第六章平面图形的初步认识第62节角2024-2025学年七年级数学上学期《七年级数学上册培优全》（原卷版）（2024苏科新版）

苏科2024新版第六章 平面图形的初步认识6.2角瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆1.1.认识角是基本图形之一，了解角的概念；2.知道角的分类及平角、周角、锐角、钝角、直角的概念；3.知道角的度量单位，会对角的度量单位进行简单换算，会计算角的和差；4.理解补角和余角的概念，掌握余角和补角的性质；5.能借助量角器，圆规等比较角的大小，会用尺规作图作一个角等于已知角；6.理解角平分线的定义，能解决有关角平分线的简单问题。理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事听数学家谈数学——角度值的由来？最早明确使用角度值的文字记载于希腊学者托勒密的《天文学大成》。在美索不达米亚平原上，公元前的古巴比伦人把圆周的称为1度（记作1°），度下面又设有“分”和“秒”二个单位，60分为1度，60秒为1分。最早明确使用角度值的文字记载于希腊学者托勒密的《天文学大成》。在美索不达米亚平原上，公元前的古巴比伦人把圆周的称为1度（记作1°），度下面又设有“分”和“秒”二个单位，60分为1度，60秒为1分。考点详解：让您快速掌握每个考点知识点1：角的概念1.角的定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 2.角的定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．名师指点（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 知识点2：角的表示方法1.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：角的表示方法图示记法适用条件①三个大写字母任何情况都适用②一个大写字母该角的顶点处只有一个角③数字任何情况都适用，但需要提前在图中标注④希腊字母任何情况都适用，但需要提前在图中标注名师指点用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．2.角的画法：（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．知识点3：角的度量1.角的度量单位是度（）、分（）、秒（），把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．2.角的单位换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．名师指点在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位．知识点4：角的大小比较角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝；由图(3)可得∠AOB＞．知识点5：角的分类角按照大小可分为知识点6：角的和差计算角的和、差关系如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB∠2．名师指点(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．知识点7：角平分线角平分线的概念：文字语言：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．图形语言：几何语言：如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．知识点8：余角和补角1、余角：（1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．（2）性质：同角（等角）的余角相等．2、补角：（1）定义：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．（2）性质：同角（等角）的补角相等．名师指点(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．(2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°α)，一个角α的补角可以表示为(180°α)．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型1 角的概念的说法判断例题1．下列说法中，正确的个数有（

）①两条射线组成的图形是角；②角的大小与边的长短有关；③角的两边可以画的一样长，也可以一长一短；④角的两边是两条射线；⑤因为平角的两边也成一条直线，所以一条直线可以看作一个平角．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练】1．有下列关于角的说法：①两条射线组成的图形叫作角； ②角的边越长，角越大；③在角一边的延长线上取一点D； ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．其中正确的有（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．下列说法不正确的是（

）A．两个锐角的和不一定大于直角 B．两个钝角的和不一定大于平角C．直角都等于 D．1周角=2平角=4直角3．下列语句正确的是（

）A．一条直线可以看成一个平角 B．周角是一条射线C．角可以看成是由一条射线旋转而成的 D．角是由两条有公共端点的射线组成的图形4．下列关于角的说法中，正确的个数为（

）①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条射线，它们的端点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关．A．0 B．1 C．2 D．3题型2 角的表示问题例题2.如图，下列表示角的方法，错误的是（

）A．与表示同一个角 B．也可用来表示C．图中共有三个角： D．表示的是【变式训练】1．如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是.（

）A．可以用表示 B．这条射线记作射线C．与是同一个角 D．2．如图，给出下列说法：①和是同一个角；②和是同一个角；③和是同一个角；④和不是同一个角．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图所示，还可以表示为（

）A． B． C． D．4．下列选项中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（

）A． B． C． D．题型3 角的度量、换算、大小比较问题例题3.比较大小：（用“>”“<”“=”填空）．【变式训练】1．2．比较大小：．（填、或）3．4．如果，，则，．题型4 角度的四则运算问题例题4.计算：； ．【变式训练】1．计算：(1)； (2)．2．计算：(1)（结果用度、分、秒表示）． (2)（结果用度表示）．3．计算：(1)； (2)．4．计算：(1)； (2)．题型5 余角的概念与计算例题5.若两个角和为90度，则这两个角互余．已知，，则与的关系是（

）A．互补 B．互余 C．和为钝角 D．和为周角【变式训练】1．如图，，则下列说法错误的是（

）A．与不互为余角 B．与互为余角C．与互为余角 D．与互为余角2．一副三角板按如图所示的方式摆放，，则的度数为（

）A． B． C． D．3．若，则的余角的度数为（

）A． B． C． D．4．已知，则的余角度数是（）A． B． C． D．题型6 补角的概念与计算例题6.如果，那么的补角的度数是(

)A． B． C． D．【变式训练】1．一定能使等式“”成立的图形是（

）A．

B．

C．

D．

2．如图，直线、相交于点O，，图中与互补的角有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，，直线经过点．在下面的五个式子中：①；②；③；④；⑤，等于的补角的式子的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．54．如果一个角的补角是，那么这个角的度数是（

）A． B． C． D．题型7 角的性质（同或等角的余角（或补角）相等）运用例题7.如图，点在直线上，，那么下列说法错误的是（）A．与相等 B．与互余C．与互补 D．与互余【变式训练】1．如图，平面内，，平分，则以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．0个2．如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图①、图②、图③和图④，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形为（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④4．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中，的是（

）A． B．C． D．题型8 角平分线问题例题8已知在的内部，，是补角的（本题出现的角均指不大于平角的角）．(1)如图1，求的值；(2)在（1）的条件下，平分，射线满足，求的大小；(3)如图2，若，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线与重合后，再以每秒的速度绕点O逆时针旋转．设射线，运动的时间为t秒（），当时，请直接写出t的值．【变式训练】1．如图，已知：平分，平分．(1)若，①求出及其补角的度数；②求出和的度数，并判断与是否互补；(2)若，则与是否互补？请说明理由．2．如图，直线、相交于O，，．(1)求的度数；(2)试说明平分．3．如图，已知过的内部任意一点C画射线，使，，若，分别平分和．求：(1)的度数；(2)求的度数．4．如图，O为直线上一点，平分．(1)求出的度数；(2)请通过计算说明是否平分．题型9 有关角的作图问题例题9.如图，已知和，．用直尺和圆规作两个角，使其大小分别为．【变式训练】1．如图（甲），和都是直角．(1)如果，那么的度数是多少?(2)找出图（甲）中相等的角．如果，它们还会相等吗？说明理由．(3)在图（乙）中利用能够画直角的工具再画一个与相等的角．2．如图，已知．(1)画出的平分线；(2)若，利用（1）的结果．①求的度数；②试求的补角．3．如图，已知，点在射线上．(1)请按照下列步骤画图(保留作图痕迹)：①用圆规在射线上取一点，使；②在内部作射线，使；③在射线上取一点(不与点重合)，连接，；(2)由图可知，(填“”“”或“”)．4．如图，已知．(1)试用量角器或三角尺在的下方画的余角；(2)画射线的反向延长线，若，求的度数．（友情提醒：请用黑色水笔将答题卡上所画的线加黑加粗）题型10 三角板的综合问题例题10.如图①是某网页套尺4件套的截图，图②是其中一副三角板的简化示意图，是的平分线，请用尺规按下列要求作图并解答问题．(1)延长线段到F，使；(2)延长，交的延长线于点M；(3)在（1）（2）的条件下，如果，那么__________，__________，____________________″．【变式训练】1．小明阅读了教材中“借助三角尺画角”的探究活动（如图1、图2的实物图所示），他在老师指导下画出了图1所对应的几何图形，并标注了所使用三角尺的相应角度（如图3），他发现用一副三角尺还能画出其他特殊角．(1)请你借助三角尺画出图2对应的几何图形，并标注所使用三角尺的相应角度；(2)结合画图再思考：用一副三角尺画出的角的大小有什么规律；(3)图3中，若平分平分，请在图3中补全图形求出的度数，并猜想与的数量关系；(4)如图4，若是任意角，在的外部，平分平分的条件不变，第（3）题中与的数量关系是否发生变化，如果结论不变请说明理由；如果变化，请写出新结论并给出证明．2．“三角板拼角”的问题．将一副三角板如图这样放置，就可画出，在实验中同学们发现用一副三角板还能画出其他特殊角．请你借助三角板完成以下操作，并在所画图形上标注所使用三角板的相应角度：(1)设计用一副：三角板画出角的画图方案，并画出相应的几何图形；(2)用一副三角板能画出的角吗？______(选填“能”或“不能”)．3．用一副三角尺进行操作探究：把锐角为的三角尺记作三角尺①，把锐角为的三角尺记作三角尺②，用三角尺①，②完成以下作图．①

②(1)作出大小为的角；（要求：画出三角尺①，②的一种摆放示意图）(2)已知，在图中作出的平分线．（要求：画出三角尺①，②的一种摆放示意图）4．七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．将一副三角尺如图这样放置，就可画出，在实验中同学们发现用一副三角尺还能画出其他特殊角．(1)请你借助三角尺完成以下操作，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度；①设计用一副三角尺画出角的画图方案，并画出相应的几何图形；②用一副三角尺能画出的角吗？__________．（填“能”或“不能”）．(2)利用一副三角尺在图中画出的角平分线，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度．(3)如图，现有角的三种模板，，，请设计一种方案，只用给出的一种模板画出的角．小冬想出了一个方案，利用角模板画出角，动手操作：如图，M、O、N三点在一条直线上，将的顶点B与点O重合，边与射线重合，如图所示，将绕点O逆时针旋转，得，再将绕点O逆时针旋转，得，……，如此连续操作18次，再利用两个平角等于一个周角，可得的角，即：．请从或角模板中选一个你认为能画出角的模板，设计一个方案，并说明理由．(4)对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板是否一定能画出的角？请作出判断，并说明理由．培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人一、选择题（本大题共10小题）1．下列说法中，正确的是（

）A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D．角的边越长，角越大2．如图，能用、、三种方法表示同一个角的是（

）A．B．C． D．3．若，，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．4．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．45．根据如图所示，下列式子错误的是（

）A． B．C． D．6．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则的数量关系为（

）A． B．C． D．7．如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（

）A． B． C．或 D．无法计算8．如图，，则图中与互余的角有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．如图，在三角形中，．D是边上的一个动点（点D不与A，B重合），过点D，C作射线，与边，形成夹角分别为，，则与满足数量关系（）A． B．C． D．10．如图，，则图中，，三个角的数量关系为（

）A． B．C． D．二、填空题（本大题共10小题）11．如图所示的图形中有个小于平角的角，写出以为一边的所有角：．12．比较大小：（用，或连结）．13．如图，将一副直角三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点，那么度．14．已知与互余，若，则的度数为15．若的余角为，则的补角的大小是．16．如图