专题9-4 抛物线性质应用归类-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（解析版）

专题9-4抛物线性质应用归类目录TOC\o"1-3"\h\u【题型一】抛物线定义 3【题型二】焦半径1：坐标公式 5【题型三】焦半径2：极坐标公式转化 7【题型四】焦点弦1： 9【题型五】焦点弦2：中位线型 12【题型六】焦点弦3：焦点定比值 14【题型七】抛物线切线 17【题型八】最值范围1：线段型最值 19【题型九】最值范围2：面积型最值 21【题型十】抛物线与圆 23【题型十一】抛物线与椭圆 26【题型十二】抛物线与双曲线 28二、真题再现 31三、模拟检测 36结束 46综述1.抛物线有关知识：(1)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.(2)抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下2．重要公式(1)弦长公式：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；(2)韦达定理：x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).3.抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.(1)焦半径问题：①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝|BC|＝x2＋eq\f(p,2)(随焦点位置变动而改变)；②焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(其中，α为直线AB的倾斜角)；③eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)；焦半径公式得：，，(2)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝eq\f(p2,4)，y1·y2＝－p2(随焦点动而变)；(3)其他结论：①S△OAB＝eq\f(p2,2sinα)(其中，α为直线AB的倾斜角)； ②以AB为直径的圆必与准线相切于点H．【题型一】抛物线定义【典例分析】已知是抛物线上的点，F是抛物线C的焦点，若，则______．【答案】2023【分析】设，由求出，再利用抛物线的定义求解.【详解】解:设，因为是抛物线上的点，F是抛物线C的焦点，所以，因此，因为，所以，即．又由抛物线的定义，可得，所以．故答案为：2023【提分秘籍】基本规律抛物线定义(1)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.(2)抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下【变式演练】1..如果P1,P2,⋯,Pn是抛物线A．n+10B．n+20C．2n+10D．2n+20【答案】B【分析】由抛物线性质得|P【详解】∵P1,P2,⋯,Pn是抛物线C：2.我们知道，二次函数的图象是抛物线，有同学发现经过抛物线这一节的学习，结合函数图象平移的性质可求出该抛物线的焦点坐标.则二次函数的图象的焦点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先将抛物线化为抛物线的标准方程形式，再根据平移左加右减上加下减原则判断该抛物线是由怎样平移形成的.【详解】由抛物线知可以看做时抛物线(焦点坐标)先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，故的焦点坐标为故选：C3..曲线上存在两点A，B到直线到距离等于到的距离，则（

）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】D【分析】由题可知A，B为半圆C与抛物线的交点，利用韦达定理及抛物线的定义即求.【详解】由曲线，可得，即，为圆心为，半径为7的半圆，又直线为抛物线的准线，点为抛物线的焦点，依题意可知A，B为半圆C与抛物线的交点，由，得，设，则，，∴.故选：D.【题型二】焦半径1：坐标公式【典例分析】在抛物线上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为ABC的重心，则（

）A．6 B．8 C．9 D．12【答案】D【分析】根据重心的性质可得，然后根据抛物线的定义可知即可求解.【详解】解：由题意得：F为ABC的重心。故设点A，B，C的坐标分别为，，抛物线，F为其焦点故选：D【提分秘籍】基本规律抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.分别做A、B在准线上垂线垂足为C，D.焦半径问题：①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝|BC|＝x2＋eq\f(p,2)(随焦点位置变动而改变)由对称性，可得如下对称结论：（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.【变式演练】1.．已知的三个顶点都在抛物线上，为抛物线的焦点，若，则（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】设，，的横坐标分别是，，，由，得三点纵坐标之和，再结合抛物线的定义即可求出的值．【详解】解：由抛物线的方程，得，焦点坐标为，设，，的横坐标分别是，，，由，所以，即，因为为抛物线的焦点，由抛物线的定义可得，，，，即，故选：B．2.已知抛物线的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，且A，B中点的横坐标为2，则（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】根据抛物线的定义结合已知可求得结果.【详解】设，由A，B中点的横坐标为2，可得，所以．故选：C．3.设点在抛物线上，是焦点，则（

）A．880 B．878 C．876 D．882【答案】A【分析】根据焦半径公式，结合等差数列求和，即可求解.【详解】由条件可知，抛物线开口向左，焦半径公式，所以.故选：A【题型三】焦半径2：极坐标公式转化【典例分析】已知抛物线E关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点在抛物线上．(1)求该抛物线E的方程及其准线方程；(2)直线过抛物线E的焦点，交该抛物线于两点，且，求的长度．【答案】(1)，；(2)．【分析】(1)根据题意设抛物线方程，抛物线过P点，将P点坐标代入方程求出参数即可；(2)设直线l的倾斜角，表示出AF和BF，(1)设抛物线为，∵P(1，2)在抛物线上，∴，∴抛物线方程为，其准线方程为；(2)根据抛物线的对称性，不设点在第一象限，直线的倾斜角为，由拋物线定义可知，即，同理，即，，﹒【提分秘籍】基本规律抛物线y2＝2px(p>0)焦点为F，焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，结合极坐标知识中的圆锥曲线同一方程，可得焦半径如下简洁公式：焦半径公式：，，【变式演练】1.若过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则的取值范围是______．【答案】【分析】根据给定条件，利用点A的横坐标及表示，再利用抛物线定义结合的范围求解作答.【详解】抛物线的焦点，准线方程为，，如图，设点A的横坐标是，则有，由抛物线定义知，于是得，而函数在上单调递减，即，因此，即有，所以的取值范围是.故答案为：2.如图，过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，若与面积之和的最小值为32，则抛物线的方程为___________．【答案】【分析】设直线AB的倾斜角为锐角，则直线CD的倾斜角为，利用焦半径公式分别求出、、、，并求出与面积之和的表达式，通过不断换元，并利用双勾函数的单调性求出两个三角形面积之和的最小值，求出p的值，于是得出抛物线的方程．【详解】解：设直线AB的倾斜角为锐角，则直线CD的倾斜角为，由焦半径公式得：，，，，的面积为：，同理可得的面积为：，令，则与面积之和为：，再令，则与面积之和为：，由双勾函数的单调性可知，当时，与面积之和取到最小值，即，由于，得，因此，抛物线的方程为．故答案为：．【题型四】焦点弦1：【典例分析】已知抛物线（是正常数）上有两点，，焦点，甲：乙：丙：.丁：以上是“直线经过焦点”的充要条件有几个（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】先证明必要性：设过抛物线：的焦点的直线为：，代入抛物线方程得：，计算、、、即可判断甲、乙、丙、丁都是必要条件，再设直线的方程为：，代入抛物线方程得：，由韦达定理验证四个结论成立时，实数的值，即可判断充分性，进而可得正确答案.【详解】必要性：设过抛物线：的焦点的直线为：，代入抛物线方程得：；由直线上两点，，则有，，，由＝，故：甲、乙、丙、丁都是必要条件，充分性：设直线方程为：，则直线交轴于点，抛物线焦点将直线的方程与抛物线方程得：，由直线上两点，，对于甲：若，可得，直线不一定经过焦点.所以甲条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；对于乙：若，则，直线经过焦点，所以乙条件是“直线经过焦点”的充要条件；对于丙：，可得或，直线不一定经过焦点，所以丙条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；对于丁：可得，直线不一定经过焦点.所以丁条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；综上，只有乙正确，正确的结论有1个.故选：B【提分秘籍】基本规律抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.焦半径：eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)。焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(其中，α为直线AB的倾斜角)【变式演练】1.已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为2，圆M：，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为__________.【答案】4【分析】根据已知条件先求出抛物线的方程，然后将问题转化为计算“”的最小值，通过抛物线的焦半径公式将表示为坐标的形式，采用直线与抛物线联立的思想，根据韦达定理和基本不等式求解出最小值.【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，所以抛物线方程为，如下图，，因为，设，所以，所以，设，所以，，所以，所以，当且仅当，即取等号.所以的最小值为4，故答案为：4.2.如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为__________．【答案】【详解】，焦点，准线，由定义得，又，同理，当轴时，则，，当时，代入抛物线方程，得，，，综上所述，的最小值为，故答案为.3.如图所示，已知抛物线过点，圆.过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由点在抛物线上求出p，焦半径的几何性质有，再将目标式转化为，应用基本不等式“1”的代换求最值即可，注意等号成立条件.【详解】由题设，16＝2p×2，则2p＝8，故抛物线的标准方程：，则焦点F(2,0)，由直线PQ过抛物线的焦点，则，圆C2：圆心为(2,0)，半径1，，当且仅当时等号成立，故的最小值为13.故选：D【题型五】焦点弦2：中位线型【典例分析】设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则直线的方程为__________．【答案】【详解】分析：求出抛物线焦点为，准线为，设，直线方程为，由与抛物线方程消去得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系算出的坐标，根据，利用两点间的距离公式解出，进而得到结论.详解：抛物线方程为，抛物线焦点为，准线为，设，因为在第一象限，所以直线的斜率，设直线方程为，代入抛物线方程消去，得，，过的中点作准线的垂线与抛物线交于点，设点的坐标为，可得，，，得到，可得，，，解之得，所以，直线方程为，即,，故答案为.【提分秘籍】基本规律抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝|BC|＝x2＋eq\f(p,2)(随焦点位置变动而改变)；②焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(其中，α为直线AB的倾斜角)；【变式演练】1.（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（

）A． B．抛物线的方程为C．直线的方程为 D．【答案】ACD【分析】由焦点到准线的距离可求得，则可判断A正确，B错误；利用斜率坐标计算公式几何中点坐标计算公式可求得直线的斜率，从而求得的方程，可判断C正确；，所以从而判断D正确.【详解】因为焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确故抛物线的方程为，焦点，故B错误则，．又是的中点，则，所以，即，所以直线的方程为．故C正确由，得．故D正确故选：ACD．2..抛物线的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为__________．【答案】1【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．【详解】设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|。在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab。配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值为1．故答案为：1．3.过抛物线的焦点作直线交抛物线于点，，若，则线段的中点到抛物线准线的距离为_________.【答案】5【解析】【分析】线段的中点横坐标为，其到准线距离为，由抛物线方程可得p,代入即可求解.【详解】由抛物线方程，得．因为，所以AB的中点M到抛物线准线的距离为．【题型六】焦点弦3：焦点定比值【典例分析】已知抛物线，过焦点P的直线交抛物线C于A，B两点，且线段的长是焦半径长的3倍，则直线的斜率为______．【答案】【分析】利用抛物线的焦半径公式列方程求得直线的倾斜角，即可求得直线的斜率【详解】方法一：设直线的倾斜角为，则．因为线段的长是焦半径长的3倍，所以，故，当时，，，则，解得，所以直线的斜率为同理可得当时，，所以直线的斜率为．综上，直线的斜率为故答案为：方法二：因为，线段的长是焦半径长的3倍，由定比分点比值知【提分秘籍】基本规律过抛物线的焦点F的弦AB与对称轴的夹角为|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)【变式演练】1.已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点（点在第一象限），若，则______．【答案】【分析】分别过点作准线的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，设，进而结合抛物线的性质求解即可.【详解】解：如图，分别过点作准线的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，设，易得，则，由抛物线的性质可得，，所以，，解得，故．故答案为：方法二：由焦点弦公式可知|AB|＝eq\f(2p,sin2α)=8p/3.A再由2.若是抛物线上一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则______．【答案】【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，设的坐标，利用锐角三角函数求出，再根据抛物线的定义计算可得.【详解】解：方法一：由抛物线的方程，可得准线方程为，焦点坐标为，设的坐标，且，又，，整理得，解得或（舍去），所以由抛物线的定义可得．故答案为：方法二：由焦点弦公式可知|AB|＝eq\f(2p,sin2α)=16/3.A再由,。3.过抛物线，的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于__________.【答案】60°或120°【分析】利用抛物线的性质以及图形中的几何关系推导出的值即可得出结论.【详解】如图是抛物线的准线，作，，为垂足，设，则，由抛物线定义知，，过作，垂足为，则易得，所以，直角三角形中，，，此时直线倾斜角为60°，由对称性，直线倾斜角也可为120°.故答案为：60°或120°方法二：由的。由对称性，直线倾斜角也可为120°.故答案为：60°或120°【题型七】抛物线切线【典例分析】过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点．【答案】答案见解析.【分析】根据两切线方程分别为：，，且均过均过点P，可知弦AB方程为：.【详解】以（p＞0）为例说明．设点是抛物线上的任意一点，则过点且与抛物线相切的直线方程为，联立得：，因为二者相切，所以，即，化简得：，又，代入得：，即抛物线在处的切线方程为.设准线上任一点，切点分别为、，则切线方程分别为：，两切线均过点P，则满足，．故过两切点的弦AB方程为：，则弦AB过焦点．【提分秘籍】基本规律抛物线切线有如下结论与性质：1.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点．3.点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：．【变式演练】1.已知是抛物线：上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为4，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则（

）A． B．1 C．16 D．【答案】B【分析】先通过抛物线的定义求出抛物线的方程，再设，然后求出并化简，然后求出直线AB的方程并代入抛物线方程，最后结合根与系数的关系求得答案.【详解】如示意图，由抛物线的定义可知点M到抛物线准线的距离为4，则，即抛物线，则.设，则.由，则，所以，，因为点在这两条直线上，所以，于是点A,B都在直线上，即，代入抛物线方程并化简得：，由根与系数的关系可知.于是.故选：B.2.过点作抛物线的切线，，切点分别为，，若的重心坐标为，且P在抛物线上，则的焦点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知设切点坐标为，，利用导数写出切线，的方程，联立求出交点坐标，，代入重心坐标公式利用已知条件可求出的坐标为，再代入抛物线方程，求出，进而求的焦点坐标．【详解】设切点坐标为，，由，得，所以，故直线的方程为，即，同理直线的方程为，联立，的方程可得，，设的重心坐标为，则，，即所以，则的坐标为，将点坐标代入抛物线，得到，解得，故的焦点坐标为.故选：A.【题型八】最值范围1：线段型最值【典例分析】已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，点为直线上的动点，我们可以通过找对称点的方法求解两条线段之和的最小值，则的最小值为（

）A．8 B． C． D．【答案】D【分析】由题意，知抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，设关于直线的对称点，，利用两点之间线段最短，可知的最小值等于，再利用两点之间的距离即可求解.【详解】由题意，知抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，点在抛物线上，点为直线上的动点，设关于直线的对称点，作图如下，利用对称性质知：，则即点在位置时，的值最小，等于，利用两点之间距离知，则的最小值为故选：D.【提分秘籍】基本规律抛物线线段型最值，可转化为：1.利用定义和焦半径公式，把到焦点距离转化为到准线距离，或者把到准线距离转化为到焦点距离2.设抛物线上点坐标，结合题意构造距离函数式求范围最值【变式演练】1..抛物线与圆交于、两点，圆心，点为劣弧上不同于、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【解析】求出圆心坐标，可得抛物线的焦点，过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得，故的周长为，联立圆与抛物线可得B点坐标，可得的取值范围，可得答案.【详解】解：如图，可得圆心也是抛物线的焦点，过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得故的周长，由可得，.的取值范围为的周长的取值范围为。故选：.2.抛物线的焦点为F，准线为，A、B是抛物线上的两个动点，且满足.设线段AB的中点M在上的投影为N，则的最大值是A． B．1 C． D．【答案】B【详解】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab，配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值为1．故选B．3.已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，则的最小值为（

）A． B． C．8 D．5【答案】A【分析】根据给定条件，求出点Q的横坐标，再借助抛物线的定义求解作答.【详解】抛物线的焦点，准线，直线：，由消去y并整理得：，设，则，线段AB的中点Q的横坐标，过点Q作准线的垂线，垂足为D，交抛物线C于点P，连PF，如图，于是，在抛物线C上任取点，过作准线的垂线，垂足为，连，则有，当且仅当点与点P重合时取等号，所以的最小值为.故选：A【题型九】最值范围2：面积型最值【典例分析】已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接，则，而，所以当最小时，四边形的面积最小，再抛物线的定义转化为点到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果【详解】如图，连接，圆：，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则．又，所以当四边形的面积最小时，最小．过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，当点与坐标原点重合时，最小，此时．故．故选：C【变式演练】1.已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是________.【答案】3【解析】由＝2可得点A，B的坐标之间的关系，再用点A，B的坐标表示直线的方程，进而可求直线AB与x轴的交点坐标。将△ABO分割成△ACO与△CBO两个小三角形，进而用A，B的坐标表示△ABO与△AFO面积的和，再结合点A，B的坐标之间的关系化简，进而利用基本不等式即可求解。【详解】如图，可设A(m2，m)，B(n2，n)，其中m＞0，n＜0，则＝(m2，m)，＝(n2，n)，＝m2n2＋mn＝2，解得mn＝1(舍)或mn＝－2.∴lAB：(m2－n2)(y－n)＝(m－n)(x－n2)，即(m＋n)(y－n)＝x－n2，令y＝0，解得x＝－mn＝2，∴C(2,0).S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×m＋×2×(－n)＝m－n，S△AOF＝××m＝m，则S△AOB＋S△AOF＝m－n＋m＝m－n＝m＋≥，当且仅当，即m=时等号成立.故△ABO与△AFO面积之和的最小值为3.2.已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：据题意得，设，则，或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为.3.已知为抛物线的焦点，点都是抛物线上的点且位于轴的两侧，若(为原点)，则和的面积之和的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先设出直线方程，代入抛物线方程，利用根系关系及平面向量数量积坐标公式得到，再计算和的面积之和，利用均值不等式求其最小值即可.【详解】设直线的方程为，，，.，解得：或.因为位于轴的两侧，所以.即：，.设点在轴的上方，则，，.当且仅当时，即时，取“”号.所以和的面积之和的最小值为.故选：A【题型十】抛物线与圆【典例分析】在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px()的焦点为F，直线x=3与抛物线C交于A，B两点，｜AF|=4，圆E为的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知及抛物线的定义，可求，进而得抛物线的方程，可求，，的坐标，直线的方程，可得圆的半径，求得圆心，设的坐标，求得的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围．【详解】解：由题意，设，所以，解得，所以抛物线的方程为，，，，所以直线的方程为，设圆心坐标为，，所以，解得，即，圆的方程为，不妨设，设直线的方程为，则，根据，解得，由，解得，设，所以，因为，所以．故选：B．【提分秘籍】基本规律抛物线与圆的综合题型，多从以下几方面入手：1.圆外一点与圆上一点距离，多转化为与圆心的距离2.抛物线上点与焦点（或者准线）距离，多转化为与准线（或焦点）的距离。3.利用圆的方程与抛物线的方程，可以设点坐标计算。【变式演练】1.已知抛物线的准线与圆只有一个公共点，设是抛物线上一点，为抛物线的焦点，若（为坐标原点），则点的坐标是（

）A．或 B．或C． D．【答案】B【分析】先求出抛物线的焦点，根据抛物线的方程设，则，，再由，可求得的值，即可得答案.【详解】解：抛物线的准线方程为．方程可化为．由题意，知圆心到准线的距离，解得，所以抛物线的方程为，焦点为．设，则，，所以，解得，所以点的坐标为或．故选B．2..抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点做直线与此抛物线交于，两点，若，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根据抛物线标准方程，得到焦点坐标和准线方程，设出直线方程，联立抛物线方程，整理得到关于的一元二次方程，根据垂直，得到点的横坐标，根据韦达定理，得到的横坐标，在由抛物线的定义，可得答案.【详解】由，则焦点，且准线方程为直线，即，设过点的直线方程为，联立抛物线可得：，消去可得：，化简得：，因为，且直线过点，所以，即点位于以线段为直径的圆上，易知以线段为直径的圆的方程为，将代入上式，可得，解得，（舍去），则点的横坐标，设点的横坐标，由韦达定理可得：，则，根据抛物线的定义，可得，，则，故选：B3.已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】根据已知条件先求得抛物线的焦点和准线方程，过点作，垂足为点，求得圆的圆心和半径，运用圆外一点到圆上的点的距离的最值和抛物线的定义，结合基本不等式，即可得到所求最小值.【详解】如图：抛物线的准线方程为，焦点，过点作，垂足为点，由抛物线的定义可得,圆的圆心为，半径，可得的最大值为，由，可令，则，即，可得：，当且仅当时等号成立，即，所以的最小值为故选：C【题型十一】抛物线与椭圆【典例分析】已知抛物线的焦点F是椭圆的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A、B两点，若是正三角形，则椭圆的离心率为A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意画出几何图形,由椭圆和抛物线的对称性可知AB与轴交于椭圆的另一焦点,则.根据正三角形性质可得结合椭圆定义,可由勾股定理求得椭圆的离心率.【详解】由题意可知,画出几何图形如下图所示:由椭圆与抛物线的对称性可知,AB与轴交于椭圆的另一焦点,则.由椭圆定义可知,且为正三角形。所以则由正三角形性质可知为直角三角形。所以即,化简可得。所以故选:C【变式演练】1.已知椭圆的半焦距为，左焦点为，右顶点为，抛物线与椭圆交于，两点，若四边形是菱形，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由椭圆方程求出和的坐标，由对称性设出，的坐标，根据菱形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出的纵坐标，将点的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率的方程，即可得到该椭圆的离心率.【详解】由题意得，椭圆（，为半焦距），的左焦点为，右顶点为，则，，抛物线于椭圆交于，两点，，两点关于轴对称，可设，，四边形是菱形，，，则，将代入抛物线方程得，，，则不妨设，再代入椭圆方程，化简得，由，即有，解得或（舍去），故选：C.2.已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上．在△PAB中，，当m取最小值时，点P恰好在以A，B为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为________．【答案】【分析】作垂直于准线于H，然后结合抛物线的定义可以得到，进一步判断出当直线AP与抛物线相切时，PAH最小，然后结合直线与抛物线相切求得答案.【详解】如图，作垂直于准线于H，∵，∴，根据抛物线的定义有，∴，当m最小时，最小.故当直线AP与抛物线相切时，PAH最小．易知点A（0，2），设直线AP方程为，联立，，．此时，椭圆中，椭圆离心率．故答案为：.3.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若是线段的中点，则椭圆的方程为__．【答案】【分析】根据题意，求出抛物线的焦点为，可得椭圆的焦点在轴上，且，可以设该椭圆的标准方程为：，则，①，由点差法进行分析：设出、的坐标，代入椭圆的方程可得②，③，②③可得：④，再结合直线的斜率以及、的中点坐标，计算可得的值，结合可得的值，将、的值代入椭圆的标准方程即可得答案．【详解】解：根据题意，抛物线的焦点为，则椭圆的焦点在轴上，且，可以设该椭圆的标准方程为：，则，①设点坐标为，，点坐标为，，有②，③，②③可得：④，又由直线的斜率为，则，的中点的坐标为，则、，代入④中，可得，又由，则，，故要求椭圆的标准方程为：；故答案为：．【题型十二】抛物线与双曲线【典例分析】已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，借助双曲线求出抛物线焦点F的坐标，再结合抛物线定义及几何意义求解最值作答.【详解】双曲线的渐近线，右焦点，依题意，，解得，因此抛物线的焦点为，方程为，其准线为，由消去x并整理得：，，即直线与抛物线相离，过点F作于点P，交抛物线于点M，过M作于点Q，交直线于点N，则有，在抛物线上任取点，过作于点，作于点，交准线于点，连，如图，显然，当且仅当点与点重合时取等号，所以抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为.故选：D【变式演练】1.已知点F为抛物线的焦点，，点M为抛物线上一动点，当最小时，点M恰好在以A，F为焦点的双曲线C上，则双曲线C的渐近线斜率的平方是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题可知与抛物线相切时，取得最小值，求出点的坐标，利用双曲线定义求出2a，结合，可求得，再利用求得结果.【详解】由抛物线的对称性，不妨设为抛物线第一象限内点，如图所示：故点作垂直于抛物线的准线于点B，由抛物线的定义知，易知轴，可得。当取得最大值时，取得最小值，此时与抛物线相切，设直线方程为：，联立，整理得，其中，解得：，由为抛物线第一象限内点，则，则，解得：，此时，即或。所以点的坐标且由题意知，双曲线的左焦点为，右焦点为。设双曲线的实轴长为2a，则，，又，则，故渐近线斜率的平方为。故选：B2.已知双曲线的左，右焦点分别为，抛物线与双曲线有相同的焦点．设为抛物线与双曲线的一个交点，且,则双曲线的离心率为A．或 B．或3 C．2或 D．2或3【答案】D【解析】不妨设在第一象限，过作直线的垂线，垂足为，利用可设，，且有，，从而利用焦半径公式得到，从中解出可得双曲线的离心率.【详解】不妨设在第一象限且，则，，过作直线（抛物线的准线）的垂线，垂足为，则，故，因为直角三角形，故可设，且，所以，解得或，若，则，；若，则，；综上，选D.3.已知抛物线：的焦点恰好是双曲线的右焦点，且与的交点的连线过点，设双曲线的渐近线的斜率为，则的值为___________.福建省龙岩市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题【答案】【解析】设与交点为.则轴，由焦点重合可得，求得，可得，平方后化简，结合换元法可得的值，进而可得答案.【详解】设与交点为.则轴。，∴，∴，时可得，由得∴，∴∴。∴令∴。∴∴。∴。故答案为：.1．（2007·全国·高考真题（理））焦点在，顶点在的抛物线方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对于AB，将顶点代入方程即可排除；对于CD，利用函数图像平移的性质及抛物线的标准方程检验即可.【详解】对于A，因为顶点是抛物线上的点，故将代入可得，故A错误；对于B，同理，将代入得，故B错误；对于C，易知的图像是由的图像向右平移一个单位得到的，而的焦点为，向右平移一个单位后，焦点为，显然不满足题意，故C错误；对于D，易知的图像是由的图像向右平移一个单位得到的，而的焦点为，顶点为，向右平移一个单位后，焦点为，顶点为，满足题意，故D正确.故选：D.2．（辽宁·高考真题（文））已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为

A． B． C． D．【答案】C【分析】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，则可利用几何性质得到，故可得到轴的距离.【详解】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，因为是该抛物线上的两点，故，所以，又为梯形的中位线，所以，故到轴的距离为，故选C.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.3．（·山东·高考真题（文））抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则A． B． C． D．【答案】D【详解】画图可知被在点M处的切线平行的渐近线方程应为，设，则利用求导得又点共线，即点共线，所以，解得所以【考点定位】本题考查了抛物线和双曲线的概念、性质和导数的意义，进一步考查了运算求解能力.这一方程形式为导数法研究提供了方便，本题“切线”这一信号更加决定了“求导”是“必经之路”.根据三点共线的斜率性质构造方程，从而确定抛物线方程形式,此外还要体会这种设点的意义所在.4．（海南·高考真题（理））已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为A． B． C． D．【答案】A【解析】根据抛物线安的方程求出焦点坐标，由抛物线的性质，得到和三点共线且点在中间时距离和最小，由此求出纵坐标，代入抛物线的方程，即可求解．【详解】由题意，抛物线的方程为，所以，所以焦点，过点作准线的垂线，垂足为，由,依题意可知当和三点共线且点在中间时距离和最小，如图所示，故点的纵坐标为，代入抛物线的方程，求得，所以点，故选A．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程，及抛物线的几何性质的应用，其中解答中由抛物线的性质，当和三点共线且点在中间时距离和最小是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．（·浙江·高考真题（理））若椭圆的左、右焦点分别为、，线段被抛物线的焦点分成的两段，则此椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】抛物线的焦点坐标为，根据题意可以得到椭圆中关于的等量关系，代入椭圆的离心率公式，化简即可求得椭圆的离心率【详解】设抛物线的焦点为，则点坐标为，由题得：，所以，，所以，，所以椭圆离心率故选：D6．（全国·高考真题（文））如果抛物线的准线方程是，那么这条抛物线的焦点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】是由抛物线向左平移一个单位长度得到，则抛物线方程转化为标准方程，问题得以解决．【详解】抛物线可由抛物线向左平移一个单位长度得到，因为抛物线的准线方程是，可得抛物线的准线方程是，且焦点坐标为，那么抛物线的焦点坐标为．故选：C．7．（湖北·高考真题（理））双曲线的左准线为l，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的准线为l，焦点为；与的一个交点为M，则等于（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】利用抛物性的定义和双曲线的定义可求的值.【详解】过作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义可得，设，则，故，故，又，故即，故，故，故选：A.8．（山东·高考真题（文））已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为A． B．C． D．【答案】B【详解】∵y2=2px的焦点坐标为,∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.9．（湖北·高考真题（文））将两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则（）A．n=0 B．n=1 C．n=2 D．n≥3【答案】C【详解】结合图象可知，过焦点且斜率为和－的直线与抛物线各有两个交点，所以能够构成两个正三角形，且不难看出符合题意的正三角形有且仅有两个．10．（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.【答案】【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.【详解】抛物线：()的焦点,∵P为上一点，与轴垂直，所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,不妨设,因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，又，因为，所以,，所以的准线方程为故答案为：.【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.11．（2017·天津·高考真题（文））设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为____________.【答案】【详解】设圆心坐标为，则，焦点，，，，由于圆与轴得正半轴相切，则取，所求圆得圆心为，半径为1，所求圆的方程为.12．（2018·全国·高考真题（理））已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．【答案】2【分析】利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.【详解】详解：设则所以所以取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为因为,，因为M’为AB中点，所以MM’平行于x轴因为M(-1,1)所以，则即故答案为2.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设，利用点差法得到，取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质得到，进而得到斜率．1．已知抛物线的焦点为F，抛物线上的任意一点P到焦点F的距离比到直线的距离少，过焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，直线，与直线分别相交于M，N两点，O为坐标原点，若，则直线的斜率为（

）A．1或 B．1或2 C．或2 D．【答案】A【分析】由条件结合抛物线定义求出抛物线方程，设直线方程，并与抛物线方程联立求出的坐标的关系，再通过联立方程组求出的坐标，结合的坐标的关系列方程求出直线的斜率.【详解】因为抛物线的焦点为，抛物线上的任意一点到焦点的距离比到直线的距离少，所以抛物线上的任意一点到焦点的距离与到直线的距离相等，由抛物线的定义知，即，所以抛物线的方程为．，当直线的斜率为时，直线与抛物线有且只有一个交点，不满足要求，故可设的方程为，，．联立方程组整理得，方程的判别式，由韦达定理知，．直线的方程为，联立方程组所以，因为，所以点的坐标为，同理，．因为都在直线上，所以，又由，有，解得或，故直线的斜率为1或．故选：A．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．2．已知抛物线的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以为直径的圆与y轴交于D，E两点，且，则直线l的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设的中点为M，根据求出r，进而得到M点横坐标；再设直线，由韦达定理得到k与M横坐标的关系，进而求出k．【详解】设的中点为M，轴于点N，过A，B作准线的垂线，垂足分别为，如下图：由抛物线的定义知，故，所以，即，解得或（舍去），故M的横坐标为，设直线，将代入，得，则，解得，故直线l的方程为．故选：C．【点睛】本题解题的关键是要抓住圆的两要素：圆心和半径，用圆心的横坐标得到斜率的等量关系．3．已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，借助双曲线求出抛物线焦点F的坐标，再结合抛物线定义及几何意义求解最值作答.【详解】双曲线的渐近线，右焦点，依题意，，解得，因此抛物线的焦点为，方程为，其准线为，由消去x并整理得：，，即直线与抛物线相离，过点F作于点P，交抛物线于点M，过M作于点Q，交直线于点N，则有，在抛物线上任取点，过作于点，作于点，交准线于点，连，如图，显然，当且仅当点与点重合时取等号，所以抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为.故选：D【点睛】思路点睛：涉及抛物线上的点到定点与到焦点距离和或到定直线与准线距离和的最小值问题，利用抛物线定义转化求解即可.4．已知抛物线：的焦点为，是上位于第一象限内的一点，若在点处的切线与轴交于点，且，为坐标原点，则直线的斜率为（

）A．

B．

C．

D．1【答案】C【分析】设，根据导数的几何意义可得切线的方程，结合抛物线的定义可得，从而得到直线的倾斜角为，得出，代入再计算直线的斜率即可.【详解】设，因为：，故，故切线的方程为，即，故.又由抛物线的定义可得，且，故，故，故直线的倾斜角为.所以，即，故.所以直线的斜率为.故选：C5．过点作抛物线的切线，，切点分别为，，若的重心坐标为，且P在抛物线上，则的焦点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知设切点坐标为，，利用导数写出切线，的方程，联立求出交点坐标，，代入重心坐标公式利用已知条件可求出的坐标为，再代入抛物线方程，求出，进而求的焦点坐标．【详解】设切点坐标为，，由，得，所以，故直线的方程为，即，同理直线的方程为，联立，的方程可得，，设的重心坐标为，则，，即所以，则的坐标为，将点坐标代入抛物线，得到，解得，故的焦点坐标为.故选：A.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相切问题，三角形重心的坐标公式以及抛物线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题.6．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px()的焦点为F，直线x=3与抛物线C交于A，B两点，｜AF|=4，圆E为的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知及抛物线的定义，可求，进而得抛物线的方程，可求，，的坐标，直线的方程，可得圆的半径，求得圆心，设的坐标，求得的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围．【详解】解：由题意，设，所以，解得，所以抛物线的方程为，，，，所以直线的方程为，设圆心坐标为，，所以，解得，即，圆的方程为，不妨设，设直线的方程为，则，根据，解得，由，解得，设，所以，因为，所以．故选：B．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是：首先求出圆的方