2024年华东师大版高三数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年华东师大版高三数学下册阶段测试试卷912考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（）A.与-λ的方向相反B.|-λ|≥||C.与λ2的方向相同D.|-λ|=|λ|2、设x，y∈R，向量=（x，1）=（1，y），=（2，-4）且⊥，∥，则x+y=（）A.0B.1C.2D.-23、直线与圆x2+y2=4相交所得的弦的长为（）A.B.C.D.4、已知：O是△ABC所在平面上的一点且满足：，则点O在（）A.AB边上B.AC边上C.BC边上D.△ABC内心5、已知集合集合且则满足的实数a可以取的一个值是()A.0B.1C.2D.36、已知数列满足：当且仅当时最小，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.7、已知双曲线F1是左焦点，O是坐标原点，若双曲线上存在点P，使则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．（1，3）D．8、设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A.2B.-2C.1+iD.1﹣i9、设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=的图像上存在区域D上的点，则a的取值范围是（）A.(1,3]B.[2,3]C.(1,2]D.[3,)评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)10、如果3x-2（x-1）＜2-x，那么|x-1|-（1-x）的值是____．11、在等腰直角三角形ABC中，点B为直角顶点，点E，F在边BC上（E在F的左侧），且AB=3，EF=1，tan∠EAF=，则线段BE长为____．12、若，对于任意实数a和b，a+b＜0是f（a）+f（b）＜0的____．13、对于函数有如下三个命题：①是偶函数；②在区间上是减函数，在区间上是增函数；③在区间上是增函数．其中正确命题的序号是____．（将你认为正确的命题序号都填上）14、【题文】已知函数处取到极大值则a的取值范围是____.评卷人得分三、判断题(共7题，共14分)15、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．16、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）17、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）18、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，则5∈A．____．19、空集没有子集．____．20、任一集合必有两个或两个以上子集．____．21、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数____．评卷人得分四、解答题(共4题，共20分)22、已知f（x）=，试判断f（x）在[1，+∞）上的单调性，并证明．23、已知函数f（x）=

（1）若tanx=-2；求f（x）的值。

（2）求函数y=cotx[f（x）]的定义域和值域．

24、已知函数f（x）=2x+alnx．

（1）若a＜0证明：对于任意的两个正数x1，x2，总有≥f（）成立；

（2）若对任意的x∈[1，e]，不等式：f（x）≤（a+3）x-x2恒成立；求a的取值范围．

25、某综艺节目为增强娱乐性；要求现场嘉宾与其场外好友连线互动．凡是拒绝表演节目的好友均无连线好友的机会；凡是选择表演节目的好友均需连线未参加过此活动的3个好友参与此活动，以此下去．

（Ⅰ）假设每个人选择表演与否是等可能的；且互不影响，则某人选择表演后，其连线的3个好友中不少于2个好友选择表演节目的概率是多少？

（Ⅱ）为调查“选择表演者”与其性别是否有关；采取随机抽样得到如表：

。选择表演拒绝表演合计男501060女101020合计602080①根据表中数据；是否有99%的把握认为“表演节目”与好友的性别有关？

②将此样本的频率视为总体的概率；随机调查3名男性好友，设X为3个人中选择表演的人数，求X的分布列和期望．

附：K2=

。P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635评卷人得分五、综合题(共3题，共24分)26、如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心；

（1）试证：A1；G，C三点共线。

（2）试证：A1C⊥平面BC1D

（3）求点C到平面BC1D的距离．27、某公司使用水下探测器寻找坠落于海底P处且不断发出电子信号的一个物件．工程师建立的坐标系如下：取原点为工作母船位置，x轴为海平面，y轴为垂直向上方向，单位长度为一百米．探测器在水下沿一条直线完成了一次探测任务，工程师分析数据后发现：探测器在B（8，-5）处收到的坠落物电子信号最强，又在A（5，-4）处探测器到坠落物的距离恰为探测器到母船距离的2倍．求该坠落物P的位置坐标．28、某种商品每件进价12元，售价20元，每天可卖出48件．若售价降低，销售量可以增加，且售价降低x（0≤x≤8）元时，每天多卖出的件数与x2+x成正比．已知商品售价降低3元时；一天可多卖出36件．

（1）试将该商品一天的销售利润表示成x的函数；

（2）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】【分析】讨论λ＞0或λ＜0时，与-λ的方向问题；判断A错误；

讨论|λ|≥1或|λ|＜1时，|-λ|与||的大小；判断B错误；

由|-λ|是实数，|λ|是向量，从而判断D错误．【解析】【解答】解：对于A，λ＞0时，与-λ的方向相反，λ＜0时，与-λ的方向相同；∴选项A错误；

对于B，|λ|≥1时，|-λ|≥||，|λ|＜1时，|-λ|＜||；∴选项B错误；

对于C，∵λ≠0，∴与λ2的方向相同；选项C正确；

对于D，|-λ|是实数，|λ|是向量；二者不相等，∴选项D错误．

故选：C．2、A【分析】【分析】利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理即可得出．【解析】【解答】解：∵⊥，∥；

∴2x-4=0；2y+4=0；

解得x=2；y=-2．

∴x+y=0．

故选：A．3、B【分析】【分析】利用弦长公式|AB|=2即可得出．【解析】【解答】解：假设直线与圆x2+y2=4相交所得的弦为AB．

圆心到直线的距离d==1；

∴弦长|AB|=2=2．

故选：B．4、C【分析】【分析】先对条件进行化简整理可得sinA=-sinB，根据共线定理可知与共线，即点O在BC边上从而得到结论．【解析】【解答】解：∵；

∴（sinA+sinB）+sinA+sinB=

即sinA+sinB=

sinA=-sinB

∴与共线；即点O在BC边上

故选C．5、A【分析】试题分析：a=3时，B＝{－2，－1，0,1，2}，符合AB．考点：真子集的定义.【解析】【答案】A6、D【分析】【解析】试题分析：由得累加得∵∴设f(n)=an=n2-2an+a2-1，该函数开口向上，对称轴方程为n=a，∵n∈N*，∴当时，f（n）=an最小．故选C．考点：本题考查了数列通项公式的求法及函数的最值【解析】【答案】D7、D【分析】【解析】【答案】D8、A【分析】【解答】复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i；

所以z2=1﹣i；

∴z1z2=（1+i）（1﹣i）=2．

故选：A．

【分析】利用复数的对称关系，求出复数z2，然后求解z1z2即可。9、A【分析】【解答】先由线性约束条件作出可行域，观察图形可知当指数函数为增函数时可能过区域D，当底数越大在第一象限内越靠近y轴，所以当指数函数过与交点时，底数取最大值，交点代入得

【分析】指数函数当时，底数越大，图像在第一象限的部分越靠近于y轴二、填空题(共5题，共10分)10、略

【分析】【分析】利用不等式求出x的范围，然后求解表达式的值．【解析】【解答】解：3x-2（x-1）＜2-x；

可得x＜0；

那么|x-1|-（1-x）=1-x-1+x=0．

故答案为：0．11、略

【分析】【分析】设BE=x，则tan∠BAE=，使用两角和的正切公式计算tan∠BAF，又tan∠BAF=，列出方程解出x．【解析】【解答】解：设BE=x；则BF=BE+EF=x+1．

则tan∠BAE==

∴tan∠BAF=tan（∠BAE+∠EAF）===．

∵tan∠BAF==；

∴=．

解得x=．

故答案为：．12、略

【分析】【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性即可得到结论．【解析】【解答】解：显然；函数f（x）在R上是递增函数；

f（-x）=-x+ln（-x+）=-x+ln（x+）-1═-x-ln（x+）=-（x+ln（x+）=-f（x）；

则f（x）是奇函数，于是，由a+b＜0，得a＜-b，有f（a）＜f（-b）=-f（b）；

即f（a）+f（b）＜0．反过来；也成立．

故a+b＜0是f（a）+f（b）＜0的充要条件；

故答案为：充要条件13、略

【分析】函数和的图像如图所示，由图像可知①②正确；函数由复合函数的单调性法则，可知函数在区间上是减函数。所以③错。【解析】【答案】①②14、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】(-1,0)三、判断题(共7题，共14分)15、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．16、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×17、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√18、×【分析】【分析】判断5与集合A的关系即可．【解析】【解答】解：由3k-2=5得，3k=7，解得k=；

所以5∉Z；所以5∈A错误．

故答案为：×19、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；则原命题错误；

故答案为：×．20、×【分析】【分析】特殊集合∅只有一个子集，故任一集合必有两个或两个以上子集错误．【解析】【解答】解：∅表示不含任何元素；∅只有本身一个子集，故错误．

故答案为：×．21、√【分析】【分析】根据奇函数的定义即可作出判断．【解析】【解答】解：当b=0时；f（x）=（2k+1）x；

定义域为R关于原点对称；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函数f（x）为R上的奇函数．

故答案为：√．四、解答题(共4题，共20分)22、略

【分析】【分析】运用单调性的定义判断得出：f（x1）-f（x2）==，运用定义判断符号，就可以得出f（x1）＜f（x2），利用单调性的定义判断即可．【解析】【解答】证明：设x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2．

f（x1）-f（x2）==

∵x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2．

∴x1-x2＜0，x1+x2＞0，≥0，＞0；

∴f（x1）-f（x2）＜0；

即f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在[1，+∞）上的单调递增．23、略

【分析】

（1）f（x）===

∴f（x）=tan2x-2tanx+1

∵tanx=-2；

∴f（x）=（-2）2-2×（-2）+1=9；

（2）y=cotx[f（x）]=cotx（tan2x-2tanx+1）=tanx+cotx-2

∵要使tanx、cotx有意义，须满足x≠+kπ且x≠kπ；k∈Z

∴函数y=cotx[f（x）]的定义域为{x|x≠k∈Z}

∵|tanx+cotx|≥2=2

∴tanx+cotx≥2或tanx+cotx≤-2

由此可得y=tanx+cotx-2的取值范围为（-∞；-4]∪[0，+∞）

综上所述，函数y=cotx[f（x）]的定义域是{x|x≠k∈Z}，值域为（-∞，-4]∪[0，+∞）．

【解析】【答案】（1）利用诱导公式、二倍角公式和同角三角函数的基本关系，将f（x）化简可得f（x）=tan2x-2tanx+1；代入tanx=-2即可得到f（x）的值；

（2）利用同角三角函数的基本关系；化简得y=cotx[f（x）]=tanx+cotx-2，根据正切；余切函数的定义域，算出x的取值范围，即得函数的定义域；最后根据基本不等式求最值，可得函数的值域．

24、略

【分析】

（1）由：

而：

又因为：a＜0，所以：即：成立．

（2）由恒成立，即只要：成立；

又x∈[1，e]，易知x-lnx＞0

令（x∈[1，e]）

令：h（x）min=h（2）=2-ln2＞0；∴g′（x）＞0

所以：g（x）在x∈[1，e]上为增函数．

即：

【解析】【答案】（1）将与f（）进行作差与0进行比较；利用均值不等式以及对数函数的性质可判定符号；

（2）由恒成立，转化成只要：成立；根据自变量的范围将a分离出来，利用导数研究不等式另一侧函数在闭区间上的最小值即可．

25、略

【分析】

（Ⅰ）利用列举法；确定基本事件的个数，即可求出概率；

（Ⅱ）①根据2×2列联表，得到K2=≈8.9＞6.635；即可得出结论；

②由题意，每名男性选择表演的概率为则X～B（3，）；可得X的分布列和期望．

本题考查概率的计算，考查X的分布列和期望，考查独立性检验知识的运用，属于中档题．【解析】解：（Ⅰ）这3位好友选择表演分别记为A，B，C，则分别表示这3位好友拒绝表演．这3位好友参与该活动的可能结果为{A，B，C}，{B，C}，{A，C}，{A，B，}，{C}，{A，}，{B，}，{}共有8种．其中3位好友不少于3位好友选择表演的可能结果有4种．根据古典概型公式，所求概率为P==

（Ⅱ）①根据2×2列联表，得到K2=≈8.9＞6.635；所以有99%的把握认为“表演节目”与好友的性别有关．

②由题意，每名男性选择表演的概率为则X～B（3，）；

所以随机变量X的概率分布列为：

。X0123P故随机变量X的期望为EX=3×=．五、综合题(共3题，共24分)26、略

【分析】【分析】（1）利用向量法，证明∥，利用与有公共点C，可得A1；G、C三点共线；

（2）利用向量法，证明CA1⊥BC1，CA1⊥BD，即可证明A1C⊥平面BC1D；

（3）||=a，因此||=a，即可求出点C到平面BC1D的距离．【解析】【解答】（1）证明：=；

∴=（）=；

∴∥；

∵与有公共点C；

∴A1；G、C三点共线．

（2）证明：设=，=，=；

则||=||=||=a，且•=•=•=0；

∵=++，=-；