题型08 手把手教学答题模板之4类函数单调性与函数极值最值-高考数学必考模型归纳

题型08手把手教学答题模板之4类函数单调性与函数极值最值技法01技法01具体函数的单调性技法02含参函数且导函数可分解型函数的单调性技法03含参函数且导函数不可分解型函数的单调性技法04二阶导函数求函数的单调性技法05函数的极值最值技法01具体函数的单调性函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在研究函数图象、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而具体函数的单调性是要掌握的基础知识点知识迁移导函数与原函数的关系，单调递增，单调递减例1-1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数，讨论的单调性【详解】的定义域为．由得，，令，则，当时；当时，．故在区间内为增函数，在区间内为减函数，例1-2．（全国·高考真题）已知函数．若，求的单调区间【详解】当a=3时，，．令解得x=或x=．当时，当时．所以函数的增区间是和，减区间是．1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．当时，讨论的单调性（2022·浙江·统考高考真题）设函数．求的单调区间3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．当时，讨论的单调性4．（2021·全国·统考高考真题）已知且，函数．当时，求的单调区间5．（2020·全国·统考高考真题）已知函数，当a=1时，讨论f（x）的单调性技法02含参函数且导函数可分解型函数的单调性函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高考中的难点例2-1．（2023·河北唐山模拟）已知函数．讨论的单调性；【详解】因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.例2-2．（2023·全国·模拟预测）已知函数．讨论函数的单调性．【详解】由题意函数的定义域为．当时，若，则单调递增；若，则单调递减．当时，令，得或．①当时，，则在上单调递增．②当时，，则当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增．③当时，，则当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增．综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．例2-3．（2023·广西南宁·统考模拟预测）已知函数，讨论的单调性；【详解】对求导得，，分以下两大情形来讨论的单调性：情形一：当时，有，令，解得，所以当时，有，此时单调递减，当时，有，此时单调递增；所以在单调递减，在单调递增；情形二：当时，令，解得，接下来又分三种小情形来讨论的单调性：情形（1）：当时，有，此时随的变化情况如下表：由上表可知在和上单调递增，在上单调递减；情形（2）：当时，有，此时，所以此时在上单调递增；情形（3）：当时，有，此时随的变化情况如下表：由上表可知在和上单调递增，在上单调递减.综上所述：当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，讨论的单调性．2．（2023·全国·模拟预测）已知函数．讨论的单调性；3．（2023·全国·模拟预测）已知，讨论函数的单调性.4．（2021·浙江·统考高考真题）设a，b为实数，且，函数，求函数的单调区间；5．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性6．（2023·全国·模拟预测）已知函数，讨论的单调性技法03含参函数且导函数不可分解型函数的单调性函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高考中的难点例3-1．（2023·福建三明·统考三模）已知函数，讨论的单调性；【详解】定义域为，因为，所以.令，则，所以，当时，，此时，所以在上单调递减.当时，令，则，所以当时，，即在上单调递减.当时，令，则，所以当时，，即在和上单调递减，当时，，即在上单调递增.综上所述：当时，在上单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增例3-2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数．讨论的单调性；【详解】(1)由函数的解析式可得：，导函数的判别式，当时，在R上单调递增，当时，的解为：，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；综上可得：当时，在R上单调递增，当时，在，上单调递增，在上单调递减.1．（2023·四川绵阳·统考二模）已知，讨论的单调性；2．（2023·福建·校联考模拟预测）设函数（），讨论的单调性；3．（2023·广西·模拟预测）已知（）．讨论的单调性；技法04二阶导函数求函数的单调性在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题，若遇这类问题，必须“再构造，再求导”在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题，若遇这类问题，必须“再构造，再求导”，因此函数的二阶导数的应用尤为重要。例4-1．（2023·江苏·统考二模）已知函数，，若，求函数的单调区间【详解】，，，恒成立，所以在递增.所以当，；，所以函数的单调减区间是，单调增区间是.例4-2．（2021春·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数．当时，求函数的单调性．【详解】令，则．令，得；令，得．在上单调递减，在上单调递增．，，，当时，，即．当且仅当时等号成立，当时，函数单调递减．1．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）已知函数.若，讨论的单调性；2．（2022·全国·高三专题练习）设函数，其中当时，讨论单调性；技法05函数的极值最值导数及其应用是中学数学的核心内容,也是每年高考考查的重点和热点,无论是客观题还是解答题，多数情况下处于压轴题的位置，起着“把关定向”的作用.高考数学“成也导数，败也导数”是导数试题重要性的真实写照.极值和最值是函数的两条最重要的性质，用导数研究函数的极值和最值更是高考命题考查的热点导数及其应用是中学数学的核心内容,也是每年高考考查的重点和热点,无论是客观题还是解答题，多数情况下处于压轴题的位置，起着“把关定向”的作用.高考数学“成也导数，败也导数”是导数试题重要性的真实写照.极值和最值是函数的两条最重要的性质，用导数研究函数的极值和最值更是高考命题考查的热点知识迁移极值的定义在处先↗后↘，在处取得极大值在处先↘后↗，在处取得极小值例5-1．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．【详解】因为，则，由题意可得，解得，故，，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.当时，；当时，.所以，，.例5-2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数和有相同的最小值．求a【详解】的定义域为，而，若，则，此时无最小值，故.的定义域为，而.当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，故.当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，故.因为和有相同的最小值，故，整理得到，其中，设，则，故为上的减函数，而，故的唯一解为，故的解为.综上，.例5-3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数，若在存在极值，求a的取值范围.【详解】由函数的解析式可得，由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;令，则，令，在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，当时，，在区间上单调递减，此时，在区间上无零点，不合题意;当，时，由于，所以在区间上单调递增，所以，在区间上单调递增，，所以在区间上无零点，不符合题意；当时，由可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故的最小值为，令，则，函数在定义域内单调递增，，据此可得恒成立，则，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，故，即(取等条件为)，所以，，且注意到，根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.当时，，单调减，当时，，单调递增，所以.令，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以，