中考数学几何专项冲刺专题04垂直模型巩固练习（基础）含答案及解析

垂直模型巩固练习（基础）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D．求AD的长．2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若∠B＝60°，CD＝，求AB的长．3．如图，在Rt△ABC中，BC＝1，∠A＝30°．（1）求AB的长度：（2）过点A作AB的垂线，交AC的垂直平分线于点D，以AB为一边作等边△ABE．①连接CE，求证：BD＝CE；②连接DE交AB于F．求的值．4．如图，AB是半径为2的⊙O的直径，直线m与AB所在直线垂直，垂足为C，OC＝3，点P是⊙O上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交m于M、N两点．（1）当点C为MN中点时，连接OP，PC，判断直线PC与⊙O是否相切并说明理由．（2）点P是⊙O上异于A、B的动点，以MN为直径的动圆是否经过一个定点，若是，请确定该定点的位置；若不是，请说明理由．5．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点O和点P是这个三角形内部两点．（1）如图①，如果点P是这个三角形三个内角平分线的交点，那么∠BPC和∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由；（2）如图②，如果点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，那么∠BOC和∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由；（3）如图③，如果点P（三角形三个内角平分线的交点），点O（三角形三边垂直平分线的交点）同时在不等边△ABC的内部，那么∠BPC和∠BOC有怎样的数量关系？请直接回答．6．如图，AB、CD、EF都垂直于直线l，AB＝12，EF＝7，BD：DF＝2：3，求CD的长．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上．（1）如图，若CE⊥AD于点E，求证：DC2＝DE•DA．（2）如图，线段AD的垂直平分线分别交AB，AC和AD于点F，G，P，若tan∠CAD＝，BD＝2CD，FG＝5，求线段AD的长度．8．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AB＝10，∠COD＝60°，求：（1）弦CD的长；（2）∠COE的度数；（3）线段BE的长（结果用根号表示）．9．如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC交于点E，交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB＝∠F．（Ⅰ）求证：FD与⊙O的相切；（Ⅱ）若AB＝10，AC＝8，求FD的长．10．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC于点M．求证：BN＝CM．11．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，使CE＝CD．（1）求证：DB＝DE；（2）尺规作图：过点D作DF垂直于BE，垂足为F；（保留作图留痕迹，不写作法）（3）若CF＝3，求△ABC的周长．12．如图，在△ABC中，AB＞AC，边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角∠BAM平分线于点D，垂足为E，DF⊥AB，垂足为F．求证：BF＝AC+AF．垂直模型巩固练习（基础）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D．求AD的长．【解答】【解析】过点C作CE⊥AD于点E，则AE＝DE，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，∴，∴，∴AD＝2AE＝．2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若∠B＝60°，CD＝，求AB的长．【解答】（1）见解析；（2）8【解析】（1）证明：连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠CAO，∴AC平分∠DAB．（2）连接BE交OC于点H．∵AB是直径，∴∠AEB＝∠ACB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠CAB＝∠DAC＝30°，∴∠EAB＝60°，∵∠DEH＝∠EDC＝∠DCH＝90°，∴四边形CDEH是矩形，∴EH＝CD＝，∠EHC＝90°，∴OC⊥EB，∴EH＝HB＝2，∴BE＝4，∴AB＝＝8．3．如图，在Rt△ABC中，BC＝1，∠A＝30°．（1）求AB的长度：（2）过点A作AB的垂线，交AC的垂直平分线于点D，以AB为一边作等边△ABE．①连接CE，求证：BD＝CE；②连接DE交AB于F．求的值．【解答】（1）2；（2）①见解析；②1【解析】（1）∵在Rt△ABC中，BC＝1，∠A＝30°．∴AB＝2BC＝2，（2）①连接CD，∵过点A作AB的垂线，交AC的垂直平分线于点D，∴AD＝CD，∠BAD＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠CAD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∵△ABE是等边三角形，∴AE＝AB，∠EAB＝60°，∴∠EAC＝90°，在△AEC与△ABD中，∴△AEC≌△ABD（SAS），∴CE＝BD；②∵DQ是AC的垂直平分线，∴QD∥BC，∴∠AQD＝∠ABC＝60°，2AQ＝AB∵∠QAD＝90°，∴QD＝2AQ＝AB，∵∠QFD＝∠EFA，∵QD∥AE∥BC，∴∠QDF＝∠AEF，∴△QFD∽△AFE，∴，∵AE＝AB，DQ＝AB，∴．4．如图，AB是半径为2的⊙O的直径，直线m与AB所在直线垂直，垂足为C，OC＝3，点P是⊙O上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交m于M、N两点．（1）当点C为MN中点时，连接OP，PC，判断直线PC与⊙O是否相切并说明理由．（2）点P是⊙O上异于A、B的动点，以MN为直径的动圆是否经过一个定点，若是，请确定该定点的位置；若不是，请说明理由．【解答】（1）直线PC与⊙O相切，理由见解析；（2）以MN为直径的一系列圆经过两个定点D和D'，此定点在C的距离都是【解析】（1）直线PC与⊙O相切，理由是：如图1，∵AC⊥MN，∴∠ACM＝90°，∴∠A+∠AMC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝∠NPM＝90°，∴∠PNM+∠AMC＝90°＝∠A+∠ABP，∴∠ABP＝∠AMC，∵OP＝OB，∴∠ABP＝∠OPB，Rt△PMN中，C为MN的中点，∴PC＝CN，∴∠PNM＝∠NPC，∴∠OPC＝∠OPB+∠NPC＝∠ABP+∠PNM＝∠AMC+∠PNM＝90°，即OP⊥PC，∴直线PC与⊙O相切；（2）如图2，设该圆与AC的交点为D，连接DM、DN，∵MN为直径，∴∠MDN＝90°，则∠MDC+∠NDC＝90°，∵∠DCM＝∠DCN＝90°，∴∠MDC+∠DMC＝90°，∴∠NDC＝∠DMC，则△MDC∽△DNC，∴，即DC2＝MC•NC∵∠ACM＝∠NCB＝90°，∠A＝∠BNC，∴△ACM∽△NCB，∴，即MC•NC＝AC•BC；即AC•BC＝DC2，∵AC＝AO+OC＝2+3＝5，BC＝3﹣2＝1，∴DC2＝5，∴DC＝，∵MN⊥DD'，∴D'C＝DC＝，∴以MN为直径的一系列圆经过两个定点D和D'，此定点在C的距离都是．5．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点O和点P是这个三角形内部两点．（1）如图①，如果点P是这个三角形三个内角平分线的交点，那么∠BPC和∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由；（2）如图②，如果点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，那么∠BOC和∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由；（3）如图③，如果点P（三角形三个内角平分线的交点），点O（三角形三边垂直平分线的交点）同时在不等边△ABC的内部，那么∠BPC和∠BOC有怎样的数量关系？请直接回答．【解答】（1）∠BPC＝90°+∠BAC，（2）∠BOC＝2∠BAC；（3）4∠BPC﹣∠BOC＝360°【解析】（1）∠BPC＝90°+∠BAC∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC；（2）∠BOC＝2∠BAC如图，连接AO．∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），＝2∠OAB+2∠OAC＝2∠BAC；（3）4∠BPC﹣∠BOC＝360°，∵点P为三角形三个内角平分线的交点，∴∠BPC＝90°+∠BAC由∠BAC＝2∠BPC﹣180°点O为三角形三边垂直平分线的交点∠BOC＝2∠BAC，∴∠BOC＝2（2∠BPC﹣180°）＝4∠BPC﹣360°，即4∠BPC﹣∠BOC＝360°．6．如图，AB、CD、EF都垂直于直线l，AB＝12，EF＝7，BD：DF＝2：3，求CD的长．【解答】10【解析】如图，作EH⊥AB于H，交CD于G．∵AB、CD、EF都垂直于直线l，∴AB∥CD∥EF，∵EH⊥AB，∴EH⊥CD，∴四边形EFBH是矩形，四边形EFDG是矩形，∴BH＝DG＝EF＝7，BD＝HG，DF＝EG，AH＝12﹣7＝5，∵BD：DF＝2：3，∴HG：EG＝2：3，∴EG：EH＝3：5，∵CG∥AH，∴，∴CG＝3，∴CD＝3+7＝10．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上．（1）如图，若CE⊥AD于点E，求证：DC2＝DE•DA．（2）如图，线段AD的垂直平分线分别交AB，AC和AD于点F，G，P，若tan∠CAD＝，BD＝2CD，FG＝5，求线段AD的长度．【解答】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：∵∠C＝90°，CE⊥AD，∴∠ACD＝∠CED＝90°，∵∠ADC＝∠CDE，∴△ADC∽△CDE，∴，∴DC2＝DE•DA；（2）过点B作MN∥AC，延长GF交MN于点M，延长AD交MN于点N，如图所示：设GP＝x，∵tan∠CAD＝，∴AP＝PD＝2x，∴AD＝4x，，∵tan∠CAD＝，∴AC＝2CD，AD2＝AC2+CD2＝4CD2+CD2＝5CD2＝（4x）2，∴CD＝x，∴AC＝x，∵MN∥AC，∴∠CAD＝∠BND，∠ACD＝∠NBD，∴△ADC∽△NDB，∴，∴ND＝2AD＝8x，BN＝2AC＝，同理，△APG∽△NPM，∴，即，∴MN＝5x，PM＝5x，∴BM＝，同理，△AFG∽△BFM，∴，即，∴FM＝9，∴PF＝GF﹣GP＝5﹣x，∴PM＝PF+FM，即5x＝5﹣x+9，解得：x＝，∴．8．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AB＝10，∠COD＝60°，求：（1）弦CD的长；（2）∠COE的度数；（3）线段BE的长（结果用根号表示）．【解答】（1）5；（2）∠COE＝30°；（3）5﹣【解析】（1）∵半径OC＝OD，即△OCD为等腰三角形，又∵∠COD＝60°，∴△OCD为等边三角形，∴CD＝OC＝AB＝5；（2）∵直径AB垂直于弦CD于E，∴CE＝ED，又∵OC＝OD，即OE为等腰△OCD的底边CD上的高，∴OE平分∠COD（三线合一），∵∠COD＝60°，∴∠COE＝30°；（3）在Rt△OCE中，∵＝cos∠COE，∴OE＝OC•cos∠COE＝5•cos30°＝，∴BE＝OB﹣OE＝5﹣．9．如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC交于点E，交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB＝∠F．（Ⅰ）求证：FD与⊙O的相切；（Ⅱ）若AB＝10，AC＝8，求FD的长．【解答】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）DF＝【解析】（Ⅰ）证明：∵∠CDB＝∠CAB，∠CDB＝∠BFD，∴∠CAB＝∠BFD，∴FD∥AC（同位角相等，两直线平行），∵∠AEO＝90°，∴∠FDO＝90°，∴FD是⊙O的一条切线；（Ⅱ）由垂径定理可知，E是弦AC的中点，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴，∵OA＝OB，∴OE＝BC＝3，∵AE∥DF，∴，∴，∴DF＝.10．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC于点M．求证：BN＝CM．【解答】见解析【解析】证明：∵PA平分∠BAC，PM⊥AC，PN⊥AB，∴PM＝PN，∠N＝∠PMC＝90°，∵PQ垂直平分线段BC，∴PB＝PC，∴Rt△PNB≌Rt△PMC（HL），∴BN＝MC．11．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，使CE＝CD．（1）求证：DB＝DE；（2）尺规作图：过点D作DF垂直于BE，垂足为F；（保留作图留痕迹，不写作法）（3）若CF＝3，求△ABC的周长．【解答】（1）见解析；（2）见解析；（3）36【解析】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°．∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E．又∵∠BCD＝∠CDE+∠E，∴．∴∠DBC＝∠E．∴DB＝DE．（2）如图所示．（3）∵DF⊥BE，由（1）知，DB＝DE，∴DF垂直平分BE．∴在Rt△DFC中，∠CDF＝90°﹣∠DCB＝90°﹣60°＝30°．∴DC＝2CF＝6．∵AD＝CD，∴AC＝2CD＝12．∴C△ABC＝3