532极大值与极小值课件-高二下学期数学人教A版选择性

5.3.2第5章<<<极大值与极小值问题情境提示在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷.如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？问题1提示以山峰x＝x1处为例来研究，在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，且有f′(x)>0，在x＝x1处的右侧函数是单调递减的，且有f′(x)<0，函数图象是连续不断的，f′(x)的变化也是连续不断的，并且有f′(x1)＝0.你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？问题2极值的概念一般地，若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有f(x)≤f(x1)，则称f(x1)为函数

f(x)的一个_______,其中

x1为函数y=f(x)的

;

当x∈(x2－δ，x2＋δ)时，都有f(x)≥f(x2)，则称f(x2)为函数f(x)的一个_______,其中

x2为函数y=f(x)的

；

函数的极大值、极小值统称为函数的______，函数的极大值点、极小值点统称为函数

.极大值

极小值极值极大值点

极小值点

极值点判断正误(1)函数的极值点是点.()(2)函数y＝f(x)一定有极大值和极小值.()(3)函数的极大值一定大于极小值.()(4)在定义域上单调的函数没有极值.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√

注

意

点<<<↑↑↑↑

2.函数的极值与导数的关系左正右负左负右正

反思感悟思考：若

，则

一定是函数的极值点吗？结论：若函数

为可导函数，则有为函数

的极值点

函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y＝f(x)在区间(3,5)上单调递增；例

1③函数y＝f(x)在区间(－2,2)上单调递增；⑤当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值.则上述判断中正确的序号是______.③⑤对于①，当x∈(3,4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(4,5)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以①错误；当x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以②错误；对于③，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以③正确；对于⑤，由②知当x＝2时，函数y＝f(x)取得极大值，所以⑤正确.

已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为A.1

B.2

C.3

D.4跟踪训练

1√由图象，设f′(x)与x轴负半轴的两个交点的横坐标分别为c，d，其中c<d，知在区间(－∞，c)，(d，b)上f′(x)≥0，所以此时函数f(x)在区间(－∞，c)，(d，b)上单调递增，在区间(c，d)上，f′(x)<0，此时f(x)在区间(c，d)上单调递减，所以x＝c时，函数取得极大值，x＝d时，函数取得极小值.则函数y＝f(x)的极小值点的个数为1.例

2求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值.函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如表所示：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值f(－1)↘极小值f(3)↗∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，f(－1)＝10.当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，f(3)＝－22.且f(3)＝－22.

反思感悟(1)确定函数的定义域.(2)求方程f′(x)＝0的根.(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况.函数极值和极值点的求解步骤

反思感悟试一试：你能尝试画出函数

f(x)＝x3－3x2－9x＋5的大致图像吗？

跟踪训练

21.（1）求函数的极值.∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2).令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗跟踪训练

2且f(x)在区间(－