锐角三角函数2024-2025学年九年级数学上学期复习讲义（下册）（人教版）

20242025学年九年级数学上学期同步复习讲义（下册）（人教版）锐角三角函数教学目标1．理解锐角三角函数的定义，掌握特殊角的三角函数值，会运用锐角三角函数解直角三角形；2．通过观察图象，进一步培养学生类比的教学思想；3．通过锐角三角函数的学习，感受图形和语言的和谐美，让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲。教学重难点重点：特殊角的三角函数值、解直角三角形；难点：通过做高线构造直角三角形。教学内容锐角三角函数锐角三角函数知识点一：锐角三角函数相关概念1、正弦、余弦的定义在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA。即sinA=∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA。即cosA=2、正切的定义在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即3、锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A（∠A可换成∠B）的锐角三角函数为：定义表达式正弦余弦正切知识点二：特殊角的三角函数值三角函数30°45°60°1知识点三：解直角三角形已知条件图形解法已知一直角边和一个锐角已知斜边和一个锐角已知两直角边已知斜边和一条直角边考点一：根据定义求锐角三角函数值【例1】如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cosB的是（）A．CDAC B．BDCB C．CDCB【答案】C【分析】根据已知可得∠B=∠ACD，然后利用锐角三角函数的定义判断即可．【详解】A．∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADB=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，在Rt△ACD中，cos∠ACD=CDAC∴cosB=CDAC故A不符合题意；B．在Rt△DBC中，cosB=BDCB，故BC．在Rt△DBC中，cos∠BCD=CDCB∵∠A≠45°，∴∠B≠45°，∴∠B≠∠BCD，∴cosB≠CDCB故C符合题意；D．在Rt△ABC中，cosB=CBAB【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数只与角度大小有关与角度位置无关是解题的关键．【变式训练1】如图，在Rt△ABC中，BC＝4，AC＝3，∠C＝90°，则cosB的值为（）A．34 B．35 C．45【分析】根据勾股定理求出AB，根据余弦的定义计算，得到答案．【解析】在Rt△ABC中，BC＝4，AC＝3，由勾股定理得，AB=A∴cosB=BC故选：C．【变式训练2】在Rt△ABC中，∠B＝90°，已知AB＝3，BC＝4，则tanA的值为（）A．45 B．35 C．43【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴tanA=BC故选：C．【变式训练3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos∠B=45，则A．6 B．8 C．9 D．15【分析】在Rt△ABC中根据cos∠B的意义，得出BCAB=45，再根据【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵cos∠B=4∴BCAB又∵AB＝10，∴BC=45×故选：B．【变式训练4】直角三角形纸片ABC，两直角边BC=4，AC=8，现将△ABC纸片按如图那样折叠，使A与电B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（

A．12 B．34 C．1 【答案】B【分析】根据折叠的性质得出BE=AE，设CE=x，则BE=AE=8−x，在Rt△BCE中，根据勾股定理得出BC2【详解】解：∵△ADE沿DE折叠得到△BDE，∴BE=AE，设CE=x，则BE=AE=8−x，在Rt△BCE中，根据勾股定理可得：B即42+x∴tan∠CBE=故选：B．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，正切的定义，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等．【变式训练5】如图，AB是⊙O的直径，点C和点D分别位于AB的两侧，若BC＝2AC，则cos∠BDC＝（）A． B．2 C． D．【答案】D【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，BC＝2AC，可设AC＝a，则BC＝2a，AB＝＝a，∴cos∠BDC＝cos∠BAC＝＝，故选：D．考点二：特殊角的三角函数【例21】若为锐角，且，则的值为A． B． C． D．【答案】C解：，，则．故选：．【变式训练1】已知是锐角，且，则的值是A． B． C． D．【答案】D解：由是锐角，且，得．则，故选：D．【变式训练2】计算sin230°+cos260°的结果为（）A．12 B．32 C．1 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．【解析】sin230°+cos260°＝（12）2+（12=1=1故选：A．【变式训练3】在锐角△ABC中，(tanC−3)2A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质结合特殊角的三角函数值得出∠C＝60°，∠B＝45°，进而得出答案．【解析】∵(tanC−3∴tanC=3，sinB=∴∠C＝60°，∠B＝45°，∴∠A＝75°．故选：D．【例22】计算：|﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（﹣π）0．【解答】解：|﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（﹣π）0＝3﹣2×1+1﹣1＝3﹣2+1﹣1＝1．【变式训练1】计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．【解答】解：原式＝1﹣2×1+2+3＝1﹣2+2+3＝4．【变式训练2】计算：．【解答】解：原式＝2+3﹣2×+﹣1＝2+3﹣+﹣1＝4．【变式训练3】计算：．【解答】解：＝＝＝3．【变式训练4】计算：−32【答案】2【分析】根据算术平方根的性质、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值运算及负整数指数幂分别求解，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【详解】解：原式=3+1−=4−=4−2+=【变式训练5】计算：（1）；（2）．解：（1）原式．（2）原式考点三：作高法构造直角三角形求角的正弦、余弦、正切值【例3】如图，在△ABC中，∠A=30°，AC=23，tanB=32，则

A．2+23 B．3+3 C．4【答案】D作CD⊥AB于D，根据∠A=30°，AC=23，算出CD和AD，再根据tanB=CDBD=【详解】如下图，作CD⊥AB于D，

在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2∴CD=12AC=在Rt△BCD中，tan∴3∴BD=2，∴AB=AD+BD=3+2=5，故选：D．【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键．【变式训练1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D，将△ACD沿直线CD折叠，点A在AB边上的点E处，已知AC=5,DE=3，则sin∠BCE

A．725 B．35 C．45【答案】A【分析】作EF⊥BC于点F，先这么∠ACD=∠B，再根据折叠的性质、勾股定理得到∠DCE=∠B,CD=4，由余弦定义得到CDCE=BFBE=45，由正弦定义得到sin∠B=AC【详解】解：如图，作EF⊥BC于点F，

在Rt△ABC∵AC⊥BC∴AC∴∠A=∠BEF∵CD⊥AB,∠A+∠ACD=∠BEF+∠B=90°∴∠ACD=∠B∵折叠∴AC=CE=5,DE=AD=3,∠ACD=∠DCE∴∠DCE=∠B,CD=∴∴设BF=4x,BE=5x∴EF=3x∴∴∴x=∴EF=3x=sin故选：A．【点睛】本题考查正弦、余弦、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．【变式训练2】在△ABC中，若AB=58，tanB=37，AC=3【答案】1或13过点A作AD⊥BC于点D，分高AD在三角形内部和三角形外部两种情况进行讨论求解．【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，分两种情况讨论：①当AD在△ABC的外部时，如图：

∵tanB=∴设AD=3x,BD=7x，则：AB=A∴x=1，∴AD=3,BD=7，∴CD=A∴BC=BD−CD=1；②当AD在△ABC的内部时，如图：

同法可得：BD=7,CD=6，∴BC=BD+CD=13；综上：BC=1或13；故答案为：1或13．【点睛】本题考查解非直角三角形，解题的关键是构造直角三角形，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解．【变式训练3】如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是边AB上一点，且tan∠BCD=1（1）试求sinB（2）试求△BCD的面积.【答案】（1）sinB=35（1）作AH⊥BC，则△ABH中，根据勾股定理即可求得AH的长，即可求得sinB；（2）作DE⊥BC，则根据勾股定理可以求得BE的长，求得BC=BE+EC，即4k+6k=8，求得k的值即可求△BCD的面积．【详解】（1）作AH⊥BC，垂足为H，∵AB=AC=5，∴BH=1在△ABH中，AH=A∴sinB=（2）作DE⊥BC，垂足为E，在△BDE中，sinB=35，令DE=3k则BE=B又在△CDE中，tan∠BCD=则CE=DE于是BC=BE+EC，即4k+6k=10k，解得k=4∴S△BCD【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形中三角函数值的计算，本题中正确求三角函数值是解题的关键．考点四：解直角三角形【例41】如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是（）A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米【答案】A【解答】解：Rt△ABC中，sinα＝，∵AB＝12，∴BC＝12sinα．故选：A．【变式训练1】如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，则边AB的长为（）A．3 B．3 C．6 D．3【答案】C【解答】解：∵BD＝2CD＝6，∴CD＝3，BD＝6，∵tanC＝＝2，∴AD＝6，∴AB＝AD＝6故选：C．【变式训练2】如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，，则边AB的长是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，∵sin∠A＝＝，AC＝6，∴CD＝2，由勾股定理得：BD＝＝＝2，∵AC＝BC，CD⊥AB，∴AD＝BD＝2，∴AB＝AD+BD＝4，故选：B．【例42】如图，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：过点B作BC⊥AO于点C，∵AB＝2，∴由勾股定理可知：AO＝2，BO＝2，设CO＝x，∴（2）2﹣x2＝22﹣（2﹣x）2，∴8﹣x2＝4﹣（20﹣4x+x2），解得：x＝，∴cos∠AOB＝＝，∴sin∠AOB＝，故选：D．【变式训练1】如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在交点处，则∠ABC的正弦值为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：如图，取BC的中点D，连接AD，由网格可得，AC＝AB＝＝2，∴AD⊥BC，Rt△ABD中，∵AD＝＝3，∴sin∠ABC＝＝＝．故选：D．【变式训练2】如图，已知点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则cosα＝（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO＝∠PNO＝90°，∵x轴⊥y轴，∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90°，∴四边形MONP是矩形，∴PM＝ON，PN＝OM，∵P（4，3），∴ON＝PM＝4，PN＝3，在Rt△PON中，由勾股定理得OP＝，∴，故选：B．【例43】如图，在△ABC中，AB＝6，sinB＝，tanC＝，求△ABC的面积．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，AB＝6，sinB＝，∴AD＝AB•sinB＝6×＝3，∴BD＝＝＝3，在Rt△ADC中，tanC＝，∴CD＝＝＝9，∴BC＝BD+CD＝3+9，∴△ABC的面积＝BC•AD＝×（3+9）×3＝，∴△ABC的面积为．【变式训练1】在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C为锐角且tanC＝1．（1）求△ABC的面积；（2）求AB的值；（3）求cos∠ABC的值．【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D．∴∠ADC＝∠ADB＝90°．∵∠C为锐角且tanC＝1，∴∠C＝45°＝∠DAC．∴AD＝DC．∵sinC＝，AC＝4，∴DC＝AD＝sin45°×AC＝×4＝4．∴S△ABC＝BC×AD＝×6×4＝12．（2）∵DC＝AD＝4，BC＝6，∴BD＝BC﹣DC＝2．在Rt△ABD中，AB＝＝＝2．（3）在Rt△ABD中，cos∠ABC＝＝＝．【变式训练2】如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AE是BC边上的中线，已知AD＝8，BD＝4，cos∠ABC＝．（1）求高CD的长；（2）求tan∠EAB的值．【解答】解：（1）在Rt△BCD中，∵cos∠ABC＝，∴，∴BC＝5，∴CD＝＝3；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，∵EF⊥BD，∴CD∥EF，∵E为BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF＝＝＝，DF＝＝＝2，∴AF＝AD+DF＝8+2＝10，在Rt△AEF中，∴tan∠EAB＝＝＝．【变式训练3】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，若AC＝15，cosA＝．求BC长．【解答】解：在Rt△ABD中，∵AB＝AC＝15，cosA＝，∴AD＝AB•cosA＝15×＝12，∴BD＝＝＝9．∴CD＝AC﹣AD＝3．在Rt△CBD中，∴BC＝．答：BC的长为．【例44】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，OD⊥AB交AC于点E，DE＝DC．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若OA＝4，OE＝2，求cosD．【解答】（1）证明：连接OC，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∵∠DEC＝∠AEO，∴∠DCE＝∠AEO，∵DO⊥AB，∴∠AOD＝90°，∴∠EAO+∠AEO＝∠EAO+∠DCE＝90°，∵OA＝OC，∴∠EAO＝∠OCA，∴∠OCA+∠DCE＝∠DCO＝90°，∴DC是⊙O的切线．（2）解：设CD＝x，则DE＝x，DO＝DE+OE＝x+2，在Rt△OCD中，OD2＝OC2+CD2，即（x+2）2＝42+x2，解得x＝3，∴CD＝3，OD＝5，∴cosD＝．【变式训练1】如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE.（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若tan∠ACB＝eq\f(\r(2),2)，BC＝2，求⊙O的半径．【答案】（1）直线CE与⊙O相切.理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，又∵∠ACB＝∠DCE，∴∠DAC＝∠DCE，连接OE，有OA＝OE，则∠DAC＝∠AEO＝∠DCE.∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEO＋∠DEC＝90°，∴∠OEC＝90°，即OE⊥CE.又OE是⊙O的半径，∴直线CE与⊙O相切（2）∵tan∠ACB＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(\r(2),2)，BC＝2，∴AB＝BC·tan∠ACB＝eq\r(2)，∴AC＝eq\r(6).又∵∠ACB＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠ACB＝eq\f(\r(2),2)，∴DE＝DC·tan∠DCE＝1.在Rt△CDE中，CE＝eq\r(CD2＋DE2)＝eq\r(3)，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，CO2＝OE2＋CE2，即（eq\r(6)－r）2＝r2＋3，解得r＝eq\f(\r(6),4)【变式训练2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC＝2eq\r(5)DE，求tan∠ABD的值．【答案】（1）∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°（2）连接DO，∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠DCF＝∠OCF＝90°，∴DF是⊙O的切线（3）∵∠E＋∠DCE＝90°，∠DCA＋∠DCE＝90°，∴∠DCA＝∠E，又∵∠ADC＝∠CDE＝90°，∴△CDE∽△ADC，∴eq\f(DC,AD)＝eq\f(DE,DC)，∴DC2＝AD·DE.设DE＝x，则AC＝2eq\r(5)x，AC2－AD2＝DC2＝AD·DE，即（2eq\r(5)x）2－AD2＝AD·x，整理得AD2＋AD·x－20x2＝0，解得AD＝4x或AD＝－5x（舍去），则DC＝eq\r(（2\r(5)x）2－（4x）2)＝2x，故tan∠ABD＝tan∠ACD＝eq\f(AD,DC)＝eq\f(4x,2x)＝2【变式训练3】如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD.过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点.（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）当BF=5，时，求BD的长.【答案】（1）证明见解析；（2）9.【详解】（1）如图，连接.∵，∴又∵∠3=∠1+∠2∴又∵，∴∴OC∥DB.∵CE⊥DB，∴.又∵为⊙的半径，∴为⊙O的切线.（2）如图，连接.在Rt△BEF中，∠BEF=90°，BF=5，，∴.∵OC∥BE，∴∽.∴设⊙的半径为r，∴∴.∵AB为⊙O直径，∴.∴.∵，∴.∴∴∴．【题型1：锐角三角函数的定义】1．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中正确的是（）A．sinA＝ B．tanA＝ C．tanB＝ D．cosB＝【答案】C【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，∵AC＝2，BC＝3，∴AB＝＝，∴sinA＝＝，tanA＝＝，tanB＝＝，cosB＝＝，故选：C．2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，tanA的值是（）A． B．1 C． D．无法确定【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，∴tanA＝＝＝，故选：C．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，BC＝3，则cosB等于（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝＝5，所以cosB＝＝，故选：B．【题型2：特殊角的三角函数值】1．计算：（﹣1）0+（）﹣2+|﹣2|+tan60°；【解答】解：原式＝1+（2﹣）＝1+9+＝12；2．计算：•+4|1﹣|sin60°﹣（）﹣1．【解答】解：•+4|1﹣|sin60°﹣（）﹣1＝2+4×（﹣1）×﹣2＝2+2（﹣1）﹣2＝2+6﹣2﹣2＝4．3．计算：（1）；（2）2tan60°+tan45°﹣4cos30°．【解答】解：（1）＝＝＝3+；（2）2tan60°+tan45°﹣4cos30°＝2×+1﹣4×＝2+1﹣2＝1．【题型3：解直角三角形】1．如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点P在射线OA上，OP＝13，cosα＝，则点P的坐标为（）A．（5，13） B．（5，12） C．（13，5） D．（12，5）【答案】B【解答】解：如图，过点P作PE⊥x轴于点E．设点P的坐标为（x，y），则OE＝x，