专题11-2 概率与分布列大题归类-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（解析版）

专题11-2概率与分布列大题归类目录TOC\o"1-1"\h\u【题型一】两人比赛型 1【题型二】三人比赛型 3【题型三】图表型 5【题型四】摸球型 7【题型五】放球型 9【题型六】药物分组型 10【题型七】设备购销型 12【题型八】“数列”型 15【题型九】传球与游走型 18【题型十】“导数应用”型 21真题再现 24模拟检测 28【题型一】两人比赛型【典例分析】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.【答案】（1）；（2）0.1【分析】(1)本题首先可以通过题意推导出所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果；(2)本题首先可以通过题意推导出所包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果．【详解】(1)由题意可知，所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”所以(2)由题意可知，包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”所以【点睛】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出以及所包含的事件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题．【提分秘籍】基本规律两人比赛型多涉及到独立事件互斥事件的识别与概率运算、离散型随机变量的分布列和期望，要注意对不同事件的合理表述，便于书写过程．服从于二项分布，可用概率公式进行运算，也可以采用罗列方式进行，是对运算能力的常规考查.【变式演练】甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．假设各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）分别求甲队以胜利的概率；（Ⅱ）若比赛结果为求或，则胜利方得分，对方得分；若比赛结果为，则胜利方得分、对方得分．求乙队得分的分布列及数学期望．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【详解】解法一（Ⅰ）设甲胜局次分别为负局次分别为（Ⅱ）根据题意乙队得分分别为所以乙队得分的分布列为解法二（Ⅰ）记“甲队以3：0胜利”为事件，“甲队以3：1胜利”为事件，“甲队以3：2胜利”为事件，由题意，各局比赛结果相互独立，故，，所以，甲队以3：0,3:1,3:2胜利的概率分别是，，；（Ⅱ）设“乙队以3:2胜利”为事件，由题意，各局比赛结果相互独立，所以由题意，随机变量的所有可能的取值为0,1,2,3，，根据事件的互斥性得,,,故的分布列为0123所以．【题型二】三人比赛型【典例分析】2021年7月24日，在奥运会女子个人重剑决赛中，中国选手孙一文在最后关头一剑封喉，斩获金牌，掀起了新一轮“击剑热潮”．甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为．因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者（甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛），每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束．(1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；(2)请帮助甲进行第一局的决策（甲乙、甲丙或乙丙比赛），使得甲最终获得冠军的概率最大．【答案】(1)(2)甲第一局选择和丙比赛【分析】（1）分①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜和②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜两种情况求解即可（2）根据题意，分析首局三种情况所有甲能首先胜两局的情况，再比较概率的大小判断即可(1)若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况：①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，其概率为；②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，其概率为．所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为．(2)若第一局甲乙比，甲获得冠军的情况有三种：甲乙比甲胜，甲丙比甲胜；甲乙比甲胜，甲丙比丙胜，乙丙比乙胜，甲乙比甲胜；甲乙比乙胜，乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，所以甲能获得冠军的概率为．若第一局为甲丙比，则同上可得甲获得冠军的概率为．若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，则甲获得冠军的概率即第（1）问的结果．因为，所以甲第一局选择和丙比赛，最终获得冠军的概率最大．【变式演练】2021年7月24日，在奥运会女子个人重剑决赛中，中国选手孙一文在最后关头一剑封喉，斩获金牌，掀起了新一轮“击剑热潮”.甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为.因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者（甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛），每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束.(1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；(2)为使甲最终获得冠军的概率最大，请帮助甲进行第一局的决策（甲乙、甲丙或乙丙比赛），并说明理由.【答案】(1)(2)第一局甲丙比赛甲获得冠军的概率最大.【分析】（1）分①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜和②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜两种情况求解即可；（2）根据题意，分析首局三种情况所有甲能首先胜两局的情况，再比较概率的大小判断即可.(1)若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况：①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，其概率为；②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，其概率为．所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为．(2)若第一局甲乙比，甲获得冠军的情况有三种：甲乙比甲胜，甲丙比甲胜；甲乙比甲胜，甲丙比丙胜，乙丙比乙胜，甲乙比甲胜；甲乙比乙胜，乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，所以甲能获得冠军的概率为．若第一局为甲丙比，则同上可得甲获得冠军的概率为．若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，则甲获得冠军的概率即第（1）问的结果．因为，所以甲第一局选择和丙比赛，最终甲获得冠军的概率最大．【题型三】图表型【典例分析】本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人独立来该租车点车租骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列．【答案】（1）；（2）．试题解析：（1）由题意得，甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为．记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件，则．所以，甲、乙两人所付得租车费用相同的概率为．（2）设甲、乙两个所付的费用之和为，可能取得值为0，2，4，6，8，，，分布列【提分秘籍】基本规律图表型有两类：1.“时间轴”型。如【典例分析】2、“区域链”型，如【变式演练】【变式演练】乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域SKIPIF1<0，乙被划分为两个不相交的区域SKIPIF1<0.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在SKIPIF1<0上记3分，在SKIPIF1<0上记1分，其它情况记0分.对落点在SKIPIF1<0上的来球，队员小明回球的落点在SKIPIF1<0上的概率为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上的概率为SKIPIF1<0；对落点在SKIPIF1<0上的来球，小明回球的落点在SKIPIF1<0上的概率为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上的概率为SKIPIF1<0.假设共有两次来球且落在SKIPIF1<0上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和SKIPIF1<0的分布列与数学期望.【答案】（I）小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为SKIPIF1<0.（II）数学期望SKIPIF1<0试题解析：（I）记SKIPIF1<0为事件“小明对落点在A上的来球的得分为SKIPIF1<0分”（SKIPIF1<0）则SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0为事件“小明对落点在B上的来球的得分为SKIPIF1<0分”（SKIPIF1<0）则SKIPIF1<0，记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”，由题意，SKIPIF1<0，由事件的独立性和互斥性，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为SKIPIF1<0.（II）由题意，随机变量SKIPIF1<0可能的取值为0,1,2,3,4,6，由事件的独立性和互斥性，得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,可得随机变量SKIPIF1<0的分布列为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【题型四】摸球型【典例分析】试卷从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽取到的可能性相同。在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数x的分布列。（1）每次取出的产品都不放回此批产品中；（2）每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品；（3）每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品中。【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析（3）答案见解析．试题解析：（1）ξ的取值为1，2，3，4。当ξ=1时，只取一次就取到合格品，∴P（ξ=1）=；当ξ=2时，即第一次取到次品，而第二次取取到合格品，∴P（ξ=2）=；类似地有P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，∴ξ的分布列为（略）（2）ξ的取值为1,2,3,…，n,…。当ξ=1时，只取一次就取到合格品，∴P（ξ=1）=；当ξ=2时，即第一次取到次品，而第二次取取到合格品，∴P（ξ=2）=；当ξ=3时，即第一、二次均取到次品，而第三次取取到合格品，∴P（ξ=2）=；类似地当ξ=n时,即前n-1次均取到次品，而第n次取到合格品,∴P（ξ=n）=（）n-1，n=1,2,3,…∴ξ的分布列为（略）（3）ξ的取值为1，2，3，4。当ξ=1时，只取一次就取到合格品，∴P（ξ=1）=；当ξ=2时，即第一次取到次品，而第二次取取到合格品，注意第二次取时，这批产品有11个合格品，2个次品，∴P（ξ=2）=；类似地，P（ξ=3）=；P（ξ=4）=，∴ξ的分布列为（略）【变式演练】一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1,2,3,4,5,4个白球编号分别为1,2,3,4，从袋中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球编号都不相同的概率；（Ⅱ）记为取出的3个球中编号的最小值，求的分布列与数学期望．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）期望为．试题解析：（Ⅰ）设“取出的3个球编号都不相同”为事件，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”这事件，则，∴．（Ⅱ）的取值为1,2，3,4，，，．所以的分布列为：的数学期望．【题型五】放球型【典例分析】某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）解：（I）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.记“申请A片区房源”为事件A，则从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为（II）ξ的所有可能值为1，2，3.又综上知，ξ有分布列ξ123P【变式演练】为喜迎马年新春佳节，怀化某商场在正月初六进行抽奖促销活动，当日在该店消费满500元的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“马”“上”“有”“钱”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“钱”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“马”“上”“有”三个字的球为三等奖．（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；（Ⅱ）设摸球次数为，求的分布列和数学期望解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C．则（列式正确，计算错误，扣1分）…2分（列式正确，计算错误，扣1分）…4分三等奖的情况有：“马，马，上，有”；“马，上，上，有”；“马，上，有，有”三种情况．……6分（Ⅱ）设摸球的次数为，则1、2、3、4.，，，…10分故取球次数的分布列为1234…………12分【题型六】药物分组型【典例分析】春季气温逐渐攀升，病菌滋生传播快，为了确保安全开学，学校按30名学生一批，组织学生进行某种传染病毒的筛查，学生先到医务室进行血检，检呈阳性者需到防疫部门]做进一步检测．学校综合考虑了组织管理、医学检验能力等多万面的因素，根据经验，采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将待检学生随机等分成若干组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样合格，不必再做进一步的检测；若结果呈阳性，则本组中的每名学生再逐个进行检测．现有两个分组方案：方案一：将30人分成5组，每组6人；方案二：将30人分成6组，每组5人．已知随机抽一人血检呈阳性的概率为0．5%，且每个人血检是否呈阳性相互独立．（Ⅰ）请帮学校计算一下哪一个分组方案的工作量较少？（Ⅱ）已知该传染疾病的患病率为0．45%，且患该传染疾病者血检呈阳性的概率为99．9%，若检测中有一人血检呈阳性，求其确实患该传染疾病的概率．（参考数据：（，）【答案】（Ⅰ）方案一工作量更少．（Ⅱ）0.8991解：（1）设方案一中每组的化验次数为X，则X的取值为1，7，，∴X的分布列为：X17P0．9700．030．故方案一的化验总次数的期望值为：次．设方案二中每组的化验次数为Y，则Y的取值为1，6，，，∴Y的分布列为：Y16P0．9750．025．∴方案二的化验总次数的期望为次．∵，∴方案一工作量更少．（2）设事件A：血检呈阳性，事件B：患疾病，则由题意得，，，由条件概率公式可得，∴该职工确实患该疾病的概率．【变式演练】冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验次.方式二：混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为.（1）现有份血液样本，其中只有份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率.（2）现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次为.（i）若，试求关于的函数关系式；（ii）若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值.参考数据：，，.【答案】（1）；（2）（i）；（ii）.【详解】（1）设恰好经过次检验能把阳性样本全部检验出来为事件，则，所以，恰好经过次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为；（2）（i）由已知得，的所有可能取值为、，，，，由，得，化简得；（ii）由题意知，则，，即，，构造函数，则，当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.，，所以的最大值为.【题型七】设备购销型【典例分析】 某商场以分期付款方式销售某种商品，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列为：2340.4其中，（Ⅰ）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；（Ⅱ）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得利润l00元，若顾客选择分3期付款，则商场获得利润150元，若顾客选择分4期付款，则商场获得利润200元.商场销售两件该商品所获的利润记为（单位：元）（ⅰ）求的分布列；（ⅱ）若，求的数学期望的最大值.【答案】（Ⅰ）0.288（Ⅱ）（ⅰ）见解析（ⅱ）数学期望的最大值为280【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为，由独立重复事件的特点得出，利用二项分布的概率公式，即可求出结果；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，的取值为200，250，300，350，400，根据离散型分布求出概率和的分布列；（ⅱ）由题意知，，解得，根据的分布列，得出的数学期望，结合，即可算出的最大值.【详解】解：（Ⅰ）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为，则，则，故购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288.（Ⅱ）（ⅰ）依题意，的取值为200，250，300，350，400，，，，，的分布列为：2002503003504000.16（ⅱ），由题意知，，，，，又，即，解得，，，当时，的最大值为280， 所以的数学期望的最大值为280.【变式演练】某公司打算引进一台设备使用一年，现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元，乙设备每台9000元.此外设备使用期间还需维修，对于每台设备，一年间三次及三次以内免费维修，三次以外的维修费用均为每次1000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数，得到下面的频数分布表，以这两种设备分别在50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率.维修次数23456甲设备5103050乙设备05151515（1）设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为和，求和的分布列；（2）若以数学期望为决策依据，希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低，且维修次数尽量少，则需要购买哪种设备？请说明理由.【答案】（1）分布列见解析，分布列见解析；（2）甲设备，理由见解析【详解】（1）的可能取值为10000，11000，12000，，因此的分布如下100001100012000的可能取值为9000，10000，11000，12000，，，因此的分布列为如下9000100001100012000（2）设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为，的可能取值为2，3，4，5，，，则的分布列为2345的可能取值为3，4，5，6，，，则的分布列为3456由于，，因此需购买甲设备【题型八】“数列”型【典例分析】为了释放学生压力，某校高三年级一班进行了一个投篮游戏，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮）.在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置，甲先投，每人投一次篮，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得﹣1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分.设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响.（1）经过1轮投篮，记甲的得分为X，求X的分布列及期望；（2）若经过n轮投篮，用pi表示经过第i轮投篮后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率.①求p1，p2，p3②规定p0＝0，经过计算机计算可估计得pi＝api+1+bpi+cpi﹣1（b≠1），请根据①中p1，p2，p3值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列{pn}的通项公式.【答案】（1）分布列见解析，；（2）①；②.【分析】（1）先确定随机变量的所有的可能取值，然后分别算出概率，可求出分布列，求得期望；（2）①采用列举法，将甲得分比乙得分的情况按分析出来，然后计算概率即可；②将①中的结果代入递推式，解出，得到三项的关系式，结合数列的递推关系式，得到数列是一个等比数列，即可求解.【详解】（1）由题意，随机变量的可能取值为，则,，所以随机变量的分布列为：01则期望为。（2）①由（1）知，经过两轮投篮，甲的累计得分高的有两种情况：一是甲两轮都得分；二是两轮甲一轮得0分，另一轮得1分，所以概率为，经过三轮投篮，甲累计得分高有四种情况：即：，所以概率为.②因为，所以，将代入，解得，所以，所以，则，所以，因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以.【变式演练】新冠抗疫期间，我们经历了太多悲恸，也收获了不少感动．某数学小组希望通过将所学的知识应用于我们的抗疫，决定以数学实验的方式探索新冠的传染和防控．过程如下：假设小盒中有个黑球，个红球．模型①：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球后，则放回小盒并往小盒里加入倍的红球．此模型可以解释为“传染模型”，即若发现一个新冠感染者，若不作任何处理，则会产生倍的新的感染者；模型②：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，此模型可以解释为“安全模型”，即若发现一个新冠患者，则移出将其隔离进行诊治．（注：考虑样本容量足够大和治愈率的可能性，故用黑球代替红球）（1）分别计算在两种模型下，取出一次球后，第二次取到红球的概率；（2）在模型②的前提下：（i）记在第次时，刚好抽到第二个红球，试用表示刚好第次抽到第二个红球对应的概率；（ii）若规定无论第次是否能够抽到红球或第二个红球，当进行到第次时，即停止抽球；记抽到第二个红球时所需要的次数为，求的数学期望．（精确到个位）参考数据：，，，．【答案】（1）在模型①下，所求概率为，在模型②下，所求概率为；（2）（i）；（ii）.【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率加法公式可求得在两种模型下，取出一次球后，第二次取到红球的概率；（2）（i）若第次是第一次取到红球，第次是第二次取到红球，求得对应的概率为，然后利用等比数列的求和公式化简可得结果；（ii）由题意可知，随机变量的取值依次是、、、、，求得的值，然后利用数学期望公式可求得的近似值.【详解】（1）记在模型①下，取到红球的概率为，则；记在模型②下，取到红球的概率为，则；（2）（i）若第次是第一次取到红球，第次是第二次取到红球．则对应地有：．则两次红球都被取出的所有可能情况的概率和为：利用等比数列求和公式即可得：；（ii）由题意可知，的取值依次是、、、、，特别地，当时，对应的，由参考数据可得：．对应的数学期望为：．由参考数据可得：．【题型九】传球与游走型【典例分析】棋盘上标有第、、、、站，棋子开始位于第站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第站或第站时，游戏结束.设棋子位于第站的概率为.（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币次后，求棋手所走步数之和的分布列与数学期望；（2）证明：；（3）求、的值.【答案】（1）分布列见解析，随机变量的数学期望为；（2）（3），.【分析】（1）根据题意得出随机变量的可能取值有、、、，利用独立重复试验的概率公式计算出随机变量在相应取值时的概率，可列出随机变量的分布列，由此计算出随机变量的数学期望；（2）根据题意，棋子要到第站，由两种情况，由第站跳站得到，也可以由第站跳站得到，由此得出，并在该等式两边同时减去，可得出所证等式成立；（3）结合（1）、（2）可得，利用累加法求出数列的通项公式，从而可求出和的值.【详解】（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、.，，，.所以，随机变量的分布列如下表所示：所以，随机变量的数学期望为；（2）根据题意，棋子要到第站，由两种情况，由第站跳站得到，其概率为，也可以由第站跳站得到，其概率为，所以，.等式两边同时减去得；（3）由（2）可得，，.由（2）可知，数列是首项为，公比为的等比数列，，，又，则，由于若跳到第站时，自动停止游戏，故有.【变式演练】为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：性别锻炼不经常经常女生4060男生2080(1)依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；(2)从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；(3)为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求第次传球后球在甲手中的概率.附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828【答案】(1)可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，理由见解析(2)(3)【分析】（1）计算卡方，与6.635比较后得到结论；（2）利用事件，利用条件概率求出答案；（3）设n次传球后球在甲手中的概率为，，得到，利用构造法得到，即数列是以为首项，为公比的等比数列，从而求出通项公式，得到答案.【详解】（1），故依据的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；（2）设从这200人中随机选择1人，设选到经常锻炼的学生为事件A，选到的学生为男生为事件B，则，则已知选到的学生经常参加体育锻炼，他是男生的概率；（3）设n次传球后球在甲手中的概率为，，则有，，设，则，所以，解得：，所以，其中，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，故，故第次传球后球在甲手中的概率为.【题型十】“导数应用”型【典例分析】新型冠状病毒是一种人传人，而且隐藏至深、不易被人们直觉发现危及人们生命的严重病毒．我们把与这种身带新型冠状病毒（称之为患者）有过密切接触的人群称为密切关联者．已知每位密切关联者通过核酸检测被确诊为阳性后的概率为．一旦被确诊为阳性后即将其隔离．某位患者在隔离之前，每天有位密切关联者与之接触（而这个人不与其他患者接触），其中被感染的人数为．（1）求一天内被感染人数的概率的表达式和的数学期望；（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天内患者无任何症状，则为病毒传播的最佳时间．设每位患者在不知自己患病的情况下的第二天又与位密切关联者接触．从某一从名患者被带新型冠状病毒的第1天开始算起，第天新增患者的数学期望记为．①当，，求的值；②试分析每位密切关联者佩戴口罩后与患者接触能否降低患病的概率，经大量临床数据验证佩戴口罩后被感染患病的概率满足关系式．当取得最大值时，计算所对应的和所对应的值，然后根据计算结果说明佩戴口罩的必要性（取）．（参考数据：，，，，，计算结果保留整数）【答案】（1），；（2）①233280；②（人）；（人）；必要性见解析．【分析】（1）设事件：被病毒感染的人群，随机变量的取值为：0，1，2，…，．得到事件服从二项分布，即可求解．（2）①根据题意，第天新增加人数的数学期望，即可求解的值．②求得，利用导数求得函数的单调性和最值，进而得到，，分别求得和的人数，即可得到结论．【详解】（1）根据题意，因为任何一个与患者密切接触的关联者，被感染（患病）的概率均为，又每天有位密切关联者与一患者接触，设事件：被病毒感染的人群，随机变量的取值为：0，1，2，…，．显然事件服从二项分布，即，显然．（2）①根据题意，最初患者自己被感染，即第1天人数为1，第2天被感染人数增至为：；第3天被感染人数增至为：，…，显然第天被感染人数增至为：，第天被感染人数增至为：，于是根据题意中均值定义，第天新增加人数的数学期望，即，于是．②根据题意函数，求导得：，当且仅当时，，此时单调递增；当时，，即单调递减，于是．此时，，于是（人），（人）．经过计算得知，戴口罩情况下患者与密切接触的关联者接触被感染的人数为16人，而不戴口罩的情况下患者与密切接触的关联者接触被感染的人数为6480人，即远大于，于是戴口罩是非常必要的．【变式演练】某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验k次；方案二：混合检验，将k份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k份血液中的阳性血液样本，则对k份血液样本再逐一检验.逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是元，且k份血液样本混合检验一次需要额外收元的材料费和服务费.假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为.（1）若份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X分布列及数学期望；（2）①若，以检验总费用为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；②若，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求k的最大值.参考数据：，，，，【答案】（1）分布列见解析，；（2）①答案见解析；②11.【分析】（1）依据题意写出X的所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列，然后计算期望即可.（2）①设方案总费用为Y，，计算数学期望，然后与方案一的总费用为，作差比较即可.②根据，可得，然后构造函数，利用导数研究其单调性，进行判断即可.【详解】（1）X的可能值为1和，，，所以随机变量X的分布列为：X1P所以.（2）①设方案总费用为Y，方案一总费用为Z，则，所以方案二总费用的数学期望为：，又，所以，又方案一的总费用为，所以，当时，，，又，所以，所以该单位选择方案二合理.②由①知方案二总费用的数学期望，当时，，又方案一的总费用为，令得：，所以，即，即，所以，设，所以，令得，得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，，，，，，，所以k的最大值为11.【点睛】本题考查概率与导数的综合，本题考查阅读理解能力以及计算能力，同时概率与数列，概率与导数算是近几年热点内容，属难题.1．（2020·全国·统考高考真题）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.【详解】（1）记事件甲连胜四场，则；（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，则四局内结束比赛的概率为，所以，需要进行第五场比赛的概率为；（3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，记事件甲赢，记事件丙赢，则甲赢的基本事件包括：、、、、、、、，所以，甲赢的概率为.由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，所以丙赢的概率为.【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中等题.2．（2019·全国·高考真题）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．(i)证明：为等比数列；(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）.【分析】（1）首先确定所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出的取值，可得，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合和的值可求得；再次利用累加法可求出.【详解】（1）由题意可知所有可能的取值为：，，；；则的分布列如下：（2），，，（i）即整理可得：

是以为首项，为公比的等比数列（ii）由（i）知：，，……，作和可得：表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.【点睛】本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高.3．（2021·全国·统考高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．（1）已知，求；（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）利用公式计算可得.（2）利用导数讨论函数的单调性，结合及极值点的范围可得的最小正零点.（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.【详解】（1）.（2）设，因为，故，若，则，故.，因为，，故有两个不同零点，且，且时，；时，；故在，上为增函数，在上为减函数，若，因为在为增函数且，而当时，因为在上为减函数，故，故为的一个最小正实根，若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，综上，若，则.若，则，故.此时，，故有两个不同零点，且，且时，；时，；故在，上为增函数，在上为减函数，而，故，又，故在存在一个零点，且.所以为的一个最小正实根，此时，故当时，.（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.4．（2020·江苏·统考高考真题）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．（1）求p1，q1和p2，q2；（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示)．【答案】（1）（2）【分析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求，即得递推关系，构造等比数列求得，最后根据数学期望公式求结果.【详解】（1），，.（2），，因此，从而，即.又的分布列为012故.【点睛】本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式，考查综合分析求解能力，属难题.5．（2021·北京·统考高考真题）在核酸检测中,“k合1”混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的分布列与数学期望E(X).(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)【答案】（1）①次；②分布列见解析；期望为；（2）．【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出，即可得解.【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，可以取20，30，，，则的分布列:所以；（2）由题意，可以取25，30，两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，则.1．现有一种射击训练，每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立．已知射击训练有A，B两种型号的炮弹，对于A型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为p（），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.6，击中两弹目标飞行物必坠段；对子B型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为q（），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.4，击中两弹目标飞行物坠毁的概率为0.8，击中三弹目标飞行物必坠毁．(1)在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于；(2)若，试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？并说明理由．【答案】(1)(2)使用B型号炮弹，理由见解析【分析】（1）根据题意，利用间接法与二项分布的概率公式得到关于的不等式，解之即可；（2）先利用二项分布的概率公式求得两种类型的炮弹击毁目标飞行物的概率，再利用作差法与构造函数法，结合导数比较得两概率的大小，从而得到结论.【详解】（1）因为每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立，所以在一次训练中，连发三发B型号炮弹，用表示命中目标飞行物的炮弹数，则（服从二项分布），则，即，则，即，则，又，故，所以当时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于.（2）在一次训练中，连发三发A型号炮弹，用表示命中目标飞行物的炮弹数，则（服从二项分布），，记事件为“使用A型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，事件为“使用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，则，，因为，所以，则，令，则，令，即，则，得，又，所以恒成立，所以在上单调递增，又，则，故，即，所以使用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大.【点睛】关键点睛：本题解题的关键点有两次，一次是理解A、B型炮弹击中飞行物的次数服从二项分布，进而利用二项分布的概率公式求得两种类型的炮弹击毁目标飞行物的概率；二次是利用导数比较两者概率的大小.2．袋中有个白球和个黑球，从中任取一球，若取出白球，则把它放回袋中；若取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中.在重复次这样的操作后，记袋中白球的个数为.(1)求的数学期望；(2)设，求，.【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，袋中白球的个数可能为或，得概率为或，求期望即可；（2）当时，求出，再分别计算第次操作后袋中有个白球和第次操作后袋中有个白球，求解计算即可.(1)当时，袋中白球的个数可能为（即取出的是白球），概率为；也可能为（即取出的是黑球），概率为.故(2)当时，当时，第次操作后袋中有个白球的可能性有两种：①第次操作后袋中有个白球，显然每次取球后，球的总数保持不变，即个（此时黑球有个），第次取出来的也是白球，这种情况发生的概率为；②第次操作后袋中有个白球，第次取出来的是黑球，由于球的总数保持不变，为个，故此时黑球的个数为，这种情况发生的概率为，故，综上所述，3．投掷一枚硬币（正反等可能），设投掷n次不连续出现三次正面向上的概率为.(1)求，，和；(2)写出的递推公式，并指出增减性.【答案】(1)，，(2)当时递减【详解】（1）显然，；又投掷四次，连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，故.（2）共分三种情况：如果第n次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是；如果第n次出现正面，第次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是；如果第n次出现正面，第次出现正面，第次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，所以这时候不出现三次连续正面的概率是.由此可得，，，，.故，①，②①②，有.所以当时，递减，且易知.综上，且当时递减.4．一只蚂蚁从正方形的顶点出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为，逆时针的概率为，设蚂蚁经过步回到点的概率为.（1）求，；（2）设经过步到达点的概率为，求的值；（3）求.【答案】（1），，（2）当为偶数时，，当为奇数时，，（3）当为奇数时，，当为偶数时，【分析】（1）即经过一步从点到达点的概率，即经过两步从点到在点的概率，即可求出，的值；（2）当为偶数时，由顶点出发只能到点或点，可得，当为奇数时，由顶点出发只能到点或点，可得；（3）当为偶数时，得到，进而得到，再构造等比数列即可求解【详解】解：（1）因为即经过一步从点到达点的概率，所以，因为即经过两步从点到在点的概率，包括先顺时针再逆时针和先逆时针再顺时针，所以，（2）当为偶数时，由顶点出发只能到点或点，到达的概率为，到达点的概率为，所以，当为奇数时，由顶点出发只能到点或点，，所以，综上，当为偶数时，，当为奇数时，，（3）当为奇数时，，当为偶数时，从点或点出发经过两步到点有概率分别为，，从点出发经过步到点分为两步，①从点出发经过步到达点，再经过两步到点，概率为，②从点出发经过步到达点，再经过两步到点，概率为，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，综上，当为奇数时，，当为偶数时，【点睛】关键点点睛：此题考查概率的求法，考查数列递推式的应用，解题的关键是当为偶数时，分两种情况求出概率，即从点或点出发经过两步到点有概率，从而可得到递推式，结合可得，构造等比数列可得通项公式，考查计算能力，属于难题5．现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为．（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含的多项式表示）；（2）记该组动物需要注射次数的数学期望为，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）设第一轮注射有Y只动物产生抗体，则，则所求概率即；（2）先求得，由显然可得，再变形，可证得.【详解】（1）平均每组人，设第一轮注射有Y只动物产生抗体，则，所以，所以该组试验只需第一轮注射的概率为．（2）由（1）得，，所以，设，则，又，所以，因为，所以，又，因为，所以，所以．【点睛】关键点点睛：本题第（2）问