人教版八年级上册数学期末复习：填空压轴题 专题练习题（含答案解析）

第第页参考答案：1．6或50【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的定义、一元一次方程的应用，分类讨论：①当点P在BA上，点Q在AC上，②当点P在AC上，点Q在BA上，③点P与Q重合在BA上，根据题意结合全等三角形的性质得出PA=AQ，再分别用t表示出PA和AQ的长，列出等式，解出即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并利用分类讨论的思想是解决问题的关键．【详解】（1）当P点在BA上，点Q在AC上，如图1，则PB=t，CQ=2t，AP=22−t，AQ=28−2t，∵△PFA≌△AGQ，∴PA=AQ

，即22−t=28−2t，解得：t=6，即P点运动6秒；（2）当点P在AC上，点Q在BA上，如图2，

则AP=t−22，AQ=2t−28，∵△PFA≌△AGQ，∴PA=AQ，即t−22=2t−28，解得t=6，此时不符合题意；（3）点P与Q重合在BA上，如图3，

则AP=22−t，AQ=2t−28，∴AP=AQ，即22−t=2t−28，解得：t=50∴综上可知：t=6或t=50故答案为：6或5032．4s【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的面积等知识，由面积相等可得相应等式，作出三角形的高，作出辅助线构造三角形全等，证明三角形全等是是解题的关键．【详解】解：如图：AB=AC=DE=DF，过C作CM⊥AB于M，过F作FN⊥ED交ED延长线于N，延长BA到K使AK=AB∵S△ABC∴CM=FN∵AC=DF∴∴∠MAC=∠NDF∵∠CAK=180°∴∠CAK=∠EDF∵AK=AC=DE=DF∴△ACK≌△DFE(∴EF=CK，S∵AK=AC=DE=DF∴∠ABC=∠ACB，∠K=∠ACK∴∠ACB+∠ACK=∠ABC+∠K=∴∠BCK=∴∵BC=a∴CK=∴EF=4S故答案为：4Sa3．54【分析】本题考查了基本图形变换折叠，三角形的内角和定理，换元的思想方法，关键是利用换元的思想方法，使分析思路更清晰．设∠ACD=α，则∠A′CD=∠A′【详解】解：设∠ACD=α，则∠A′CD=∠由翻折可知，∠A′DC=∠BDC,∠BCD=∠∴∠EA′C=∠E由∠B+∠A'在△A′EC∴144°−β−∠A=180°−2β，解得：∠A=β−36°①在△ABC中，∠ACB=180°−∠A−∠B=180°−∠A−β=2α+36，解得：∠A=144°−2α−β由①②得α+β=90°，在△BCD中，∠CDB=180°−∠B−∠BCD=180°−β−(α+36°)=144°−(α+β)=144°−90°=54°，∴∠A故答案为：54．4．72【分析】本题考查了折叠问题，三角形的内角和定理，平行线的性质，根据平行线的性质可得∠QEF=∠AFE=α，根据三角形内角和定理可得出∠EQF=180°−2α，进而根据平行线的性质可得∠EQM=∠EQF+∠FQM=∠A″MF=α，得出∠PQM=∠FQP+∠FQM=4α−180°，根据折叠得出∠【详解】解：∵∠AFE=∠FQP=∠A″∴∠QEF=∠AFE=α，∵折叠∴∠QFE=∠AFE=α，在△EFQ中，∠EQF=180°−2α，∵AD∥∴∠EQM=∠EQF+∠FQM=∠∴∠FQM=α−∵∠FQP=α∴∠PQM=∠FQP+∠FQM=4α−180°∵折叠，∴∠又∠PQF=α∴∠解得：α=72°故答案为：725．6【分析】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），直角三角形的两个锐角互余，含30度角的直角三角形，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，三线合一，三角形的面积公式，等式的性质2，线段垂直平分线的性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握用做对称的方法解决最短路线问题是解题的关键．作A关于BC的对称点A′，连接A′B，A′P，A′D，由∠ACB=90°，∠ABC=30°可得∠CAB=60°，AB=2AC，根据轴对称的性质可得A′C=AC，BC是AA′的垂直平分线，进而可得AB=AA′，于是证得△A【详解】解：如图，作A关于BC的对称点A′，连接A′B，A∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠CAB=90°−∠ABC=90°−30°=60°，AB=2AC，∵A′是A关于∴根据轴对称的性质可知，A′C=AC，BC是∴AA∴AB=AA∴△AA∴AA∵D为AB的中点，∴A∵S△AA∴A∵BC是AA∴AP=A∴AP+DP=A∵垂线段最短，∴A即：AP+DP≥6，∴AP+DP的最小值是6，故答案为：6．6．−【分析】本题考查了轴对称−最短路径以及含30°的直角三角形的性质，根据题意得出DE+EF的值最小时的情况是解本题的关键．作点D关于y轴的对称点M，过点E作EF⊥AB，过点F作FH⊥OB，如图，此时DE+EF的值最小，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半进而得出答案．【详解】解：作点D关于y轴的对称点M，过点E作EF⊥AB，过点F作FH⊥OB，如图，此时DE+EF的值最小，∵等边三角形AOB中，B(−4，0)，点D是OB上一点，且BD=a∴DO=4−a,OB=4，∠AOB=60°，∵点D关于y轴的对称点是M，∴OM=DO=4−a，∴BM=8−a，∵EF⊥AB，∴∠BMF=30°，∴BF=1∵FH⊥OB，∴∠BFH=30°，∴BH=1∴OH=OB−BH=4−8−a∴点F的横坐标为−8+a故答案为：−7．5【分析】利用等边三角形的性质证明△EBC≌△ABD，得到∠BEC=∠BAD，进而推出∠EMA=60°，将△BEM绕点B旋转60°得到△BAG，过点B作BF⊥MN，过点M作MH⊥BG，过点A作AL⊥BG，交CE于点K，推出△BMG为等边三角形，得到MN∥BG，进而推出AL=5MH，得到S△AGB=5S【详解】解：∵等边△ABE和等边△BCD，∴∠EBA=∠DBC=60°，BE=BA，BD=BC，∴∠EBC=∠ABD，则△EBC≌△ABDASA∴∠BEC=∠BAD，∵∠BNE=∠ANM，∴∠EMA=∠EBA=60°．过点B作BF⊥MN，过点M作MH⊥BG，过点A作AL⊥BG，交CE于点K，将△BEM绕点B旋转60°得到△BAG，则：AG=EM=25,∠BAG=∠BEM,∠MBG=60°,BM=BG，∴△BMG为等边三角形，∴∠BGM=60°，BM=MG，∵∠BEM=∠BAM，∴∠BEM=∠BAG，∵∠AME=∠BGM=60°，∴EM∥BG，∴AK⊥EM，KL=BF=MH，∵S△MAN∴12∴AK=4BF=4MH，∴AL=5MH，∵S△ABG∴S△ABG∴S△ABG∴MG=1∴BM=MG=5；故答案为：5．【点睛】本题主要考查等边三角形的判定性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，同高（同底）三角形的面积比．解题的关键是构造全等三角形，利用等积法进行求解．8．10233436【分析】本题考查因式分解的应用，整除，根据当最大数不超过32时，A≤960，当k=33时，A=1023，根据A能被17整除，可知M，N中必有一个是17的整数倍，即为34，68，85，然后根据“B的百位数字与它的个位数字相乘所得的积能被它的百位数字加4的和整除”逐一检验即可解题．【详解】解：设较大的两位数是k，则较小的两位数是k−2，则A=k(k−2)=k∵A是四位数，当k≤32时，A≤960不符合题意；当k=33时，A=1023，符合题意；∴A的最小值是1023，∵A能被17整除，∴M，N中必有一个是17的整数倍，即为34，68，85；当M=34时，N=32，数B=3234，这时2×4=8不能被2+4=6整除，不符合题意；当M=68时，N=66，数B=6668，这时6×8=48不能被6+4=10整除，不符合题意；当M=85时，N=83，数B=8385，这时3×5=15不能被3+4=7当M=34时，N=36，数B=3436，这时4×6=24能被4+4=8整除，符合题意；当M=68时，N=70，不符合题意；当M=85时，N=87，数B=8587，这时5×7=35不能被5+4=9故满足条件的B的最小值是3436，故答案为：1023，3436．9．2116【分析】本题考查整式的运算，因式分解的应用．解题关键是利用因式分解把已知和所求整式变形．根据已知条件把已知和所求式子进行整理变形，即可解答．【详解】解：∵a+b+c=10．∴a=10−b−c，b=10−a−c，c=10−a−b，∴S=(10a+bc)(10b+ac)(10c+ab)=(100−10b−10c+bc)(100−10a−10c+ac)(100−10a−10b+ab)，∵100−10b−10c+bc可因式分解，变为(b−10)(c−10)，同理100−10a−10c+ac=(a−10)(c−10)，100−10a−10b+ab=(a−10)(b−10)，∴原式=(b−10)(c−10)(a−10)(c−10)(a−10)(b−10)==[a−10)(b−10)(c−10)故S为一个平方数，∵a+b+c=10且a，b，c为整数，∴a，b，c至少有一个是偶数，于是S为偶数，∵S≥2019，∴S≥46故答案为：2116．10．1【分析】本题考查的是分式的求值，考查对换元法的理解和运用，掌握完全平方公式的应用是解本题的关键．设xa=m，yb=n，zc【详解】解：设xa=m，yb∵xa∴m+n+t=1．∵ax∴1m∴nt+mt+mnmnt∴nt+mt+mn=0．∴x2故答案为：1．11．9【分析】本题考查了一元一次不等式组无解的问题，分式方程的整数解，先由一元一次不等式组无解求出a得取值范围，再求出分式方程的解，根据分式方程的解为整数求出a满足条件的整数值，即可求解，由一元一次不等式组无解求出a得取值范围以及根据分式方程的解的情况求出a的值是解题的关键．【详解】解：a−2x≤0①由①得，x≥a由②得，x≤−1，∵一元一次不等式组a−2x≤0x−1∴a2∴a>−2，由方程71−y+ay∵分式方程71−y+ayy−1=1∴a−1=−2或−1或0或1或2或3或6，∴a=−1或0或1或2或3或4或7，又∵y−1≠0，∴6a−1∴a≠7，∴a=−1或0或1或2或3或4，∴所有满足条件的整数a的值之和为−1+0+1+2+3+4=9，故答案为：9．12．1【分析】由真分式的定义得x3+ax2+2x+bx2【详解】解：由题意得x==∵x∴a=1，b=0，∴a+b=1+0=1；故答案：1．【点睛】本题考查了新定义，分式的减法，求代数式值，理解新定义，根据新定义将问题转化为分式的减法运算是解题的关键．13．65【分析】本题考查平方差公式的应用，解二元一次方程组设原长方形队阵中有同学16x（x为正整数）人，根据增加或减少16人就能组成一个正方形队阵，设正方形方阵的边长分别为m，n，列式后得出m2【详解】解：设原长方形队阵中有同学13x（x为正整数）人，则由已知13x+16与13x−16均为完全平方数，设正方形方阵的边长分别为m，n，可得13x+16=m213x−16=n2两式相减，得m2即(m+n)(m−n)=32．∵32=1×32=2×16=4×8，m+n和m−n同奇或同偶，∴m+n=16m−n=2或m+n=8解得m=9n=7或m=6当m=9时，13x=92−16=65当m=6时，13x=62−16=20故原长方形队阵中有同学65人．故答案为：65．14．（1）−10；（2）150°【分析】（1）设多项式的第三个因式为tx+9，根据题意得出tx+92x+13x−4=6tx3+54−5tx2−4t+45x−36=mx（2）作BD⊥AC于D，延长CM交BD于E，连接AE，先证EC=EA，得∠ECA=∠EAC=30°，再证明△BEA≌△MEAAAS得AB=AM，则∠BMA=76°，然后求出∠CMA=134°【详解】解：（1）设多项式的第三个因式为tx+9，由题意得：tx+92x+1∴m=6t，54−5t=n，4t+45=61，解得：t=4，m=24，n=34，∴m−n=24−34=−10，故答案为：−10；（2）如图，作BD⊥AC于D，延长CM交BD于E，连接AE，，∵∠BAC=∠BCA=44°，∴△ABC是等腰三角形，AB=CB，∠ABC=180°−∠BAC−∠BCA=92°，∵BD⊥AC，∴BD垂直平分AC，∠CBD=∠ABD=46°，∴EC=EA，∴∠ECA=∠EAC=30°,∵∠EAC=∠EAM+∠MAC=30°，∠BAC=∠BAE+∠EAD，∴∠EAM=∠EAC−∠MAC=30°−16°=14°，∠BAE=∠BAC−∠EAC=44°−30°=14°，∴∠EMA=∠EAM=14°，∵∠EMA=∠ECA+∠MAC=30°+16°=46°，∴∠EMA=∠EBA=46°，∵AE=AE，∴△BEA≌△MEAAAS∴AB=AM，∴△ABM为等腰三角形，∵∠BAM=∠BAE+∠EAM=14°+14°=28°，∴∠BMA=1∵∠CMA=180°−∠MCA−∠MAC=134°，∴∠BMC=360°−∠CMA−∠BMA=150°，故答案为：150°．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．15．②③④【分析】对于①，由于点D,E的位置不确定，无法说明∠EAD=∠ABD，故①错误；对于②，过点F作FK⊥BE于点K，由AD=AG，知∠1=∠2，显然∠1=∠5，由FK∥AE得到∠2=∠4，故∠1=∠2=∠4=∠5，显然∠EFK=45°=∠3+∠4，故∠AFE+∠ABD=45°，故②正确；对于③，先证明∠AFB=∠ABF，则AF=AB，故AG+GF=AB，即AD+GF=AB，故③正确；对于④，过点F作AF的垂线交AM延长线于点N，连接NE，先证明△FEN≌△FBASAS，则NE=AB,∠7=∠8，再证明△NME≌△AMCAAS，则EM=MC，继而【详解】解：对于①，由于点D,E的位置不确定，无法说明∠EAD=∠ABD，故①错误；对于②，过点F作FK⊥BE于点K，∵AE垂直平分DG，∴AD=AG，∴∠1=∠2，∵等腰Rt△ABC，即∠BAC=90°∴∠1+BAE=∠BAE+∠5=90°，∴∠1=∠5，∵FK⊥BD,AE⊥BD，∴FK∥AE，∴∠2=∠4，∴∠1=∠2=∠4=∠5∵等腰Rt△BEF∴FE=FB,∠EFB=90°，∵FK⊥BD∴∠EFK=45°=∠3+∠4，∴∠AFE+∠ABD=45°，故②正确；对于③，如图：∵△EFB是等腰直角三角形，∴FE=FB,∠EFB=90°，∵FK⊥BD∴∠KFB=45°，∴△KFB是等腰直角三角形，∴KF=KB,∠KFB=∠KBF=45°，∵∠4=∠5，∴∠4+KFB=∠5+∠KBF∴∠AFB=∠ABF，∴AF=AB，∴AG+GF=AB，∵AD=AG，∴AD+GF=AB，故③正确；对于④，过点F作AF的垂线交AM延长线于点N，连接NE，∴∠AFN=∠BFE=90°，∴∠6=∠BFA，∵FN⊥FA,∠FAM=45°，∴∠FNA=∠GAM=45°，∴FA=FN，∵FE=FB，∴△FEN≌△FBASAS∴NE=AB,∠7=∠8，∵AB=AC,∠CAB=90°，∴NE=AC，∠8+∠MAC=90°−∠FAM=45°，∵∠7+∠9=∠FNA=45°，∴∠9=∠MAC，∵∠NME=∠AMC，∴△NME≌△AMCAAS∴EM=MC，∴EC=2EM，故④正确，故答案为：②③④．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，垂直平分线的性质，解题的关键在于添加辅助线构造全等三角形，难度较大．16．21【分析】本题考查了轴对称最短线路问题、平行线性质、等腰三角形的判定和性质等知识点，作辅助线找到M，N的位置是解题的关键．（1）如图：OP平分∠AOB，当PN∥OA，，得到（2）如图：作P关于OA，OB的对称点C，D，连结CD，交OA，OB于M，N两点，作OE⊥CD于E．此时当△PMN周长最小时，【详解】解：（1）如图：∵OP平分∠AOB，∴∠BOP=∠AOP，∵PN∥∴∠AOP=∠NPO，∴∠BOP=∠NPO，∴ON=PN=2．故答案为：2．（2）如图：作P关于OA，OB的对称点C，D，连结CD，交OA，OB于M，N两点，作∴NC=NP，∴△PMN周长=PM+PN+MN=NC+MD+MN=CD，假设随着点M，N位置的变动，M′，N′不在∴△PMN周长的最小值=CD．∵作P关于OA，OB的对称点C，∴OB垂直平分PC，∴OC=OP，同理：OP=OD，∵∠AOB=60°，∴∠COD=120°，∵OC=OD=a,∴∠OCD=∠ODC=30°，∵OE⊥CD，∴OE=1∴点O到直线MN的距离等于12故答案为：1217．10°/10度【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的性质与判定，分别延长CD，CA，过点E作EG⊥CD交CD于G，EH⊥CA交CA于H，EP⊥AD交AD于P，然后证明EA、ED、EC是△ADC内角或外角的角平分线，再根据三角形的外角的性质和角平分线的性质进行解答即可．【详解】解：分别延长CD，CA，过点E作EG⊥CD交CD于G，EH⊥CA交CA于H，EP⊥AD交AD于P，∵∠EAC+∠EAD=180°，∠EAC+∠EAH=180°，∴∠EAH=∠EAD，即EA平分∠HAD，∵EH⊥CA，EP⊥AD，∴EH=EP，∵∠ADE=30°，∠ADC=120°，∴∠EDG=180°−∠ADC−∠ADE=180°−120°−30°=30°，∴∠EDG=∠ADE=30°，∠ADG=∠EDG+∠ADE=60°，∴ED平分∠ADG，∵EG⊥CD，EP⊥AD，∴EP=EG，∴EP=EG=EH，∴EC平分∠ACD，∴∠ECD=1∵∠DAC=40°，∴∠ACD=∠ADG−∠DAC=60°−40°=20°，∴∠ECD=1故答案为：10°．18．29°【分析】延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，根据BD是∠ABC的平分线可得出△BDE≌△BDF，故DE=DF，过D点作DG⊥AC于G点，可得出△ADE≌△ADG，△CDG≌△CDF，进而得出CD为∠ACF的平分线，得出∠DCA=54°，再根据∠ADC=180°−∠DAC−∠DCA即可得出结论．本题考查了角平分线的性质，以及三角形的全等和三角形的内角和定理，注意知识点的综合运用．【详解】解：延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，∵BD是∠ABC的平分线在△BDE与△BDF中，∠ABD=∠CBDBD=BD∴△BDE≌△BDF(ASA)∴DE=DF，又∵∠BAD+∠CAD=180°∠BAD+∠EAD=180°∴∠CAD=∠EAD，∴AD为∠EAC的平分线，过D点作DG⊥AC于G点，在Rt△ADE与RtAD=ADDE=DG∴△ADE≌△ADG(HL)∴DE=DG，∴DG=DF．在Rt△CDG与RtCD=CDDG=DF∴∴CD为∠ACF的平分线∠ACB=72°∴∠DCA=54°，在△ABC中，∵∠ACB=72°，∠ABC=50°，∴∠BAC=180°−72°−50°=58°，∴∠DAC=180°−58°∴∠ADC=180°−∠DAC−∠DCA=180°−61°−54°=65°，∴∠BDC=180°−25°−54°−72°=29°．故答案为：29°．19．30°或52.5°或80°．【分析】分三种情况讨论，①当∠CDA＝3∠C时，②当∠C＝3∠CAD时，③∠CDA＝3∠CAD时，由“和谐三角形”定义可求解；【详解】解：∵∠CAB=90°，∠ABC=60°，∴∠C=30°①当∠CDA＝3∠C时，∠CDA＝90°，∴∠CAD＝60°，∴∠BAD＝30°；②当∠C＝3∠CAD时，∴∠CAD＝10°，∴∠DAB＝80°；③∠CDA＝3∠CAD时，∴∠CAD＝14∴∠DAB＝52.5°，故答案为：30°或52.5°或80°．【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，理解“和谐三角形”定义，并能运用是解决本题的关键．20．2【分析】由题意可知，四边形ABCD为直角梯形，故可求梯形ABCD，△ABF1与△DCF1的面积，由中点面积关系可得△AF1F2与【详解】∵在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=BC=2，CD=1，∴S梯形ABCD∵F1∴S△ABF1∵F2为C∴S△AF1∵F3为C∴S△AF2……∴S△AFn−1∴S=3−1−=2−=2−=2−=2n故答案为：2n【点