2024-2025学年度苏科版八年级上期数学期末复习之一次函数新定义综合问题讲义-学生版

20242025学年度苏科版八年级上期数学期末复习之一次函数新定义综合问题典例一：在平面直角坐标系中，作如下定义；点的坐标为x1,y1，点的坐标为x2,y2，若，则称、两点为“同和点”．如图①，点、为“同和点”．(1)若点的坐标为．①在点，、中，是点的“同和点”的是________．（填“C”、“D”或“E”）②若点在轴上，且、两点为“同和点”，则点的坐标为________．(2)如图②，直线与轴、轴分别交于点、，点为线段上一动点．①若点与点为“同和点”，则点的坐标为________．②若存在点与点为“同和点”，求的取值范围．典例二：定义:对于一次函数,我们称函数为函数的“友好函数”.(1)若,试判断函数是否为函数的“友好函数”,并说明理由;(2)设函数与的图象相交于点M.①若,点M在函数的“友好函数”图象的上方,求p的取值范围;②若,函数的“友好函数”图象经过点M,是否存在大小确定的m值,对于不等于2的任意实数p,都有“友好函数”图象与x轴交点Q的位置不变?若存在,请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由.一、单选题1．定义新运算：，例如：，则下列关于函数的说法正确的是（

）A．点在函数图象上B．图象经过第一、三、四象限C．函数图象与轴的交点为D．若点、在函数图象上，则2．新定义：是一次函数（，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”是的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点A叫做“零点”，例如都是“零点”．当时，直线上有“零点”，则m的取值范围是（）A． B． C． D．4．对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．例如：．若关于x的函数为，则该函数的最小值是（

）A． B．0 C．5 D．75．定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法：①；②若，则或4；③的解集为或；④若函数的图象与直线（m为常数）只有1个交点，则．以上说法中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．46．定义：对于给定的一次函数（a，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．47．现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点，，将称作P、Q两点间的“拐距”，记作，即，已知点，动点B在直线上，横坐标为，当取得最小值时，应满足的条件是（

）A． B． C． D．8．定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“和二点”．例如：点到x轴、y轴距离和为2，则点B是“和二点”，点也是“和二点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和二点”，则k的取值范围为（

）A． B． C． D．9．在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点和点的关联值如下：若，，在一条直线上；若，，不在一条直线上．已知点坐标为，点坐标为，有下列结论：①；②若，，则点坐标为；③满足的点，都在一三象限角平分线和二四象限角平分线上；④若平面中任意一点满足，则满足条件的点的全体组成的图形面积为．其中，正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．410．等腰中，，记，周长为y，定义为这个三角形的坐标，如图所示，直线将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，所有正确结论的序号是（

）①对于任意等腰，其坐标不可能位于区域Ⅰ中；②对于任意等腰，其坐标可能位于区域Ⅳ中③若是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中；④图中点M所对应的等腰三角形的底边比点N所对应的等腰三角形的底边要长．A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①④二、填空题11．定义为一次函数的特征数，若特征数为的一次函数为正比例函数，则为．12．定义：若，满足，为常数）且对，则称点为“妙点”，比如点．若函数的图象上的“妙点”在第三象限，则的取值范围为．13．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为．线段上所有点的“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是．14．在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：如果那么称点为点的“关联点”，例如：点的“关联点”为点，的“关联点”为点．（1）点的“关联点”为，则．（2）如果点是一次函数图象上点的“关联点”，那么点的坐标为．15．定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”．例如，为一次函数的“阶和点”．（1）若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则；（2）若关于的一次函数的图象有且仅有个阶和点，则的取值范围为．16．对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于这个函数的所有函数值y，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．函数的边界值为．若函数（，）的边界值是5，且这个函数的最大值也是5，则b的取值范围为．17．定义：对于给定的一次函数（a，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“相对函数”．（1）若点在一次函数的“相对函数”图象上，则m的值是；（2）若点在一次函数的“相对函数”图象上，则n的值是．18．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为，（1）由定义可知，一次函数的“不动点”为；（2）若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标三、解答题19．当、为两个不相等的常数，且时，定义一次函数与互为“友好函数”．如：与互为“友好函数”．(1)点在的“友好函数”的图象上，求的值；(2)若点既是函数图象上的点，又是它的“友好函数”图象上的点，求点的坐标．20．定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“星辰函数”．(1)已知函数为函数、的“星辰函数”，求，的值；(2)在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点．过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点．①若，函数、的“星辰函数”图象经过点，求的值；②若，点在点的上方，求的取值范围．21．阅读理解：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”．解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点．(1)已知3个点：，则这三点中，可以做线段的“等距点”是，线段的“完美等距点”是；(2)若坐标原点O为线段AP的“等距点”，求出点P的坐标；(3)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标；(4)当m>0，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标．22．已知直线．(1)当为何值时，直线经过原点？(2)若直线不经过原点，设直线与轴交于点，与轴交于点，当为何值时，，并求出此时的面积；(3)定义：在平面直角坐标系中，若某个点到轴、轴的距离之和为2，则称该点为“元元点”，如点，，都是“元元点”．若直线上至少有一个“元元点”，求的取值范围．23．定义：在平面直角坐标系中，对于点Mx,y和点当时，，当时，则称点N为点M的变换点．例如：点变换点的坐标是，点−3,2变换点的坐标是．(1)则点的变换点的坐标是；(2)已知点M在函数的图象上，点M的变换点N的纵坐标为5，求点M的坐标．(3)已知点M在函数的图象上，其变换点N的纵坐标的取值范围是，求k的取值范围．24．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为．(1)由定义可知，一次函数的“亮点”为___________．(2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值．(3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“亮点”，点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标．25．在平面直角坐标系中，对于线段，给出如下定义：直线经过线段的一个端点，直线经过线段的另一个端点，若直线与交于点，且点不在线段上，则称点为线段的“双线关联点”．(1)已知，线段的两个端点分别为和，则在点，中，线段的“双线关联点”是___________：(2)是直线上的两个动点．①点是线段的“双线关联点”，其纵坐标为，直接写出点的横坐标___________；②正方形的四个顶点的坐标分别为，其中．若所有线段的“双线关联点”中，有且仅有两个点在正方形的边上，直接写出的取值范围___________．26．在平面直角坐标系中，对于点A和点B，给出如下定义：若，则称B为A的雅值点，例如：点的雅值点为点．(1)点的雅值点坐标是；若点A的雅值点为，则点A的坐标是；(2)如图1，点C、点D是y轴上的动点，若点D的雅值点E在直线上，的面积为，求点C的坐标；(3)点M是直线y=2x上一点，点N是点M的雅值点，若x轴上存在点P，使得是等腰直角三角形且，请求出满足条件的P点坐标．27．平面直角坐标系中