数学-湖北省荆州市沙市中学2024-2025学年2025届高三上学期12月月考试题和答案

试卷第1页，共5页2024—2025学年度上学期2022级.12月月考数学试卷命题人：郭松审题人：冷劲松考试时间：2024年12月26日一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数（其中i为虚数单位则z=()2．用最小二乘法得到一组数据(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)的线性回归方程为=2x+3，若A．11B．133．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为，若则()5．已知函数=sin的图象向左平移后所得的函数为奇函数，则的最小6．记抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A(4,m)为抛物线上一点，AF=6，直线AF与抛物线另一交点为试卷第2页，共5页 BC，Q为A1C1上一点，A1Q=A1C1，则经过A，P，Q三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是()8．若函数f(x)定义域为R，且f(2x+1)为偶函数，f(x)关于点(2,3)成中心对称，则f(1)+f(2)+…+f(23)的值是()二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列关于平面向量的说法中正确的是()A．已知点A,B,C是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且+0.4则B．已知向量=(1,2),=(1,1)，且与+10．如图所示，若长方体AC的底面是边长为2的正方形，高为4．E是BB．三棱锥C1-B1CE的体积为BDD．三棱锥C1-B1CD1的外接球的表面积为24π交于P,Q两点，若PQ丄PF2，且4PQ=3PF2，则()试卷第3页，共5页C．双曲线C的渐近线方程为D．直线PQ的斜率为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。10的展开式中，x7的系数为15，则a=.（用数字填写答案）点E在棱BD上，且BD=4BE，过点E作四面体ABCD的外接球O的截面，则所得截面圆的面积最小值与球O的表面积之比为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+csinB=a.（1）求B；（2）若a2+c2=2，求b的取值范围.16．已知函数f(x)=lnx+ax2-3x.函数f(x)在x=处取得极值.（1）求实数a；（2）对于任意x1，x2∈[1,2]，当x1<x2时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.17．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、Q分别为棱C1D1、BB1、试卷第4页，共5页AB1的中点.（1）求证：A1N丄平面AMQ；（2）求二面角N-AM-Q的余弦.x1x218．已知椭圆C的两个焦点F1(-2,0)，F2(2,0)，过F1点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，△MNF2的周长等于16.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点P(-8,0)的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线AF1，BF1的斜率分别为k1，k2.（i）求证：k1+k2为定值；（ii）求△ABF1面积的最大值.19．给定正整数n≥2，设数列a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列，对i∈{1,2,…,n},xi表示以ai为首项的递增子列的最大长度（数列中项的个数叫做数列的长度yi表示以ai为首项的递减子列的最大长度.我们规定：当ai后面的项没有比ai大时，xi=0，当ai后面的项没有y122,y2和xi-yi求xi-yi的最值.试卷第5页，共5页高三年级12月月考数学答案12)(1)由正弦定理及bcosC+csinB=a可得sinBcosC+sinCsinB=sinA，又B+C=π-A，(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=2-ac，因为2ac≤a2+c2=2，ac≤1，所以b2≥1，当且仅当16.(1)a=1(2)(-∞,-6]+2ax-3=因为处取得极值，故2a×2-3×解得a=1.当a=1时，f(x)=lnx+x2-3x故f(x)在x=处导函数为0，且在 左右导函数异号，满足极值点条件，故a=1→f构造函数恒成立，所以函数g(x)在x∈[1,2]上单调递减，即g,+2x-3+在设h(x)=-2x3+3x2-x→h,(x)=-6x2+6x-1=-6(x-)2+，因为x∈[1,2]，12所以-13≤h,(x)≤-1，所以函数h(x)=-2x3+3x2-x单调递减，.故h(x)min=h(2)=-6，因此m≤-6，故实数m的取值范围为(-∞,-6]17.（1）证明见解析（2）【解析】（1）证明：正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，Q分别为棱C1D1，A1B1的中点，所以N，所以QM丄A1N，正方形ABB1A1中，N为B1B的中点，Q A1N丄AQ；又AQ、QM平面AMQ，AQ∩QM=Q，所以A1N丄 平面AMQ.（2）如图，以点D为原点，分别以DA、DC、DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系.因为正方体棱长为2，M，N，Q分别为棱C1D1，BB1，AB(0,2,-1)是平面AQM的一个法向量，设=(x2,y2,z2)是平面ANM的法向量，则22所以所以二面角N-AM-Q的余弦值为，证明见解析ii）△ABF1面积的最大值为3.22【小问2详解】（i）证明：由题意可知直线斜率存在，当直线斜率为0时，显然k1=k2=0，所以2=0；当直线斜率不为0时，设直线方程为x=my-8，3设A(X1,y1,BX2,y2，则y1y2=,y1+y2=所以k122为定值0.所以S△ABFS△PA-S△PBy1-y2，2=时等号成立， 所以△ABF1面积的最大值为33.x3,y2=2，xi-yi证明见解析；（3）当n为偶数时xi-yi的最小值为；当n为奇数时xi-yi的最小值为；【小问1详解】以a1为首项的最长递增子列是a1,a3,a4，所以x1=3，因为a2后面的项都比a2小，所以x2=0，以a3为首项的最长递增子列是a3,a4，所以x3=2，因为a4后面没有项，所以x4=0；因为a1后面的项都比a1大，所以y1=0，以a2为首项的最长递减子列是a2,a3或者a2,a4，所以y2=2；因为a3后面的项都比a3大，所以y3=0，因为a4后面没有项，所以y4=0；2=2，xi-yi4i+1，则每个以ai+1为首项的递增子列都可以在前面加一个ai，得到一个以ai为首项的更长的递增子列，所以xi>xi+1，而每个以ai为首项的递减子列都不包含ai+1，且ai<ai+1，故可将ai替换为ai+1，得到一个长度相同的递减子列，所以yi≤yi+1，这意味着xi-yi>xi+1-yi+1；总之xi-yi≠xi+1-yi+1，且xi-yi和xi+1-yi+1不能同时为零，【小问3详解】由（2）可知xi-yi和xi+1-yi+1不能同时为零，故xi-yi+xi+1-yi+1≥1，当n为偶数时，设n=2k，一方面有x