初中数学知识点归纳

第一章《有理数》总复习

一、基本概念

1、正数和负数

①表示大小

②在实际中表示意义相反的量

③带“-”号的数并不都是负数

1.正数、负数和零的概念

正数负数

0叫做零，0既不

象1、2.5、4、

1是正数也不是负

48等大于零的数象T、-2.5,3,数

叫正数-48等小于零的数

叫负数

1.对于正数和负数的概念，不能简洁的理解为：带号的数是正数，带“一”号的数是负

数。

2.引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大为整数，整数也可

以分为奇数和偶数两类，能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数，

3.到现在为止，我们学过的数细分有五类：正整数、正分数、0、负整数、负分数，但探讨问

题时，通常把有理数分为三类：正数、0、负数，进行探讨。

4.通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数；负整数

和。统称为非正整数。

分数和小数的区分:

分数（既约分数）都可表示成小数，但不是全部的小数都能表示成分数的。如圆周率不就不

能表示成分数。

5.数0既不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界。0的意义已不仅是表示“没有”.

2、数轴f

原点

①三要用正方向

单位长度

应用

定义二要素

数形结合

规定了原原点帮助理解有理数的

比较有理数大

点、正方概念，每个有理数

小，数轴上右

向、单位长正方向都可用数轴上的点

边的数总比左

度的直线表示，但数轴上的

边的数要大

叫数轴单位长度点并非都是有理数

1.数轴的概念

（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

这里包含两个内容：一是数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不行.二是

这三个要素都是规定的.

（2）数轴能形象地表示数，全部的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的

数并不都是有理数.

2.数轴的画法

（1）画直线（一般画成水平的）、定原点，标出原点“0”.

（2）取原点向右方向为正方向，并标出箭头.

（3）选适当的长度作为单位长度，各点。

（4）标注数字时，负数的次序不能写错，

3.用数轴比较有理数的大小

（1）在数轴上表示的两数，右边的数总比左边的数大。

（2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0,负数都小于0,正数大于一切负

数。

（3）比较大小时，用不等号顺次连接三个数。

正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数.

因为正数都大于0,反过来，大于。的数都是正数，所以，我们可以用4>0,表示。是正

数；反之，知道。是正数也可以表示为。>0O

同理，4<0,表示。是负数；反之。是负数也可以表示为4<0o

3.正数轴常见几种错误

1）没有方向

-3-2-10123

2）没有原点

-3-2-1123

3）单位长度不统一

742-10123

②数轴上的点和有理数

3、相反数

①只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，0的相反数是0

②a的相反数

③a和b互为相反数0

相反数的意义

（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数

（2）从数轴上看，位于原点两旁，旦和原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。

（3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。

（4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。

相反数的表示

在一个数的前面添上“一”号就成为原数的相反数。若。表示一个有理数，则。的相反数表

示为一no在一个数的前面添上“+”号仍和原数相联系同。例如，+7=7,特殊地，+0=0,-

0=0o

相反数的特性

若db互为相反数，则=0,反之若4+6=0,则db互为相反数。相反数是它

本身的数是0

4.多重符号化简

(1)相反数的意义是筒化多重符号的依据。如一(T)是一1的相反数，而一1的相反数为

+1,所以o

(2)多重符号化简的结果是由“一”号的个数确定的。假如“一”号是奇数个，则结果为

负；假如是偶然数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。

化简一个数就是把多重符号化成单一符号，若结果是“+”号，一般省略不写。

5、确定值

①一般地，数轴上表示数a的点和原点距离，表示成|a|。

a(a20)

②Ia|二

(aWO)

1.确定值的代数定义

一个正数的确定值是它本身：一个仇数的确定值是它的相反数：零的确定值是零.

2.确定值的几何定义

在数轴上表示一个数的点离开原点的距离，叫做这个数的确定值.

3.确定值的主要性质

(a；

⑴代数定义表达式：lal=(a<0)

(2)一个实数的确定值是一个非负数，即20,因此，在实数范围内，确定值最小的数是零.

⑶任何实数都有理一绝对值,并且任何一个买数都不大于它的绝时值，即K同.

(4)两个相反数的确定值相等.

运用确定值比较有理数的大小

1.两个负数大小的比较，因为两个负数在数轴上的位置关系是：确定值较大的负数确定在

确定值较小的负数左边，所以，两个负数，确定值大的反而小.

比较两个负数的方法步骤是：

(1)先分别求出两个负数的确定值；

(2)比较这两个确定值的大小；

(3)依据“两个负数，确定值大的反而小”作出正确的推断.

2.两个正数大小的比较，和小学学习的方法一样，确定值大的较大.

6、倒数：

学问结构

①乘积是1的两个数叫作互为倒数。即：则互为倒数。

②a的倒数是,(aWO)

a

③a和b互为倒数1

关于倒数的求法要留意：

(1)求分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可.

(2)正数的倒数是正数，负数的倒数仍是负数.

(3)负倒数的定义：乘积是一1的两个数互为负倒数.

(4)0没有倒数

①倒数是它本身的数是±1②确定值是它本身的数是非负数

③平方等于它本身的数是0，1④立方等于经本身的数是±1,0

数轴上表示相反数的两个点和原点的关系：关于原点对称

7、乘方

1.求外个相同因数的积的运算，叫做乘方.

«一］:I--指数

底数

乘方的结果叫做幕，相同的因数叫做底数，相同的因数的个数叫做指数.一般地，在中,

。取随意有理数，考取正整数.

留意：乘方是一种运算，第是乘方运算的结果.1看作是。的理次方的结果时，也可读作。的

k次累.

(1)当a>0时，，(片为正整数)；

(2)当

（3）当。・0时，（%为正整数）；

（4）户・（"）"（勿为正整数）；

/I，-。”"（勿为正整数）；

20（月为正整数，a为有理数）.

①乘方和暴的区分.

②（-°y和一。■的区:分.

乘方符号法则

负数的积次赛是负数，负数的偶次第是正数，正数的任何次嘉都是正数，0的任何正整数次幕

都是0

8、科学记数法

①把一个确定值大于10的数表示成aXIOn（其中IaIV10,n为正整数）

②指数n和原数的整数位数之间的关系。

9、近似数和有效数字

①精确数、近似数、精确度

.精确到万位

②精确图精确到0.001

保留三个有效数字

③近似数的最终一位是什么位，这个数就精确到哪位。

④有效数字

⑤如何求较大数的近似数，有两种方法，一种用单位，一种用科学记数法

10、有效数字：一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位，这时，

从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，全部的数字，都叫做这个数的有效数字.

明确近似数的有效数字需留意的两点：一是从左边第一个不是零的数起；二是从左边第一个不

是零的数起，到精确的位数止，全部的数字，

假如是整数有效数字是构成整数的个数

假如是小数，有效数字是这个小数从左边的第一个非0的数字数起到未位为止

二、有理数的分类

1、按整数和分数分

■正整数

（整数0

负整数

有理或

正分数

分数.

负分数

2、按正负分

正整数

正有理率

正分数

有理数0

［负整数

负有理收

负分数

三、有理数的运算

学问结构

1有理数加法法则：

（1）同号两数相加，取相同符号，并把确定值相加.

（2）确定值不相等的异号两数相加，取确定值较大的加数的符号，并用较大的确定值减去较小

的确定值，互为相反数的两个数相加得0.

（3）一个数同0相加，仍得这个数

假如是同号相加，取相同的符号，并把确定值相加。假如是异号两数相加，应先判别确定值的

人小关系，假如确定值相等，则和为0;假如确定值不相等，则和的符号取确定值较人的加数的

符号，和的确定值就是较大的确定值和较小的确定值的差。一个数和0相加，仍得这个数。

加法交换律：

加法结合律：（）（）

2有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.a一（—6）

引入相反数后，加减混合运算匕以统一为加法运算

—0

学问结构

加《法我一成加总就式

加液过合运苴

加法运直阚应用

学问结构

3有理数乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把确定值相乘

任何数同0相乘，都得0.

方法规律

先确定积的符号，再把各个乘数的确定值相乘，作为积的确定值

1.有理数乘法法则，事实上是一种规定。行程问题是为了了解这种规定的合理性。

2.两数相乘时，确定符号的依据是“同号得正，异号得负”.确定值相乘也就是小学学过

的算术乘法.

3.基础较差的同学，要留意乘法求积的符号法则和加法求和的符号法则的区分。

4.几个数相乘，假如有一个因数为0,那么积就等于0.反之，假如积为0,那么，至少有

一个因数为0.

5.小学学过的乘法交换律、结合律、安排律对有理数乘法仍适用，需留意的是这里的字母

a、b、c既可以是正有理数、0,也可以是负有理数。

6.假如因数是带分数，一般要将它化为假分数，以便于约分。

乘法交换律：

乘法结合律：()()

安排律：a()

4有理数除法法则：1除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.

2两数相除，同号得十，异号得一，并把确定值相加。0除以任何一个不等于0的

数，都得0.

有理数除法有两种法则。

法则1：除以一个数等于乘以这个数的倒数。是把除法转化为乘法来解决问题。

法则2是把有理数除法纳入有理数运算的统一程序：一确定符号；二计算确定值。

5乘方符号法则：负数的积次嘉是负数，负数的偶次嘉是正数，正数的任何次累都是正数，0的

任何正整数次幕都是0

五种运算：

运算：力口、减、乘、除、乘方；

运算结果：和、差、积、商、塞;

混合运算依次：

①三级（乘方）二级（乘除）一级（加减）;

②同一级运算应从左到右进行；

③有括号的先做括号内的运算；

④能简便运算的应尽量简便。

其次章《一元一次方程》总复习

一、主要概念

1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程。

一元一次方程具有以下几个特点：1、必需是等式的形式；2、只含一个未知数；3、未知数的次

数是1次；4、分母中不含未知数.因此只有同时满意以上四个特点的等式叫一元一次方程.

3、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

4、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。

二、等式的性质

等式的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

这两个分别是移项和去分母的依据.

三、解一元一次方程的一般步骤及依据

1、去分母等式的性质2

2、去括号安排律

3、移项等式的性质1

4、合并安排律

5、系数化为1等式的性质2

6、验根把根分别代入方程的左右边看求得的值是否相等

四、解一元一次方程的留意事项

1、分母是小数时，依据分数的基本性质，把分母转化为整数；

2、去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相

当于括号，去分母后分子各项应加括号；

3、去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；

4、移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；

5、系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号；

6、不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。

7要留意所求得的解是否为原方程的解.即解完方程后，应将所求得的解分别代入方程的左右

两边，假如左边=右边，说明月二求的解是原方程的解；假如左边W右边，说明求解过程有错误,

应细致检查看是哪一步计算出了错.这一步可以不写在书面上，但是不行疏漏.

五、列方程解应用题的一般步骤

1、审题

2、设未数

3、找相等关系

4、列方程

5、解方程

6、检验

7、写出答案

等式•方程•方程的解

1.等式和方程的区分

表示相等关系的式子叫做等式.含有未知数的等式叫做方程，可见方程必需具备两个条件：

一是必需含有未知数，二是必需是一个等式.

2.等式性质的应用

应用等式的性质对等式进行变形时，必需留意：（1）强调一个“都”字.性质1告知我们，

等式两边都加上（或减去）同•个数，所得的结果仍旧是等式；性质2也有个“都”字，要求

对等式进行变形的方式要保持对等，也就是说，变形必需两边同时进行.

3.方程的解和解方程

方程是一个有待于探讨的等式，即探讨这个等式中的未知数取什么确定数值时等式才成

立.解方程的任务就是“确定使方程左右两边相等的未知数所取的数值”，我们把这个值叫做方

程的解（一元方程的解又叫做“狼”）.这样的值可能有一个或多个，也可能没有，所以方程可

能有一解、多解，也可能无解.如35=43的解只有一个x=-8,方程27=5（37）的解就有多数

个，而方程23=22则无解.求方程的解或判定方程无解的过程叫做解方程.利用等式的性质，

通过确定的变形，就可以求出方程的解.

4.方程解的检验方法

要检验一个数是不是方程的解，其方法是：将这个数代入方程的左边和右边，计算其左、右

两边的值，假如左、右两边的值相等，那么这个数就是方程的解；假如左、右两边的值不等，

那么这个数就不是方程的解.

第三章《图形初步相识》总复习

(一)多姿多彩的图形

一、常见的立体图形

(1)柱体：

①棱柱：有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且每两个相邻的四边形的公共边相互平

行，由这些面围成的几何体叫棱柱。如三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

②圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边围绕它旋转形成的曲面所围成的几何体

叫做圆柱

（2）锥体：

①棱锥:：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体

叫棱锥。如三棱锥、四棱锥、五棱锥等。

②圆锥：以直角三角形一边所在的直线为旋转轴，其余各边围绕它旋转形成的曲面所围成的几

何体叫做圆锥。

（3）球体：

半圆以它的直径为旋转轴，旋转而成的曲面所围成的几何体叫做球体。

（4）多面体：

围成棱柱和棱锥的面是平的面，像这样的立体图形叫做多面体。

如图：下列图形分别为：棱柱（长方体）、棱锥（三棱锥）、圆柱、球体、圆柱。

温馨提示：空间想象实力的培育必需以日常视察为基础，从不同的方向看立体图形关键是要分

清晰物体各部分上下左右的关系。

二、平面图形：

立体图形是由平面图形所围成的，因此探讨立体图形往往要从平面图行起先。

圆是由曲线围成的封闭图形，由线段围成的封闭图形叫做多边形，它具有两个基本性质：①由

线段围成，②是一个封闭的图形。按边数多边形可以分为：三角形、四边形、五边形等。

在多边形中三角形是最基本的图形，任何一个多边形都可以分割为若干个三角形，特殊是从〃

边形的一个顶点动身，可以将它分为（〃一2）三角形。

三、立体图形的画法一一三视图法

①视图的概念：

从正面、上面、左面三个方向看一物体，然后描绘出三张所看到的图即视图，这样就把立体图

形转化为了平面图形。

②正视图、俯视图、左视图的概念：

从正面看到的图形称为正视图；

从上面看到的图形称为俯视图；

从左而看到的图形称为左视图。

③视图和立体图形的联系：

由立体图形可以画出该物体的三视图，反之，由立体图形的三视图可以说出立体图形的形态。

四、立体图形的绽开图：

（1）圆柱和圆锥的绽开图：

圆柱的侧面绽开是一个长方形，这个长方形的长和宽分别为圆柱的高和底面周长，圆锥绽开是

一个扇形。

（2）棱柱和棱锥的绽开图：

棱柱和棱锥都是由平面围成的多面体，沿它们的某些棱剪开，所得到的平面图形就是它们的平

面绽开图，对于同一个立体图形当我们按不同的方式绽开式，得到的平面图形是不同的。

（3）依据绽开图推断立体图形的规律：

①绽开图全是长方形或正方形时，应考虑长方体或正方体；

②绽开图中有圆和长方形时一般是圆柱；

③绽开图中有扇形时应考虑是圆锥；

④绽开图中有三角形时应考虑棱锥或棱柱，当绽开图中有两个三角形和3个长方形应为三棱柱,

假如全是三角形（4个）时应为三棱锥。

多姿多彩的图形导学

一、立体图形

我们生活在立体三维世界中，随时随地看到和接触到的物体都是立体的.有些物体，像石

头、植物等呈现出极不规则的奇形怪状.同时也有很多物体有较为规则的形态.我们探讨的是

一些具有较为规则形态的物体.如柱体、锥体、球体等.

1.常见的立体图形

日常生活中，我们常见这几种立体图形：圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球.

说明：I.长方体和正方体都属于棱柱，因为它们比较常见，为大家所熟识，所以在此单

独列出.

II.棱柱分为直棱柱和斜棱柱.

（1）柱体

①圆柱：底面是圆，侧而是曲而（如图）.

（2）锥体

①圆锥：底面是圆，侧面是曲面（如图）.

②棱锥：底面是多边形，侧面是三角形.棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥等（如图）.

（3）球体：封闭曲面组成的图形.

（4）多面体：围成立体图形的面都是平的面，像这样的立体图形又称为多面体.

2.棱柱和圆柱的区分及联系

棱柱和圆柱有相同之处，又有很多差别，如何正确区分它们呢？

顶点棱侧面底面形状相同点

棱

有有平面多边形

柱

都有两个完全相同且互相平行的底面

圆

无无曲面圆

柱

3.圆柱和圆锥的区分及联系

圆柱和圆锥能比较简洁地区分开来，那么它们之间有什么相同或不同之处呢?

顶点底面个数高的条数相同点

圆柱无2无数条1.侧面都是曲面

圆锥有11条2.底面都是圆

二、平面图形

日常生活中，我们还会遇到很多平面图形（）.长方形、正方形、三角形、圆等都是一些

我们特别熟识的平面图形.生活中常常遇到一些由简洁的平面图形组合成的美丽图案.

三、视图

“横看成岭侧成峰，远近凹凸各不同.不识庐山真面目，只缘身在此山中.”这是宋代诗

人苏轼的《题西林壁》.这首诗说的是：从前面看，觉得庐山是一座又开阔又高大的山岭；从

侧面看，又觉得庐山是一座险峻陡峭的高峰；再从远处和近处，从懒再4处看庐山,总觉得

它千姿百态，变更无穷.我实在说不出究竟什么才是庐山也真面目，向缶矗邀在庐山中呀.

这首诗正是诗人从不同方向视察同一物体看到了不同的景观赢桌上曲我巾也学着用诗

人的眼光去从不同方向视察同一物体.

从正面看

1.三视图

主视图：从正面看到的图，

左视图：从左面看到的图，

俯视图：从上面看到的图.

下面我们看几个由小正方体搭建成的图如下图所示:

当我们从正面看就得到主视图；从左面看就得到左视图；从上面看就得到俯视图.（如下图

所示）

主视图左视图俯视图

四、立体图形的平面绽开图

很多立体图形是由一些平面图形围城的，将它们适当地剪开，就可以绽开成平面图形.这

就是我们以下要探讨的立体图形的平面绽开图（）.我们以正方体为例进行探讨.

将正方体展成一个平面图形，是指正方形的六个面绽开后所成的六个正方形中的每一个至

少有一条边和其他的正方形的某条边重合即相连.

那么，具体应当怎样操作呢？

我们都知道，正方体有6个面，12条棱，假如把它展成平面图形，6个正方形中的每一个

正方形至少有一边和其他正方形相连.因此，我们从它的上底面入手，先将上底面中的四条棱

中剪开三条，然后沿着和连着的棱有公共点的侧棱顺次剪下去，到达下底面，然后再将下底面

的四条棱中剪开三条，便可得到正方体的平面绽开图.

如图，我们给正方体的12条棱进行编号.

假如沿着棱②一③一④-*⑤f⑫一⑪一⑩剪开，我们就得到绽开图（1）：

假如沿着②f③f④f⑤一⑨f⑩f⑪绽开，就得到绽开图（2）；

假如沿着②一③一④一⑤一⑫一⑨一⑩绽开就得到图（3）

假如沿着②一③一④一⑤一⑫一⑪一⑨绽开，就可得到图（4）.

•3)(4)

绽开的方法很多，刚才的绽开图，都是沿着和边④有公共点的边⑤剪开的，假如沿着和边

④也有公共点的边⑥剪开后，和以上四种绽开图差不多.

假如沿⑥接着剪开，正方体的平面绽开图经过旋转，平移等都可以得到以上四种绽开图，

因此，我们在此不考虑由于旋转等造成的相对位置不同，将这种绽开方式归于前面一类.

同样将上底面的②一③一④这三条棱绽开，但接下来不沿着和①有公共点的棱⑤剪，而是

沿着和①无公共点的侧棱⑦或⑧接着剪至下底面的三条棱，便可得到如下两个平面绽开图（图

（5）、图（6））

(5)

我们可以视察以上六个立方体的平面绽开图，它们有规律可找寻吗？

这六个平面绽开图有共同的特性，中间连排的四个正方形恰好是正方体的侧面，而分布侧

面两边的两个正方形无论和四个侧面中的哪一个相连，都能是正方体的平面绽开图.

那么，是不是消音的平平臂图只七邛呢？

我们还像前面那露开力点可赢做由，胴号,假如沿着②一③一④剪开后，再分别

沿着⑥一⑨一⑫和⑦剪开，便可得到费开图（79.类似的还可以得到图（8）、（9）.

在以上的几种绽开图中，是侧面的三个或四个正方形相连，假如让他们两个两个相连结果会如

何呢？

我们剪出六个同样大小的正方形作为正方体的六个面，将这六个面攫成下面两个图的情形,

如图（10）、（11）,然后将它们折叠，结果发觉这六个面围成了一个正方体.

只要沿着②f③f④剪开后，再分别沿⑤f和⑦以及⑨剪开便可得到图（10）.

沿着②一③f④剪开后，再将⑥一⑩一和⑤剪开，便得到绽开图（11）.

我们再来看，如图（12）,这个平面图形经过折叠后能否围成一个正方体.

答案是否定的.因为把一个正方体绽开后6个正方形的每一个正方形至少有一边和其他正

方形的某边重合，在这个图中，虽然满意了上面的要求，但右上角的正方形和相邻的三个正方

形相连的情形是无法折叠起来的，因此不能围成一个正方体.

那么，将正方体的某些棱剪开，展成一个平面图形，须要剪开几条棱呢？

由于正方体有12条棱，6个面，将其表面展成一个平面图形，其面和面之间相连的棱（即

未剪开的棱）有5条，因此需剪开7条棱.

五、点、线、面、体

几何体也简称体（）.我们学过的长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是

几何体.

包围着体的是面（）.面有平的面和曲的面两种.安静的水面（如图）给我们以平面的形

象，而酒杯（如图）的凹槽则给我们以曲面的形象.

夜晚流星划过天空时留下一道光明的光线（如图），节日的焰火画出的曲线组成美丽的图

案（如图），这些都给我们以线（）的形象.面和面相交的地方形成线.

天上的星星、世界地图上的城市等都给我们以点（）的形象，线和线相交的地方是点.

点、线、面、体之间的关系：点动成线，线动成面，面动成体.

几何图形都是由点、线、面、体组成的,点是构成图形的基本元素.点、线、面、体经过

运动变更，就能组合成各种各样的几何图形，形成多姿多彩的图形世界.

立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。

1、几何图形

平面图形：三角形、四边形、圆等。

［主（正）视图从正面看

2、几何体的三就图侧（左、右）视图从左（右）边看

〔俯视图从上面看

（1）会推断简洁物体（直棱柱、【员I柱、I员1锥、球）的三视图。

（2）能依据三视图描述基本儿何体或实物原型。

3、立体图形的平面绽开图

（1）同一个立体图形按不同的方式绽开，得到的平现医形不一样的。

（2）了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面绽开图，能依据绽开图推断和制作立体模型。

4、点、线、面、体

（1）几何图形的组成

点：线和线相交的地方是点，它是儿何图形最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：凡何体也简称体。

（2）点动成线，线动成面，面动成体。

一.快速识别正方体的平面绽开图

图形分类

正方体的平面绽开图按绽开图中正方形所在的行数及正方形的个数，归纳起来有四情形.

1.1—4—1型：绽开图有3行，中间一行有4个正方形，其余两行均1个正方形，如图1中

②

⑤

图1

2.2—3—1型：绽开图有3行，中间一行有3个正方形，第1行有2个正方形，第3行有1

个正方形，如图2中所示.

3.2—2—2型：绽开图有3行，每一行均有2个正方形，如图3所示.

图3图4

4.3—3型：绽开图有2行，每一行均有3个正方形，如图4所示.

规律：这里给出几种不是正方体的绽开图的状况：

(1)出现“田”字格；

(2)出现1"1”的形态；

(3)连续四个正方形连成一行，而另外两个都在这“一行”的同侧；

(4)连续五个连成一行。

记住上面这四个规律，解答时采纳解除法又快又准。

二快速确定正方体的“对面”

如下图，我们先来统一以下相识：把含有图(1)所示或可由其作旋转后的图形统称为

型图；把所给平面图中含有(2)、(3)、(4)所示或可由其作旋转后的图形统称为型图。

(2)(3)(4)

结论：假如给定的平面图形能折叠成一个正方体，那么在这个平面图形中所含的型图或

型图两端的正方形(阴影部分)必为折成正方体后的对面。

应用上面的结论，我们可以快速地确定出正方体的“对面”。

(二)直线、射线、线段

直线

1、直线的两种表示方法：

(1)用直线上的两个大写字母表示.如图：记作直线为5.

AB

表示直线的两个大写字母可以是直线上的随意两点，两个字母的依次可以随意排放

(2)用一个小写字母表示,如图：记作直线。.

若点C是线段的中点，则有三或22.

两点间的距离：连接两点之间的线段的长度.

直线的性质

经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

简洁地：两点确定一条直线。

点和直线的位置关系

(1)0点在直线上，如图，叙述方法：点。在直线。上，或直线。经过点。.

0

(2)0点在直线外，如图，叙述方法：点。在直线。外，或直线。不经过点。.

-----------a

0

相交直线

假如两条直线有一个交点，我们叫这两条直线相交.这个公共点叫做它们的交点，这两条直线

叫相交直线.

1.直线的概念⑴一个小写字母表示----a直线。

2.克线的表示方法1（2）两个大写字母表示「广直线四

AD

J1）点在直线上彳一a（直线a过A点）

直3.点和直线的位置关系

线1（2）点在直线外-----a（直线a不过尸点）

4.直线公理:经过两点有且只有一条直线（两层意思”有一条并且只有■一条”）

相交线:两条直线相交只有一个交点

射线

射线：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点.

射线的表示方法

（1）可以用两个大写字母表示：代表端点的字母写在前面。

（2）射线也可以用一个小写字母表示.

线段

线段：直线上两个点和它们之问的部分叫做线段.这两点叫做线段的端点.4.线段的表示方

法

线段的两种表示方法：1月、3为端点的线段，可以记作线段48或线段胡

对字母的排放依次没有要求；

2也可以记作线段。.

线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等

定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点。

图形：

•••

AMB

符号：若点M是线段的中点，则，22。

线段的性质

两点的全部连线中，线段最短。简洁地：两点之间，线段最短。

线段的画法

(1)画线段时，要画出两个端点之间的部分，不要画出向任何一方延长的状况.

(2)以后我们说“连结店”就是指画以4、B为端点的线段.说明：“连结”是几

何的专用名词，专指画出两点间的线段的意思.

线段大小比较的两种比较方法：

1重叠比较法将两条线段的各一个端点对齐，看另一个端点的位置.步骤有三：

(1)将线段的端点A和线段的端点C重合.

(2)线段沿着线段的方向落下.

(3)若端点B和端点D重合，则得到线段等于线段，可以记.

若端点B落在D上，则得到线段小于线段，可以记作＜.

若端点B落在D外，则得到线段大于线段，可以记作〉.

2度量法

直线射线线段区分联系

直线射线线段

图形

直线上的一点直线上两个点

和它一旁的部和它们之间的

定义分叫做射线：这部分叫做线

个点叫做射线段.这两点叫做

的端点.线段的端点.

射线、线段都是直线的一部分，线段是直线的有

联系

限部分.

直线无端点，长度无限，向两方无限延长.射线

区分只有一个端点，长度无限，向一方无限延长.线

段有两个端点，长度有限.

端点个数无一个两个

直线a线段a

表示法射线

直线()线段()

作线段a；

作直线；

作法叙述作射线作线段；

作直线a

连接

延长线段；

延长叙述不能延长反向延长射线

反向延长线段

端点延长方可否度表示方

相同点

个数向量法

线

2无能两种

段都是直的，由多数个

射向一方点组成，没有粗细之

1不能两种

线延长分，线段、射线都是

直向两方直线的一部分。

0不能两种

线延长

1、直线没有端点，他可以向两方无限延长，因此他的长度是无限的，我们不能度量他的长

度；射线有一个端点，他可以向一方无限延长，因此他的长度也是无限的；线段有两个端点，

他不能向任何一方延长，所以既可以度量他们的长度，也可以用度量法或叠合法（即把其中一

条线段移到另一条线段上去）比较他们的大小。

另外，线段不能延长，但他可以延长，而直线和射线能延长，却不能延长。特殊地，射线可

以反向延长。

2、如图，二兄弟都可以用一个小写字母来表示，但用大小字母来表示时，就要留意：

AB6C--DE-

图1图2.图3

①线段用表示端点的两个字母来表示，图1中的线段可表示为线段或线段；

②射线用表示端点的字母和表示射线上另一点的字母来表示的，这两个字母有严格的先后依

次，必需把表示端点的字母写在前面，图2中的射线只能表示为射线；

③直线可以用它上面的随意两个点的字母来表示，图3中的直线可表示为直线或直线。

3、如图3,过点D和E有且只有一条直线，即两点确定一条直线，这里的“确定”和“有且

只有”的含义相同。“有”是指直线的存在性，“只有”指直线的惟一性。不难看出，过点D、E

的线段和射线都是存在的，但他们都不是惟一的。

4、线段是三兄弟中最小的，他的故事却是最多的，这里先向大家介绍两个:

（1）把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。如图，若点C是线段的中

点，则有彳,或22。

（2）两点之间，线段最短。

（三）角

1.角的相关概念及计算

4」静止的定义

「正乂-转的定义

一表不方法

—度量一度、分、秋进位制60）

角一

」匕较与运算

LddM「同危或等角）的余角相等

代角;1示定同角或等角）的补角相等

角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫角的顶点，这两条射线叫角的

两边.

角：角还可以看成是一条射线从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.

2、角的表示法（四种）:

⑥角的符号和三个大写字母表示：

角

的如图1中有4408,图2中445c,乙始©等.

表

示②角的符号和一个大写字母表示（条件：顶点处只有一个角）

方

法如图1中/。，图3中NQ.

③角的符号和一个数字表示：如匡2中/I,/2.

（④角的符号和一个小写希腊字母表示：如图3中/a，/。・

平角、周角的概念

射线力绕点。旋转，终止位置。8和起始位置。4成一条直线时，所成的角叫平角，如图2

所示.同样可表示为乙403,顶点。，两边为射线3和射线@.接着旋转，回到起始位置

0A时，所成的角叫做周角，如图3所示.周角的顶点为。，两边重合成一条射线.

直线上取点表示点在直线上的位置，而平角是由顶点和边组成的角这一几何图形.

静止的观点：有公共端点的两条射线蛆成的图形

1.定W旋转的观点：角可以看成是一条射线绕其端点，从

一个位置旋转到另一个位置所成的觐

（1）用角的符号和三个大写字母表示

（2）用角的符号和一个大写字母表示

角《2•角的表示方法＜

（条件：顶点只有一个角）

（3）用角的符号和一个数字表示

（4）用角的符号和一个＜1匹希腊字母表示

（3.平角、周角的概念

3、角的度量单位及换算

度、分、杪的互换：假如一个角比1°还小，那么怎样度量它的大小？为了更精密地度量角.我

们把1°的角60等份，每一份叫做1分的角，1分记作1'；又把1'的角60等份，每一份叫做1

秒的角，1秒记作1''.即1°=60',1'=60''.这表明角的度、分、秒是60进制的，这和计

量时间的时、分、秒是一样的.

4、角的分类

Z锐角直角钝角平角周角

P

范0<Z6<ZB90°<Z3<ZBZ8

围90°=90°180°=180°=360°

学问结构

「Q）登合法

1•角的b傲Im测量法

,缶）图形的羊系］注意：几何图形的识图

角的

\2.角的和差倍分1'角的和、差、倍、分的度数等于

比校

1（2）数量关系J它们的度数的和、差、倍、分

71）定义

13.角的平分线"

、（2）几何符号语言表示

5角的大小的比较有两种方法:

（1）重合法：即把要比较的两个角的顶点和一条边重合，再比较另一条边的位置：

①跖和8C重合，WDEF等于乙也。,记作“£F•必C.

②EF落在乙也C的内部，上DEF小于乙由。,记作〃.

③EF落在用C的外部，4DEF大于加。,记作.

在比较角的大小时，应留意角的大小只和开口的大小有关，而和角的边画出部分的长短无

关.这是因为角的边是射线而非线段.若用射线旋转成角的定义，也可以说转得较多的角较大.

（2）度量法：即比较两个角的度数.

利用比较角大小的上述两种方法，就可以画出角的和、差、倍、分，并进而比较角的和、

差、倍、分的大小.

6角的和、差、倍、分

(1)G在N1内部时，5C是4和乙的差，记作：乙哈.

(2)G在N1外部时，“EF是/I和/2的和，记作：“EF-Z1+Z2.

7、画一个角等于已知角

(1)借助三角尺能画出15。的倍数的角，在。〜180。之间共能画出11个角。

(2)借助量角器能画出给定度数的角。

(3)用尺规作图法。

8、角平分线

定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.

几何语言表示：OC是乙4a的平分线，(或).

对于角平分线的概念，要留意以下两点：

(1)它是角的内部的一条射线，并且是一条特殊的射线，它把角分成了相等的两部分.

(2)要驾驭角平分线的数学表达式：若是48的平分线，则4比=248=乂3或

ZilOC-ZCOT-yZXCB.

学问结构

9、互余、互补

(1)若/1+/2=90°,则N1和N2互为余角。其中N1是N2的余角，N2是/I的余角。

(2)若Nl+N2=180°,则N1和N2互为补角。其中N1是/2的补角，N2是/I的补角。

(3)余(补)角的性质：等角的补(余)角相等。

VZ1和N2互补，・・・4+4=180・即N2・⑻.

・.,/3和互补，.\Z3+Z4-18(r即N4-l8(T・/3.

・.・4。/3,・,./2=/4.

若两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，若两个角的和是一个平角，这两个角叫做

互为补角.理解这两个概念，要把握以下几点：(1)必需具备两个角；(2)两个角的和是一

个定值：互余两角的和是，互补两角的和是：(3)和两个角的位置无关，只考虑两角间的数

量关系.

10、方向角

（1）正方向

（2）北（南）偏东（西）方向

（3）东（西）北（南）方向

第四章数据的收集和整理

一、数据处理的一般过程

二、设计调查问卷的步骤

1、确定调查目的

2、选择调查对象

3、设计调查问题

三、设计调查问卷时要留意

1、提问时不涉及提者个人的观点2、不要提人们不原意回答的问题

3、供应的答案要尽可能全面4、问题应简明5、问卷应简短

1.普查、抽样调查的概念

为了确定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查.

普查可以干脆获得总体的状况，但有时总体中个体的数目较多，普查的工作量较大；有时受客

观条件的限制，无法对全部个体进行普查；有时普查具有破坏性，不允许普查，这时人们往往

从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查.

如何从总体中选取样本比较合理

要想使样本具有代表性，不偏向总体中的某些特性，有一个对每个个体都公允的方法，确定

哪些个体进入样本，这种志向的抽样方法我们把它称为简洁的随机抽样,简洁随机抽样，也叫纯

随机抽样.其特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独

立，彼此间无确定的关联性和排斥性.简洁随机抽样是其它各种抽样形式的基础.通常只是在总

体单位之间差异程度较小和数片较少时，才采纳这种方法.为了确保调查结果的精确性，调查对

象在总体中要有代表性，样本容量要足够大.

如何进行随机抽样

常见的随机抽样方式有以下几种：

1.抽签法

抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌匀

称后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，登记号签上的号码，就得到一个容量为n的样

本.

抽签法的优点是筒洁易行；缺点是，当总体的容量特别大时，费时、费劲又不便利.

2.随机数表法

用抽签法抽取样本时，编号的过程有时可以省略（如用己有编号），但制签的过程就难以省去

了，而且，制签也比较麻烦.简化抽签过程的一个有效方法就是制作一个表，其中的每个数都是

用随机方法产生的，这样的表称为随机数表,于是，我们只需按确定的规则到随机数表中选取号

码就可以.这种抽样方法叫随机数表法.

用随机数表法抽取样本的步骤是：

①将总体中的全部的个体编号（每个号码位数一样）；

②在随机数表中任选一数作为起先；

③从选定的数起先按确定的方向读下去，得到的数码若不在编号中，则跳过，若在编号中，

则取出，假如得到的号码前面已经取出，也跳过，如此接着下去，直到取满为止；

④依据选定的号码抽取样本.

除此之外还有计算机模拟法和运用统计软件干脆抽取等方法.

2.总体、个体、样本的概念

总体：普查时，所要考察对象的全体称总体.

个体：普查时，组成总体的每一个考察对象称为个体.

样本：抽样调查时，从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本.

3.为使所抽取的样本具有代表性，常采纳以下方法：

(1)随机抽样，这种方法常用于当总体中个体较少时；

(2)系统抽样，当总体中个体较多时，按随机抽样很难，可将总体分成均衡的几个部分，按

规则从每一部分抽取相同个数的个体；

(3)分层抽样，当总体由有明显差异的几个部分组成时，随机抽样和系统抽样其代表性均不

强，这时可将总体按差异状况分成几个部分，按各部分所占比例进行抽样.

4.抽样调查的范围小，节约时间、人力、物力，为了获得较为精确的调查结果，抽样时既要

留意样本的大小，同时又要留意样本的代表性和广泛性.

第5章《二元一次方程组》总复习

【回顾和思索】

方程、方程的解

方程有关概念-

d解方程

；有关概念I

一次方程卜「二元一次方程H解法步骤

有关概念

U二元一次方程两讣T解法步骤

应用

1.二元一次方程:

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.从定义中可

以看出：二元一次方程具备以下四个特征：

(1)是方程；

(2)有且只有两个未知数；

(3)方程是整式方程，即各项都是整式；

(4)各项的最高次数为