2023版人教版初中数学同步讲义练习8年级下册第十八章 平行四边形 专题18.1 平行四边形（教师版）

2023版人教版初中数学同步讲义练习八年级下册

专题18.1平行四边形（教师版）1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理；2．掌握平行四边形的判定定理；3．会应用平行四边形的性质与判定定理解决相关的几何证明和计算问题；4.掌握三角形中位线的概念与其性质定理，并能用其进行计算和证明。知识点01平行四边形的性质【知识点】1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形2）平行四边形的高：一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。3）平行四边形的性质：考虑边、角、对角线，有时还会涉及对称性。如下图，四边形ABCD是平行四边形：（1）性质1（边）：=1\*GB3①对边相等；=2\*GB3②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC（2）性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC（3）性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD（4）性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形。【知识拓展1】平行四边形的性质例1．（2022·四川乐山·八年级期末）已知是平行四边形，以下说法不正确的是（）A．其对边相等B．其对角线相互平分C．其对角相等D．其对角线互相垂直【答案】D【分析】根据平行四边形的性质进行判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴其对角线相互平分，其对边相等，其对角相等，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分，是解答的关键．【即学即练】1．（2021·四川宜宾·中考真题）下列说法正确的是（）A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分【答案】D【分析】根据平行四边形的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案．【详解】解：A.平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误，B.平行四边形的邻边不一定相等，故该选项错误，C.平行四边形的对角线互相平分，故该选项错误，D.平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确．故选D．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键．【知识拓展2】利用平行四边形的性质求角度、长度、面积例2．（2022·陕西碑林·九年级期中）如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】先证明AE＝EC，再求解AD+DC＝8，再利用三角形的周长公式进行计算即可.【详解】解：∵平行四边形ABCD，∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC，∵EO⊥AC，∴AE＝EC，∵AB+BC+CD+AD＝16，∴AD+DC＝8，∴△DCE的周长是：CD+DE+CE＝AE+DE+CD＝AD+CD＝8，故选：C．【点睛】本题考查的是平行四边形性质，线段垂直平分线的性质，证明AE＝EC是解本题关键.【即学即练】1．（2022·常熟市八年级月考）如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F是DB上两点且AE∥CF，若∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，则∠BCF＝（）A．150° B．40° C．80° D．90°【答案】C【分析】可证明△BCF≌△DAE，则∠BCF＝∠DAE，根据三角形外角的性质可得出∠DAE的度数，从而得出∠BCF的度数．【详解】解：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CBF＝∠ADE，∵AE∥CF，∴∠CFB＝∠AED，∴△BCF≌△DAE，∴∠BCF＝∠DAE，∵∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，∴∠AEB＝∠DAE+∠ADB，∴∠DAE＝∠AEB﹣∠ADB＝115°﹣35°＝80°，∴∠BCF＝80°故选：C．【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．2．（2022·浙江八年级期中）如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周长为40，则S为______．【答案】48【分析】首先根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，可得AB＋BC＝20，再利用其面积的求法S＝BC×AE＝CD×AF，可得4AE＝6CD，列出方程组，求出平行四边形的各边长，再求其面积．【详解】解：设BC＝x，CD＝y，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵▱ABCD的周长为40，∴x＋y＝20，∵AE＝4，AF＝6，S＝BC×AE＝CD×AF，∴4x＝6y，得方程组：，解得：∴S平行四边形ABCD＝BC×AE＝12×4＝48．故答案为：48．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与其面积公式，解题的关键是根据性质得到邻边的和，根据面积公式得到方程，再解方程组即可．【知识拓展3】利用平行四边形的性质求坐标例3．（2022·广东·深圳八年级期中）平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝OC＝，则点B的坐标为（）A．(，1) B．(1，) C．(＋1，1) D．(1，＋1)【答案】C【分析】作，求得、的长度，即可求解．【详解】解：作，如下图：则在平行四边形中，，∴∴为等腰直角三角形则，解得∴故选：C【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．【即学即练】1．（2022·广西·八年级期中）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是（）A．（7，3） B．（8，2） C．（3，7） D．（5，3）【答案】A【分析】利用平行四边形的对边平行且相等的性质，先利用对边平行，得到D点和C点的纵坐标相等，再求出CD=AB=5，得到C点横坐标，最后得到C点的坐标．【详解】四边形ABCD为平行四边形。且。C点和D的纵坐标相等，都为3．A点坐标为（0，0），B点坐标为（5，0），．D点坐标为（2，3），C点横坐标为，点坐标为（7，3）．故选：A．【点睛】本题主要是考察了平行四边形的性质、利用线段长求点坐标，其中，熟练应用平行四边形对边平行且相等的性质，是解决与平行四边形有关的坐标题的关键．【知识拓展4】平行四边形中的翻折问题例4．（2022·绵阳市·八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F，若，，则的度数为（）

A．40° B．36° C．50° D．45°【答案】B【分析】由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得，，由三角形的外角性质求出，由三角形内角和定理求出，即可得出的大小．【详解】解：∵四边形是平行四边形，，由折叠的性质得：，，，，．故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出和是解决问题的关键．【即学即练4】1．（2022·安徽阜阳市·九年级期末）如图，在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点E、F分别是边AB、CD上的动点，将该四边形沿折痕EF翻折，使点A落在边BC的三等分点处，则AE的长为．【答案】或【分析】设点A落在BC边上的A′点，分两种情况：①当A′C=BC=2时；②如图2，当A′B=BC=2时，过A′点作AB延长线的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理即可．【详解】设点A落在BC边上的A′点．①如图1，当A′C=BC=2时，A′B=4，设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．过A′点作A′M垂直于AB，交AB延长线于M点，在Rt△A′BM中，∠A′BM=60°，∴BM=2，A′M=2．在Rt△A′EM中，利用勾股定理可得：x2=（10-x）2+12，解得x=．即AE=；②如图2，当A′B=BC=2时，设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．过A′点作A′N垂直于AB，交AB延长线于N点，在Rt△A′BN中，∠A′BN=60°，∴BN=1，A′N=．在Rt△A′EN中，利用勾股定理可得：x2=（9-x）2+3，解得x=．即AE=；所以AE的长为5.6或．故答案为5.6或．【点睛】本题主要考查翻折性质、平行四边形的性质、勾股定理，同时考查分类讨论的数学思想．【知识拓展5】平行四边形性质的综合（多结论问题）例5．（2022·山东济南市·八年级期末）如图，在ABCD中，AD=2AB，，垂足在线段上，、分别是、的中点，连接，、的延长线交于点，则下列结论：①；②：③；④.其中，正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由点F是AD的中点，结合ABCD的性质，得FD=CD，即可判断①；先证∆AEF≅∆DHF，再证∆ECH是直角三角形，即可判断②；由EF=HF，得，由，CE⊥CD，结合三角形的面积公式，即可判断③；设∠AEF=x，则∠H=x，根据直角三角形的性质，得∠FCH=∠H=x，由FD=CD，∠DFC=∠FCH=x，由FG∥CD∥AB，得∠AEF=∠EFG=x，由EF=CF，∠EFG=∠CFG=x，进而得到，即可判断④．【详解】∵点F是AD的中点，∴2FD=AD，∵在ABCD中，AD=2AB，∴FD=AB=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠BCF，∴∠DCF=∠BCF，即：，∴①正确；∵AB∥CD，∴∠A=∠FDH，∠AEF=∠H，又∵AF=DF，∴∆AEF≅∆DHF（AAS），∴EF=HF，∵，∴CE⊥CD，即：∆ECH是直角三角形，∴=EH，∴②正确；∵EF=HF，∴∵，CE⊥CD，垂足在线段上，∴,∴,∴，∴③错误；设∠AEF=x，则∠H=x，∵在Rt∆ECH中，CF=FH=EF，∴∠FCH=∠H=x，∵FD=CD，∴∠DFC=∠FCH=x，∵点F，G分别是EH，EC的中点，∴FG∥CD∥AB，∴∠AEF=∠EFG=x，∵EF=CF，∴∠EFG=∠CFG=x，∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x，∴．∴④正确．故选C．【点睛】本题主要考查平行四边形和直角三角形的性质定理的综合，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．【即学即练】1．（2022·山东泰安市·九年级期末）如图，的对角线交于点平分交于点，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（）A．个B．个C．个D．个【答案】C【分析】求得∠ADB=90°，即AD⊥BD，即可得到S▱ABCD=AD•BD；依据∠CDE=60°，∠BDE=30°，可得∠CDB=∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△AOD中，AO＞AD，即可得到AO＞DE；依据O是BD中点，E为AB中点，可得BE=DE，利用三角形全等即可得OE⊥BD且OB=OD．【详解】解：在中，∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED，∴△ADE是等边三角形，，∴E是AB的中点，∴DE=BE，，∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，∴S▱ABCD=AD•BD，故①正确；∵∠CDE=60°，∠BDE=30°，∴∠CDB=∠CDE-∠BDE=60°-30°=30°，∴∠CDB=∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正确；∵Rt△AOD中，AO＞AD，∵AD=DE，∴AO＞DE，故③错误；∵O是BD的中点，∴DO=BO,∵E是AB的中点，∴BE=AE=DE∵OE=OE∴△DOE≌△BOE(SSS)∴∠EOD=∠EOB∵∠EOD+∠EOB=180°∴∠BOE=90°∴OE垂直平分BD，故④正确；正确的有3个，故选择：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式的综合运用，三角形全等判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质定理和等边三角形判定定理，三角形全等判定方法和性质是解题的关键．判定定理进行推理论证是解题的关键．【知识拓展6】平行线间距离的应用例6．（2022·广东广州市·九年级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC，AC＝24，BE＝5，AD＝8，则两平行线AD与BC间的距离是_____．【答案】15【分析】利用等面积法,得2S△ABC=S四边形ABCD,表示出面积即可.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形,∴2S△ABC=S四边形ABCD,设平行线AD与BC间的距离为h,即AC·BE=AD·h∵AC＝24，BE＝5，AD＝8，∴h=15.【点睛】本题考查了平行四边形的性质,等面积法,中等难度,利用等面积法是解题关键.【即学即练】1．（2022·广西桂林市·七年级期末）如图，若表示三角形的面积，表示三角形的面积，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作AEBC，DFBC，根据平行线的性质，可得AE=DF，ABC与DBC分别以AE、DF为高，BC为底，同底同高的三角形面积相等，即可求出答案．【详解】解：如图所示，作AEBC，DFBC，∵ADBC，∴AE=DF，且，，∴，即，故选：A．【点睛】本题主要考察了平行线的性质，即可说明同底同高的三角形面积相等．知识点02平行四边形的判定【知识点】平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD：1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC。2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC。3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC。4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC。5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO。注：=1\*GB3①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）；=2\*GB3②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形。若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的。【知识拓展1】平行四边形的判定例1．（2022·山东·八年级期末）下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D．有两组对角相等的四边形是平行四边形【答案】C【分析】根据平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴选项A不符合题意；B、∵有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项B不符合题意；C、∵有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，∴选项C符合题意；D、∵有两组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．【即学即练1】1．（2022·广东·八年级课时练习）下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（）A．两组对边分别平行 B．一组对边平行，另一组对边相等C．对角线互相平分 D．一组对边平行，一组对角相等【答案】B【分析】根据平行四边形的判定定理逐个判断即可．【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故本选项符合题意；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；D、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，能熟记平行四边形的判定定理是解此题的关键，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．2．（2022·湖北远安·八年级期末）如图四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，∠DAC=∠BCA B．AB=CD，∠ABO=∠CDOC．AC=2AO，BD=2BO D．AO=BO，CO=DO【答案】D【分析】A.证明，即可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判断；B.证明AB∥CD，即可根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断；C.可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断；D.条件不足无法判断；【详解】∠DAC=∠BCA，四边形是平行四边形，故A选项正确，不符合题意；∠ABO=∠CDO又AB=CD，四边形是平行四边形，故B正确，不符合题意；AC=2AO，BD=2BO四边形是平行四边形，故C正确，不符合题意；D.条件不足无法判断，符合题意；故选D【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．【知识拓展2】添加一个条件成为平行四边形例2．（2022·绵阳市八年级专题练习）如图，在中，D，F分别是，上的点，且．点E是射线上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形为平行四边形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由结合已知条件可证明，从而可判断，由结合已知条件可证明，从而可判断，由结合已知条件可判断，由结合已知条件仍不能判定四边形为平行四边形，从而可得到答案．【详解】解：A、∵∠ADE=∠E，∴AB∥CE，又∵DF∥BC，∴四边形DBCE为平行四边形；故选项A不符合题意；B、∵DF∥BC，∴∠ADE=∠B，∵∠B=∠E，∴∠ADE=∠E，∴AB∥CE，∴四边形DBCE为平行四边形；故选项B不符合题意；C、∵DF∥BC，∴DE∥BC，又∵DE=BC，∴四边形DBCE为平行四边形；故选项C不符合题意；D、由DF∥BC，BD=CE，不能判定四边形DBCE为平行四边形；故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．【即学即练2】2．（2022·山东·宁津县八年级期末）如图，在中，点，分别在边，上．若从下列条件中只选择一个添加到图中的条件中．那么不能使四边形是平行四边形的条件是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行四边形的判定条件进行逐一判断即可得到答案.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥EC，AD=BC，∠B=∠D，AB=CD∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故A不符合题意；∵BE=DF∴AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形，故C不符合题意；∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌CDF（SAS），∴AE=CF，BE=DF，∴AF=CE∴四边形AECF是平行四边形，故D不符合题意；由AE=CF，一组对边平行另一组对边相等，不能判断四边形AECF是平行四边形，故B符合题意，故选B.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.【知识拓展3】证明四边形是平行四边形例3．（2022·山西八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．（1）求证：AEF≌DEC；（2）求证：四边形ACDF是平行四边形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB//CD，根据平行线的性质可得就爱∠FAE=∠CDE，利用ASA即可证明△AEF≌△DEC；（2）根据全等三角形的性质可得AF=DC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得结论．【详解】（1）∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC（ASA）．（2）∵△AEF≌△DEC，∴AF＝DC，∵AF∥DC，∴四边形ACDF是平行四边形．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，平行四边形的对边互相平行；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质与判定定理是解题关键．【即学即练3】1．（2021·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：（1）；（2）四边形是平行四边形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）已知，可得到，由得到，可证明出；（2）由（1）得，得到，，，推出，即可证明．【详解】证明：（1），，即，，，在与中，，；（2）由（1）得：，，，，，四边形是平行四边形．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，属于基础题，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定是解题关键．【知识拓展4】利用平行四边形的性质与判定求解例4．（2022·吉林长春市·八年级月考）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于点O．（1）求证：AD与BE互相平分；（2）若AB⊥AC，AC=BF，BE=8，FC=2，求AB的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）连接证明可得：再证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可得答案；（2）由BE=8，FC=2，结合AC=BF，求解再利用AB⊥AC，由勾股定理可得答案．【详解】证明：（1）连接在与中，四边形是平行四边形，AD与BE互相平分；（2）【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．【即学即练4】1．（2022·广东·八年级期中）如图，已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形，∠D＝60°，连接AF，并延长交BE于点P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，则BE的长为（）A．5 B．2 C．2 D．3【答案】D【分析】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，先证∠DHC=90º，再证四边形ADEF是平行四边形，最后利用勾股定理得出结果．【详解】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3，∠ADC=60º，∴CD=AB=3，∠DCH=∠ABC=∠ADC=60º，∵DH⊥BC，∴∠DHC=90º，∴∠ADC+∠CDH=90°，∴∠CDH=30°，在Rt△DCH中，CH=CD=，DH=，∴，∵四边形BCEF是平行四边形，∴AD=BC=EF，AD∥EF，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥DE，AF=DE=1，∵AF⊥BE，∴DE⊥BE，∴，∴，故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用这些性质解决问题．【知识拓展5】利用平行四边形的性质与判定证明例5．（2022·上海九年级专题练习）已知：平行四边形中，点为边的中点，点为边的中点，联结、．（1）求证：∥；（2）过点作，垂足为，联结．求证：△是等腰三角形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得AB∥CD，AB=CD，又由点M为边CD的中点，点N为边AB的中点，即可得CM=AN，继而可判定四边形ANCM是平行四边形，则可证得AM∥CN．（2）由AM∥CN，BH⊥AM，点N为边AB的中点，可证得BH⊥CN，ME是△BAH的中位线，则可得CN是BH的垂直平分线，继而证得△BCH是等腰三角形．【详解】解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴∥且．∵点、分别是边、的中点，∴，．∴．又∵∥，∴四边形是平行四边形∴∥．（2）设BH与CN交于点E，∵AM∥CN，BH⊥AM，∴BH⊥CN，∵N是AB的中点，∴EN是△BAH的中位线，∴BE=EH，∴CN是BH的垂直平分线，∴CH=CB，∴△BCH是等腰三角形．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．【即学即练】1．（2022·辽宁旅顺口·八年级期中）如图，四边形中，，，过点作，垂足为，且．连接，交于点．（1）探究与的数量关系，并证明；（2）探究线段，，的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）∠DAE+∠CAE=90°，理由见解析；（2）AF=EF+CE，理由见解析．【分析】（1）设∠CAE=，先证∠EAB=∠EBA=45°，再证∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2，最后由∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE得出结论；（2）延长DC交AE延长线于G，连接BG，先证△CEA≌△GEB，再证四边形ABGD是平行四边形，最后根据平行四边形的性质解答即可．【详解】解：（1）∠DAE+∠CAE=90°，理由：设∠CAE=，∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°，∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA=45°，∵CD∥AB，∴∠DCA=∠CAB=45°+，∵AC=AD，∴∠DCA=∠ADC=45°+，∴∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2，∴∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE=90°-2++=90°；（2）AF=EF+CE，理由：延长DC交AE延长线于G，连接BG，∵CD∥AB，∴∠ECG=∠EBA=∠EAB=∠CGE=45°，∴CE=EG，AE=BE，又∵∠CEA=∠GEB=90°，∴△CEA≌△GEB，∴AC=GB=AD，∠ACE=∠BGE，∴∠CAE=∠GBE，∵∠GEB=90°，∴∠AGB+∠GBE=90°，∵由（1）知∠DAE+∠CAE=90°，∴∠DAE=∠AGB，∴AD∥BG，∵DG∥AB，∴四边形ABGD是平行四边形，∴AF=GF，∵GF=EF+GE=EF+CE，∴AF=EF+CE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．【知识拓展6】平行四边形中的动态问题例6．（2022·陕西榆林市·八年级期末）如图，的对角线相交于点，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动，连接，并延长交于点．设点的运动时间为秒．（1）求的长（用含的代数式表示）；（2）当四边形是平行四边形时，求的值；（3）当时，点是否在线段的垂直平分线上？请说明理由．【答案】（1）10-t；（2）5秒；（3）见解析【分析】（1）先证明△APO≌△CQO，可得出AP=CQ=t，则BQ即可用t表示；（2）由题意知AP∥BQ，根据AP=BQ，列出方程即可得解；（3）过点O作直线EF⊥AP，垂足为E，与BC交于F，利用三角形面积公式求出EF，得到OE，利用勾股定理求出AE，再说明AP=2AE即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠PAO=∠QCO，

∵∠AOP=∠COQ，∴△APO≌△CQO（ASA），∴AP=CQ=t，∵BC=10，∴BQ=10-t；

（2）∵AP∥BQ，当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，即t=10-t，解得：t=5，∴当t为5秒时，四边形ABQP是平行四边形；（3）过点O作直线EF⊥AP，垂足为E，与BC交于F，在Rt△ABC中，∵AB=6，BC=10，∴AC=，∴AO=CO=AC=4，∵S△ABC＝=，∴AB•AC=BC•EF，∴6×8=10×EF，

∴EF＝，∴OE=，∴AE==，当时，AP=，∴2AE=AP，即点E是AP中点，∴点O在线段AP的垂直平分线上．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，垂直平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．【即学即练】1．（2022·湖南邵阳市·九年级期末）如图，在▱ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，∠A=60°，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间（0≤t≤6）．（1）当t为何值时，△PAQ是等边三角形？（2）当t为何值时，△PAQ为直角三角形？【答案】（1）t=2；（2）t=3或．【分析】（1）根据等边三角形的性质，列出关于t的方程，进而即可求解．（2）根据△PAQ是直角三角形，分两类讨论，分别列出方程，进而即可求解．【详解】解：（1）由题意得：AP=2t（米），AQ=6-t（米）．∵∠A=60°，∴当△PAQ是等边三角形时，AQ=AP，即2t=6-t，解得：t=2，∴当t=2时，△PAQ是等边三角形．（2）∵△PAQ是直角三角形，∴当∠AQP=90°时，有∠APQ=30°，即AP=2AQ，∴2t=2（6-t），解得：t=3（秒），当∠APQ=90°时，有∠AQP=30°，即AQ=2AP，∴6-t=2·2t，解得（秒），∴当t=3或时，△PAQ是直角三角形．【定睛】本题主要考查等边三角形的性质，直角三角形的定义以及平行四边形的定义，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的定义，列出方程，是解题的关键．2．（2022·广东惠城·八年级期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，点D从点C出发沿CA方向以cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤60）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）当t＝30秒或40秒时，△DEF为直角三角形【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出DF，得到DF=AE，并由已知证得DF∥AE，则根据平行四边形的判定定理证明结论；（2）利用①当∠EDF=90°时；②当∠DEF=90°时；③当∠EFD=90°时，分别分析得出即可．【详解】（1）证明：∵等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∴AB＝BC＝60cm，∠C＝45°，由题意得，CD＝t，AE＝t，∵DF⊥BC，∴DF＝CD＝t，∠CFD＝90°，∴DF＝AE，DF∥AE，∴四边形AEFD是平行四边形；（2）解：①当∠EDF＝90°时，如图①，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C＝45°，∴AD＝AE，即60﹣t＝t，解得，t＝30，②当∠DEF＝90°时，如图②，∵AD∥EF，∴DE⊥AC，∴AE＝AD，即t＝×（60﹣t），解得，t＝40，③当∠EFD=90°时，此种情况不存在．综上所述，当t＝30秒或40秒时，△DEF为直角三角形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、等腰直角三角形的性质，掌握平行四边形的判定定理及等腰直角三角形的性质是解题的关键．知识点03三角形的中位线定理【知识点】三角形的中位线定理：1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线）2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，则DE//BC且DE=BC。【知识拓展1】与中位线相关的计算问题例1．（2022·福建·九年级期中）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．50°【答案】A【分析】根据三角形的中位线定理，可得，从而PE=PF，则有∠PEF=∠PFE，再根据三角形的内角和定理，即可求解．【详解】解：∵点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，∴，∵AD＝BC，∴PE=PF，∴∠PEF=∠PFE，∵∠EPF＝130°，∴．故选：A【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．【即学即练】1．（2022·山东潍坊市·八年级期末）如图，在中，是上一点，于点，点是的中点，若，则的长为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据可得△ACD为等腰三角形，再由结合“三线合一”性质可得E为CD的中点，从而得到EF为△CBD的中位线，最终根据中位线定理求解即可．【详解】∵，∴△ACD为等腰三角形，∵，∴E为CD的中点，（三线合一）又∵点是的中点，∴EF为△CBD的中位线，∴，故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形三线合一的性质以及中位线的性质，准确判断出中位线是解题关键．【知识拓展2】三角形的中位线与面积例2．（2022·长春市格致中学九年级期末）如图，有一块形状为△的斜板余料，∠＝90°，＝6，＝8，要把它加工成一个形状为□的工件，使在边BC上,、两点分别在边、上，若点是边的中点，则的面积为_________．【答案】12【分析】作交BC于H点，交DE于I点，根据可得，根据是边的中点可知是的中位线，得，利用三角形面积，可得，，则根据，计算可得结果．【详解】如图示，作交BC于H点，交DE于I点，∵∴∵是边的中点，，∴是的中位线，∴，又∵，即有，∴，∴，∴，故答案为：12．【点睛】本题考查了三角形中位线的应用，勾股定理，三角形的面积和平行四边形的面积，熟悉相关性质定理是解题的关键．中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．【即学即练】1．（2021·四川内江·中考真题）如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得△；再分别取△三边的中点，，，得△；这样依次下去，经过第2021次操作后得△，则△的面积为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据三角形中位线定理计算，再总结规律，根据规律解答即可得．【详解】解：点，分别为，的中点，，点，分别为，的中点，，，，△的面积，故选D．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理．【知识拓展3】与中位线相关的证明问题例3．（2022·山东烟台市·八年级期末）如图，在中，是边的中线，是的中点，连接并延长交于点．求证：．【答案】见解析【分析】取的中点，连接，则DM是△ABF的中位线，利用中位线定理结合全等三角形的判定即可证得．【详解】证明：取的中点，连接，∵是边的中线，∴是边的中点，∴，．∴，．∵是的中点，∴，在△MDE和△FCE中，∴．∴，∴．【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．【即学即练3】1．（2022·山东东平八年级阶段练习）如图，在中，AE平分，于点E，点F是BC的中点（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：；（2）如图2，中，，求线段EF的长．【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）利用ASA定理证明△AEB≌△AED，得到BE=ED，AD=AB，根据三角形中位线定理解答；（2）分别延长BE、AC交于点H，仿照（1）的过程解答．【详解】解：（1）证明：∵AE平分，，∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°，在△AEB和△AED中，，∴△AEB≌△AED（ASA）∴BE=ED，AD=AB，∵点F是BC的中点，∴BF=FC，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=CD=(AC-AD)=(AC-AB)；（2）解：分别延长BE、AC交于点H，∵AE平分，，∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°，在△AEB和△AEH中，，∴△AEB≌△AEH（ASA）∴BE=EH，AH=AB=9，∵点F是BC的中点，∴BF=FC，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=CH=(AH-AC)=2．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．题组A基础过关练1．（2022·贵州铜仁市·八年级期末）如图，点在直线上移动，是直线上的两个定点，且直线.对于下列各值：①点到直线的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点的移动而变化的是（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】根据平行线间的距离不变即可判断①；根据三角形的周长和点P的运动变化可判断②④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断③；进而可得答案．【详解】解：∵直线，∴①点到直线的距离不会随点的移动而变化；∵PA、PB的长随点P的移动而变化，∴②△PAB的周长会随点的移动而变化，④∠APB的大小会随点的移动而变化；∵点到直线的距离不变，AB的长度不变，∴③△PAB的面积不会随点的移动而变化；综上，不会随点的移动而变化的是①③．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线间的距离和同底等高的三角形的面积相等等知识，属于基础题型，熟练掌握平行线间的距离的概念是关键．2．（2022·黑龙江·大庆市北湖学校八年级期末）在□ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，则m的取值范围是（）A．24<m<39 B．14<m<62 C．7<m<31 D．7<m<12【答案】C【分析】作出平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，然后在中，利用三角形三边的关系即可确定m的取值范围．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，，在中，，∴，即，故选：C．【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及三角形三边的关系，熟练掌握平行四边形的性质及三角形三边关系是解题关键．3．（2022·上海九年级专题练习）四边形中，对角线交于点．给出下列四组条件：①∥，∥；②，；③，；④∥，．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有（）A．1组； B．2组； C．3组； D．4组．【答案】C【分析】根据平行四边形的判定方法对①②③④分别作出判断即可求解．【详解】①∥，∥，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；②，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；；③，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；④∥，，无法判定四边形是平行四边形．故选：C【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义和判定定理是解题关键．4．（2022·重庆江北区·字水中学九年级月考）下列命题是假命题的是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．两组对角分别互补的四边形是平行四边形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形【答案】C【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．【详解】解：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，A是真命题；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，B是真命题；两组对角分别相等的四边形是平行四边形，C是假命题对角线互相平分的四边形是平行四边形，D是真命题；故选：C【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，熟练掌握平行四边形的判定是解本题的关键5.（2022·河南·淅川县九年级期中）如图，△ABC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D．延长BD交AC于点N．若AB＝4，DM＝1，则AC的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】证明△ADB≌△ADN，根据全等三角形的性质得到BD=DN，AN=AB=4，根据三角形中位线定理求出NC，计算即可．【详解】解：在△ADB和△ADN中，，∴△ADB≌△ADN（ASA）∴BD=DN，AN=AB=4，∵BM=MC，BD=DN，∴NC=2DM=2，∴AC=AN+NC=6，故选：B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．6．（2022·湖南长沙·九年级期末）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC，的面积为48，OA＝3，则BC的长为（）A．6 B．8 C．12 D．13【答案】B【分析】由平行四边形对角线互相平分得到AC的值，由AC⊥BC，可得，代入即可求出BC边长.【详解】解：∵在中，对角线AC，BD相交于点O，∴OA=OC，∵OA=3，∴AC=2OA=6，∵AC⊥BC，∴，∴BC=8.故选：B【点睛】此题考查平行四边形的性质和平行四边形的面积，掌握平行四边形对角线互相平分的性质是解答此题的关键.7．（2022·四川成都市·八年级期末）如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．【答案】200m【分析】如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M，则四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形，△ABC是等边三角形，由此即可解决问题．【详解】如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M由题意可知，四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形∵∠A＝∠B＝60°∴∴△ABC是等边三角形∴ED＝FM+MK+KH＝CN+JG+HK，EC＝EF+FC＝JN+KG+DH∴“九曲桥”的总长度是AE+EB＝2AB＝200m故答案为：200m．【点睛】本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．8．（2022·渝中区·重庆九年级期末）已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD和BC上，点G、H在对角线AC上，且BF=DE，AH=CG，连接FH、HE、BG、FG．（1）求证：FG=EH．（2）若EG平分∠AEH，FH平分∠CFG，FG//AB，∠ACD=68°，∠GFH=35°，求∠GHF的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）77°【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，通过证明≌即可得证；（2）利用角平分线的定义可得，再根据平行四边形的性质求出，利用三角形外角的性质即可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，∴，∵，∴，即，在和中，，∴≌，∴FG=EH；（2）∵FH平分∠CFG，∠GFH=35°，∴，∵FG//AB，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴，∴．【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，掌握上述性质定理是解题的关键．9．（2022·江苏盐城市·八年级期末）如图，在中，，．（1）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）①作的平分线交于点D；②作边的中点E，连接；（2）在（1）所作的图中，若，则的长为__________．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）6.5【分析】（1）①以A为圆心，小于AB的长度为半径画圆，交AB、AC于两个点，再分别以这两个点为圆心，一样的半径画弧，交于一点，连接这个点与点A，即可得到的平分线，再画出它与BC的交点D；②作线段AC的垂直平分线，即可找到线段AC的中点E，连接DE；（2）由等腰三角形“三线合一”的性质得，，用勾股定理求出AB的长，再根据中位线的性质得到DE的长．【详解】解：（1）①如图所示：②如图所示：（2）∵，AD平分，∴，，在中，，∵E、D分别是AC和BC的中点，∴，故答案是：6.5．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，中位线的定理，以及角平分线和垂直平分线的作法，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理以及作图方法．10．（2022·黑龙江肇源·八年级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．【答案】（1）见解析；（2）平行四边形DEFB的周长＝【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形；（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解．【详解】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//BC，BC＝2DE，∵CF＝3BF，∴BC＝2BF，∴DE＝BF，∴四边形DEFB是平行四边形；（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，∴BD＝EF，∵D是AC的中点，AC＝12cm，∴CD＝AC＝6（cm），∵∠ACB＝90°，∴BD＝＝10（cm），∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFB为平行四边形是解题的关键．题组B能力提升练1．（2022·山东青岛市·八年级期末）如图，在平行四边形中，为上一点，，且，，则下列选项正确的为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】解根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠BEC，利用平行四边形的性质解答即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠ABE＝∠BEC＝28°，∵CE＝BC，∴∠EBC＝∠BEC＝28°，∴∠ABC＝56°，∴∠BAD＝∠C＝124°，∠DAE＝56°，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠AED，∵AE＝ED，∴∠D＝∠DAE＝56°，∴∠BAE＝124°−56°＝68°，∴∠AED＝180°−56°−56°＝68°，∴∠AEB＝180°−68°−28°＝84°，故选：B．【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠BEC解答．2．（2022·山东潍坊市·八年级期末）如图，在平行四边形中，平分，则平行四边形的周长是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD的周长．【详解】解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC=AD=6，AB=CD，∴∠ADE=∠CED，∴∠CDE=∠CED，∴CE=CD，∵AD=6，BE=2，∴CE=BC-BE=6-2=4，∴CD=AB=4，∴▱ABCD的周长=6+6+4+4=20．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明CE=CD是解题的关键．3．（2022·广东梅州市·九年级期末）点是平行四边形的对称中心，，、分别是边上的点，且；、分别是边上的点，且；若，分别表示和的面积，则，之间的等量关系是__________．【答案】【分析】如图，连接OA，OB，OC．设平行四边形的面积为4S．求出S1，S2（用s表示）即可解决问题．【详解】解：如图，连接OA，OB，OC．设平行四边形的面积为4S．∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，∴S△AOB=S△BOC=S平行四边形ABCD=S，∵EF=AB，GH=BC，∴S1=S，S2=S，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．4．（2022·北京·人大附中八年级阶段练习）已知点A(3，0)、B(﹣1，0)、C(2，3)，以A、B、C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是_____．【答案】(﹣2，3)或(0，﹣3)或(6，3)【分析】首先画出坐标系，再分别以AC、AB、BC为对角线通过线段平移作出平行四边形，进而可得D点坐标．【详解】解：如图，以BC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向左平移1个单位，B点对应的位置为（﹣2，3）就是第四个顶点D1；以AB为对角线，将BC向下平移3个单位，再向右平移1个单位，B点对应的位置为（0，﹣3）就是第四个顶点D2；以AC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向右平移4个单位，C点对应的位置为（6，3）就是第四个顶点D3；∴第四个顶点D的坐标为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3），故答案为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3）．【点睛】本题考查图形与坐标，平行四边形的判定与性质，平移的性质，掌握平行四边形的判定与性质，平移的性质是解题关键．5．（2022·山东东营市·八年级期末）如图，在中，已知AB=8，BC=6，AC=7，依次连接的三边中点，得到，再依次连接的三边中点，得到，，按这样的规律下去，的周长为____．【答案】【分析】由再利用中位线的性质可得：再总结规律可得：从而运用规律可得答案．【详解】解：探究规律：AB=8，BC=6，AC=7，分别为的中点，同理：总结规律：运用规律：当时，故答案为：【点睛】本题考查的是图形周长的规律探究，三角形中位线的性质，掌握探究规律的方法与三角形中位线的性质是解题的关键．6．（2022·江西抚州市·九年级期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使CE＝CD，连接OE交BC于点F，若BC＝4，则CF＝_____．【答案】1【分析】作OG∥BC交DC于G点，则根据可得G为DC的中点，同理在△OGE中，运用中位线定理可得CF的长度．【详解】如图，作OG∥BC交DC于G点，∵O为BD的中点，∴G为DC的中点，即OG是△BDC的中位线，∴，又∵，∴，即C为EG的中点，∵CF∥OG，∴CF为△OGE的中位线，∴，故答案为：1．【点睛】本题主要考查中位线定理，熟练掌握中位线的判断以及灵活运用中位线定理是解题关键．7．（2022·江苏射阳·九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，BF：BE＝4：5，求AD长．【答案】（1）见详解；（2）AD=3【分析】（1）由题意易得AD∥EC，进而根据平行四边形的判定定理可求解；（2）由题意易得EF=3，然后根据角平分线的性质定理可得EC=EF=3，进而问题可求解．【详解】（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，∴AD∥EC，∵AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形；（2）解：∵BE＝5，BF：BE＝4：5，∴BF＝4，∵EF⊥AB，∴由勾股定理可得：，∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACB＝90°，∴EC=EF=3，∵四边形AECD是平行四边形，∴EC=AD=3．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定、勾股定理及角平分线的性质定理，熟练掌握平行四边形的判定、勾股定理及角平分线的性质定理是解题的关键．8．（2022·河南卫辉·九年级期中）（教材呈现）如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．（定理证明）（1）请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．（定理应用）（2）如图②，四边形中，、、分别为、、的中点，边、延长线交于点，，则的度数是_______．（3）如图③，矩形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转一定的角度，得到线段，是线段的中点，直接写出旋转过程中线段长的最大值和最小值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）长的最大值为，最小值为．【分析】（1）延长至，使，连接，根据题意证明，然后证明四边形为平行四边形，即可得出，；（2）首先根据三角形外角的性质得到，然后由三角形中位线的性质得到，，可得到，由即可求出的度数．（3）延长至，使，连接，，可得，可得当FH最小或最大时，MB最小或最大，由题意可得当点在线段上时，最小，当点在线段的延长线上时，最大，根据勾股定理求出AH的长度，然后即可求出线段长的最大值和最小值．【详解】（1）证明：延长至，使，连接，在和中，，，，，，，，四边形为平行四边形，，，，；（2）∵、、分别为、、的中点，∴是△DAB的中位线，是△BCD的中位线，∴，，∴，，

又∵，∴，∴；（3）解：延长至，使，连接，，，，，由勾股定理得，，当点在线段上时，最小，最小值为，当点在线段的延长线上时，最大，最大值为，长的最大值为，最小值为．【点睛】此题考查了三角形中位线的性质，勾股定理的运用，线段最值问题，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理．题组C培优拔尖练1．（2022·浙江杭州市·八年级期末）如图，在平行四边形中，，．作于点E，于点F，记的度数为，，．则以下选项错误的是（）A．B．的度数为C．若，则四边形的面积为平行四边形面积的一半D．若，则平行四边形的周长为【答案】C【分析】由平行四边形的性质得出，，，，得出，求出，得出；由平行四边形的面积得出；若，则，求出，由直角三角形的性质得出，，得出，，求出平行四边形的周长；求出的面积，的面积，平行四边形的面积，得出四边形的面积平行四边形的面积的面积的面积平行四边形面积的一半；即得出结论．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，，，于点，于点，，；平行四边形的面积，，，，；若，则，，，，，，平行四边形的周长；的面积，的面积，平行四边形的面积，四边形的面积平行四边形的面积的面积的面积平行四边形面积的一半；综上所述，选项、、不符合题意，选项符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．2．（2022·浙江杭州市·八年级月考）如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至，与交于点F，若，则的大小为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，由三角形内角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大小．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=52°，

由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，

∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°-∠EAD′-∠D′=108°，

∴∠FED′=108°-72°=36°；故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键．3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB于E，在线段AB上，连接EF、CF．则下列结论：①∠BCD=2∠DCF；②∠ECF=∠CEF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF，其中一定正确的是（

）A．②④ B．①②④

C．①②③④

D．②③④【答案】B【分析】根据易得DF=CD，由平行四边形的性质AD∥BC即可对①作出判断；延长EF，交CD延长线于M，可证明△AEF≌△DMF，可得EF=FM，由直角三角形斜边上中线的性质即可对②作出判断；由△AEF≌△DMF可得这两个三角形的面积相等，再由MC＞BE易得S△BEC＜2S△EFC，从而③是错误的；设∠FEC=x，由已知及三角形内角和可分别计算出∠DFE及∠AEF，从而可判断④正确与否．【详解】①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠BCD=2∠DCF，故①正确；②延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FE，∴∠ECF=∠CEF，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，，∴S△BEC＜2S△EFC，故S△BEC=2S△CEF，故③错误；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故④正确，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形的面积等知识，构造辅助线证明三角形全等是本题的关键和难点．4．（2022·黑龙江·鸡西市九年级期中）在平行四边形中，，于，于，，BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】A【分析】先判断△DBE是等腰直角三角形，根据勾股定理可推导得出BD=BE，可判断①不正确；根据∠BHE和∠C都是∠HBE的余角，可得∠BHE=∠C，再由∠A=∠C，可判断②正确；证明△BEH≌△DEC，从而可得BH=CD，再由AB=CD，可判断③正确；利用对应边不等可判断④不正确，据此即可得到选项．【详解】解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC于E，∴∠DEB=90°，∠BDE=180°-∠DBE-∠DEB=180°-45°-90°=45°，∴BE=DE，∴在Rt△DBE中，BE2+DE2=BD2，∴BD=BE，故①正确；∵DE⊥BC，BF⊥DC，∴∠HBE+∠BHE=90°，∠C+∠FBC=90°，∴∠BHE和∠C都是∠HBE的余角，∴∠BHE=∠C，又∵在▱ABCD中，∠A=∠C，∴∠A=∠BHE，故②正确；在△BEH和△DEC中，，∴△BEH≌△DEC（AAS），∴BH=CD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，∴AB=BH，故③正确；∵BE＞BH＞BE=DE，BC＞BF＞BH=DC，∠FBC=∠EDC，∴不能得到△BCF≌△DCE，故④错误．故选A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键．5．（2022·全国·八年级课时练习）中，点D、E、F分别为边的中点，作．若的面积是12，则的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】过A作AH⊥BC于H，取BH中点为G，连结DG，EM⊥DF于M，根据三角形的中位线性质可得，，DF∥BC，由D、G为AB、BH中点，可得DG∥AH，且DG=，根据平行线间的距离处处相等可得DG=ME=，利用三角形面积公式S△ABC=，再求即可．【详解】解：过A作AH⊥BC于H，取BH中点为G，连结DG，EM⊥DF于M，