湖南省娄底市涟源市部分学校2024-2025学年高一上学期选科考试（12月）数学试题

2024年下学期湖南省涟源市部分学校高一选科考试数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合的定义求解即可.【详解】，故.故选：D2.函数的零点所在区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案.【详解】在上单调递增，，所以的零点在区间.故选：B3.若函数，则f(f(10)=A.lg101 B.2 C.1 D.0【答案】B【解析】【详解】因为，所以.所以,故选B.【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式.4.在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据单位圆及正弦函数的定义得解.【详解】由题意，，解得，所以，故选：D5.函数图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求函数定义域，排除A，再根据函数奇偶性排除B，再通过特殊值排除D得答案.【详解】函数的定义域为且，排除A项；∵，∴是奇函数，排除C项；再取特殊值当时，，排除D项.故选：B.【点睛】本题考查已知函数解析式选函数图象问题，考查函数的定义域，奇偶性，函数值等性质，是中档题.6.生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把已知代入丰富度指数公式，然后两式消去后，由对数运算可得结论．【详解】由已知，，所以，即，∴，故选：D．7.若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数取值范围是（）A. B.或C. D.或【答案】D【解析】【分析】首先将原问题转化为，再利用基本不等式的知识求出的最小值即可.【详解】不等式有解，，，，当且仅当，等号成立，，，，实数的取值范围是．故选：D．8.已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将函数有四个不同的零点，转化为函数与图象由四个交点，再数形结合即可解答.【详解】依题意，函数有四个不同的零点，即有四个解，转化为函数与图象由四个交点，由函数函数可知，当时，函数单调递减函数，；当时，函数为单调递增函数，；当时，函数为单调递减函数，；当时，函数为单调递增函数，；结合图象，可知实数的取值范围为.故选：A二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列说法正确的是（）A.小于的角是锐角B.与终边相同的角可表达为，C.钝角是第二象限角D.经过4小时，时针转了【答案】BCD【解析】【分析】对A，根据任意角与锐角的定义判断即可；对B，根据弧度与角的关系判断即可；对C，根据钝角的定义判断即可；对D，根据4小时时钟的旋转角度占时钟一周角的比例，结合角度的定义判断即可.【详解】对A，小于的角还包括和负角度的角，故A错误；对B，，其终边与角相同，又，也为终边与角相同的角，故B正确；对C，钝角是第二象限角，故C正确；对D，时钟旋转为顺时针，故经过4小时，时针转了，故D正确.故选：BCD10.下列说法正确的是（）A.命题“”的否定是“”B.是的必要不充分条件C.的单调减区间为D.函数且的图象恒过定点.【答案】ABD【解析】【分析】根据命题否定形式可得A正确，再由充分、必要条件定义可得B正确，由幂函数性质可得C错误，根据指数函数图象性质可判断D正确.【详解】对于A，易知命题“”的否定是“”，故A正确；对于B，不能推出，充分性不成立，能推出，必要性成立，故是的必要不充分条件，故B正确；对于C，fx=1x的单调减区间为对于D，由且可令，解得，又，故函数的图象恒过定点，故D正确.故选：ABD11.已知，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】由基本不等式判断AB选项，由不等式的基本性质判断C选项，运用“1”的代换结合基本不等式判断D.【详解】因为，，对于A，，当且仅当时取等号，故A选项正确；对于B，，故，当且仅当时取等号，故B选项错误；对于C，∵，∴，∴在R上单调递增，∵，∴，即，故C选项正确；对于D，由得，，当且仅当，即时，等号成立，故D选项正确.故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为_____.【答案】【解析】【分析】根据弧度值的定义，结合扇形面积公式求解即可.【详解】由题意，，故这个扇形的半径，面积为.故答案：13.已知函数为，在R上单调递增，则取值范围_______．【答案】【解析】【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为fx在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，则取值的范围为.故答案为：.14.若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为_____.【答案】【解析】【分析】由的范围求得的范围，用换元法结合二次函数性质求得的最小值即可得的范围．【详解】时，，设，则，，∴时，所以，故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.化简求值：（1）（2）．【答案】（1）4（2）8【解析】【分析】（1）根据分数指数幂的性质和对数的运算性质求解；（2）根据对数的运算求解即可.【小问1详解】原式．【小问2详解】原式．16.已知定义域为的函数满足对任意，都有．（1）求证：是偶函数；（2）设时，①求证：在上是减函数；②求不等式的解集．【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析；②或或x>1【解析】【分析】（1）函数性质先计算，令即可证明；（2）①设，则,由通过性质可得出即可证明；②由是偶函数原不等式可得，再利用函数在上是减函数求解即可.【小问1详解】取得，即，取得，即，取，得，即是偶函数；【小问2详解】①设，则，由时，得，则，即在上为减函数，②由是偶函数且在上是减函数，则不等式等价为，即得，得得，即或或，即不等式的解集为或或x>1..【点睛】关键点点睛：在②中解题关键点利用的单调性解不等式，本题考查了学生的思维能力、运算能力.17.已知幂函数在上单调递减.（1）求的解析式；（2）若正数满足，求的最小值.【答案】（1）（2）24【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义及性质求解；（2）根据“1”的变形技巧，利用基本不等式求解.【小问1详解】幂函数在0,+∞上单调递减.，解得，.【小问2详解】，正数满足，，都是正数，，当且仅当时，即时取等号，的最小值为24.18.“大禹门前树，千年苔子茶.”11月21日18时许，中央广播电视总台综合频道推出系列纪录片《农耕探文明》，本期正好关注到《四川北川苔子茶复合栽培系统》.北川苔子茶的“毛峰绿茶”以其外形匀整、挺秀，汤色碧绿，香气浓烈等优异品质闻名遐迩，深受广大消费者青睐.经验表明，在室温下，该茶用的水泡制，汤色青绿明亮，入口滋味较薄有熟栗子香，无苦涩感，再等到茶水温度降至50°C时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从开始，经过分钟后的温度为且满足.（1）求常数的值；（2）经过测试可知，求在室温下，刚泡好的该茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（参考数据：，）【答案】（1）（2）9.5分钟【解析】【分析】（1）代入求解即可；（2）根据题意列式求解方程即可.【小问1详解】茶水温度从开始当时，，【小问2详解】当时，当时，刚泡好的茶水大约需要放置9.5分钟才能达到最佳饮用口感19.已知定义在上的函数是奇函数.（1）求函数的解析式；（2）解不等式；（3）设函数，若，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）由奇函数性质利用可得，经检验可知符合题意；（2）根据（1）中解析式判断出函数的单调性，结合奇函数性质解不等式可得结果；（3）依据题意可得只需满足，结合指数型复合函数单调性求得可得结果.【小问1详解】因为定义域是上的奇函数，所以，即解得.经验证时，是奇函数.【小问2详解】设，则，因为在上递增，且在上递减，所