10）+f（11）+f（12）=3[f（-9）+f（10）]=3×；

故答案为：9、【分析】【分析】平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的，证明时连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为r的三棱锥，正四面体的体积，就是四个三棱锥的体积的和，求解即可．【解析】【解答】解：从平面图形类比空间图形；从二维类比三维；

可得如下结论：正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的．

证明如下：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r；连接球心与正四面体的四个顶点．

把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4×S•r=•S•h，r=h．

（其中S为正四面体一个面的面积；h为正四面体的高）

故答案为：．10、略

【分析】试题分析：考点：集合的交集运算【解析】【答案】或11、略

【分析】试题分析：由原不等式组所表示的平面区域如图所示，直线恒过点若所表示的平面区域是一个锐角三角形，则直线的边界是和直线分别垂直，则有所以a的取值范围是考点：线性规划.【解析】【答案】三、判断题(共8题，共16分)12、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．13、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×14、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√15、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．16、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√17、×【分析】【分析】判断5与集合A的关系即可．【解析】【解答】解：由3k-2=5得，3k=7，解得k=；

所以5∉Z；所以5∈A错误．

故答案为：×18、×【分析】【分析】特殊集合∅只有一个子集，故任一集合必有两个或两个以上子集错误．【解析】【解答】解：∅表示不含任何元素；∅只有本身一个子集，故错误．

故答案为：×．19、√【分析】【分析】根据奇函数的定义即可作出判断．【解析】【解答】解：当b=0时；f（x）=（2k+1）x；

定义域为R关于原点对称；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函数f（x）为R上的奇函数．

故答案为：√．四、简答题(共1题，共7分)20、略

【分析】

1.是异面直线，（1分）法一（反证法）假设共面为．．又．这与为梯形矛盾．故假设不成立．即是异面直线．（5分）法二：在取一点M，使又是平行四边形．则确定平面与是异面直线．2.法一:延长相交于N，AE=2，AD=4，BC=6，设则△NDE中，平面平面平面．过E作于H，连结AH，则．是二面角的平面角，则．（8分）此时在△EFC中，．（10分）又平面是直线与平面所成的角,．（12分）即当直线与平面所成角为时，二面角的大小为法二：面面平面．又．故可以以E为原点，为x轴，为轴，为Z轴建立空间直角坐标系，可求设．则得平面的法向量则有可取．平面的法向量．．（8分）此时，．设与平面所成角为则．即当直线AC与平面EFCD所成角的大小为时，二面角的大小为．（12分）【解析】略【解析】【答案】五、证明题(共1题，共8分)21、略

【分析】【分析】（1）令f（a+b）=f（a）f（b）式中a=b=0；根据f（0）≠0，可求出f（0）的值；

（2）由于当x＞0时，f（x）＞1，当x=0时，f（0）=1，当x＜0时，-x＞0，f（0）=f（x）•f（-x），利用互为倒数可知，结论成立．【解析】【解答】证明：（1）因为f（a+b）=f（a）f（b）；

令式中a=b=0得：f（0）=f（0）f（0）；因f（0）≠0；

所以等式两同时消去f（0）；得：f（0）=1．

（2）证明：当x＞0时；f（x）＞1，当x=0时，f（0）=1，所以只需证明当x＜0时，f（x）＞0即可．

当x＜0时；-x＞0，f（0）=f（x）•f（-x），因为f（-x）＞1，所以0＜f（x）＜1；

故对任意的x∈R，恒有f（x）＞0．六、综合题(共2题，共4分)22、略

【分析】【分析】（1）an+1=2an+1，知an+1+1=2（an+1），所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，由此能求出数列{an}的通项公式．

（2）由-1，知数列{an}前n项和Sn=（2-1）+（22-1）+（23-1）++（2n-1），由此能求出Sn．【解析】【解答】解：（1）∵an+1=2an+1；

∴an+1+1=2（an+1）；

所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项；以2为公比的等比数列；

∴；

即-1．

（2）∵-1；

∴数列{an}前n项和Sn=a1+a2+a3++an

=（2-1）+（22-1）+（23-1）++（2n-1）

=（2+22+23++2n）-n

=-n

=2n+1-n-2．23、略

【分析】【分析】（Ⅰ）设A（x1，y1）（x1＜0），由抛物线C和圆O关于y轴对称，知点B的坐标为（-x1，y1）．由，知-x12+y12=0．由点A在抛物线C上，知x12=2py1．由此能求出p．

（Ⅱ）解法1：设直线l的方程为：y=kx+b，由l是圆O的切线，知，得到l的方程为：．联立；能求出直线l的方程．

解法2：设直线l与圆O相切的切点坐标为（x0，y0），则切线l的方程为x0x+y0y=8．由，得y02y2-（16y0+2x02）y+64=0．设M（xM，yM），N（xN，yN），则．由此能求出直线l的方程．【解析】【解答】解：（Ⅰ）设点A的坐标为（x1，y1）（x1＜0）；

由于抛物线C和圆O关于y轴对称，故点B的坐标为（-x1，y1）．

∵；

∴x1•（-x1）+y12=0；

即-x12