中考数学二轮复习平行四边形复习题及解析

中考数学二轮复习平行四边形复习题及解析

一、选择题

1.如图，正方形A8CD的边长为4,点E在边48上，AE=1,若点P为对角线8。上的一

个动点，则△PAE周长的最小值是（）

2.如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点。，AB=4,BD=4且，E为AB的中点,

3.如图，正方形ABCD的边长为2a,点E从点A出发沿着线段AD向点D运动（不与点

A、D重合），同时点F从点D出发沿着线段DC向点C运动（不与点D、C重合），点E与点F

的运动速度相同.BE与AF相交于点G,H为BF中点，则有下列结论：①NBGF是定值；

②BF平分NCBE：③当E运动到AD中点时，GH=—67；④当品AGB=（#+2）a时，S四边形

A.①③B.①②③C.①③④D.①④

4.如图，将矩形488沿E尸折叠后点。与8重合.若原矩形的长宽之比为3:1,则——

BF

的值为（）

AE

5.如图，正方形ABC。和正方形CEFG中，BCE三点在同一直线上，点。在CG

上.BC=1,CE=3,连接是A尸的中点，连接C”,那么C”的长是（）

A.y/5B.2>/5C."D.4&

2

6.如图，一张长方形纸片的长AD=4,宽AB=1，点E在边AO上，点尸在边8C

上，将四边形A5正沿着所折叠后，点8落在边AO的中点G处，则EG等于（）

175

A.Vr3B.2Vr3C.—D.—

84

7.如图，在ABCD中，AD=2AB.CE1AB,垂足上在线段43上，尸、G分别是

AD>CE的中点，连接/G,EF、CO的延长线交于点”，则下列结论：

①NDCF=g/BCD；②EF=CF：③S^^二2SCEF；④NOFE=3ZAE/<其中，正

确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧，

交边AD于点；②再分别以B,F为圆心画弧，两弧交于平行四边形ABCD内部的点G处;

③连接AG并延长交BC于点E,连接BF,若BF=3,AB=2.5,则AE的长为（）

A.2B.4C.8D.5

9.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E是CD的中点，将BCE沿BE翻折至BFE,连接

DF,则DF的长度是（）

5555

10.如图，已知AABC的面积为12,点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且

BF=4CF,四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）

A.2B.3C.4D.5

二、填空题

11.如图，在AABC中，ZBAC=9O°,点D是BC的中点，点E、F分别是直线AB、AC±

的动点，ZEDF=90°,M、N分别是EF、AC的中点，连结AM、MN,若AC二6,AB=5,

则AM-MN的最大值为.

12.在平行四边形ABCD中，ZA=30°,AD=2>/3,BD=2,则平行四边形ABCD的面积

等于.

13.如图，正方形ABCD中，NZMC的平分线交DC于点E,若P,Q分别是AD和AE上

的动点，则DQ+PQ能取得最小值4时，此正方形的边长为.

14.如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,E为BC边上一动点，作EF_LAE,且EF=

AE.连接DF,AF.当DFJLEF时，4ADF的面积为.

15.菱形O8C。在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点8（2石.0）,NDOB=

60°,点P是对角线OC上一个动点，E（0,一1）,则EP十BP的最小值为

16.如图，正方形48co面积为1,延长D4至点G,使得4G=4D,以。G为边在正

方形另一侧作菱形。GFE,其中NEPG=45°，依次延长AB,3C,CQ类似以上操作再

作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点r"，M,N,则四边形

FHMN的面积为.

17.如图，长方形A5CO中，AO=26,AB=12,点。是的中点，点尸在AO边

上运动，当V3PQ是以。尸为腰的等腰三角形时，A尸的长为,

18.如图，点E、F分别在平行四边形A8C。边8c和4。上（E、F都不与两端点重合），

A/

连结4E、DE、BF、CF,其中女和8F交于点G,DE和CF交于点H.令一=H,

BC

PC

一=m.若〃2=〃，则图中有个平行四边形（不添加别的辅助线）；若

BC

加+〃=1,且四边形48C。的面积为28,则四边形FGEH的面积为.

19.如图所示，在四边形ABCD中，顺次连接四边中点E、F、G、H,构成一个新的四边

形，请你对四边形ABCD添加一个条件，使四边形EFGH成一个菱形，这个条件是

20.如图，在平行四边形A3CD中，AB=5,AD=3fN斜。的平分线AE交8于点

E，连接BE,若/BAD=/BEC,则平行四边形43co的面积为

三、解答题

21.已知，四边形ABC。是正方形，点£是正方形48C。所在平面内一动点（不与点。重

合），AB=AE,过点8作的垂线交D£所在直线于F,连接CF.

提出问题：当点E运动时，线段CF与线段0E之间的数量关系是否发生改变？

探究问题：

（1）首先考察点£的一个特殊位置：当点E与点8重合（如图①）时，点F与点8也重

合.用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：_；

（2）然后考察点£的一般位置，分两种情况：

情况1：当点£是正方形48co内部一点（如图②）时；

情况2：当点E是正方形48co外部一点（如图③）时.

在情况1或情况2下，线段CF与线段0E之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如

果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请

说明理由；

拓展问题：

（3）连接AF,用等式表示线段CF、0F三者之间的数量关系：

22.在等边三角形ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不与B,C重合），以AD为边

在AD的上方作菱形ADEF,且NDAF=60°,连接CF.

（1）（观察猜想）如图（1）,当点D在线段CB上时，

①/BCF=。；

②BC,CD,CF之间数量关系为.

（2）（数学思考）：如图（2）,当点D在线段CB的延长线上时，（1）中两个结论是否

仍然成立？请说明理由.

（3）（拓展应用）：如图（3）,当点D在线段BC的延长线上时，若45=6,

CD=gBC,请直接写出C尸的长及菱形ADEF的面积.

图（2）图（3）

图（1）

23.如图，在心△ABOU,ZABC=90°,ZC=30°,AC=\2cm,点E从点A出发

沿AB以每秒Icvw的速度向点8运动，同时点Z）从点C出发沿C4以每秒2cM的速度向

点A运动，运动时间为，秒（0vtv6）,过点。作。尸于点尸.

（1）试用含/的式子表示AE、AD.。尸的长；

（2）如图①，连接EF，求证四力形是平行四边形；

（3）如图②，连接OE,当f为何值时，四边形七NED是矩形？并说明理由.

24.如下图1,在平面直角坐标系中9中，将一个含30°的直角三角板如图放置，直角顶

点与原点重合，若点A的坐标为（一1,0）,ZABO=30°.

（1）旋转操作：如下图2,将此直角三角板绕点。顺时针旋转30°时，则点B的坐标

为.

（2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点0顺时针60。，如图3,在AB边

上的上方以AB为边作等边A8C,问：是否存在这样的点D,使得以点A、B、C、D四

点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D所有可能的坐标；若不存在，请

说明理由.

(3)动点分析：在图3的基础上，过点。作OP_LA5于点P,如图4,若点F是边0B的

25.如图，四边形。48c中，BC//AO,A(4,0),B(3,4),C(0,4).点M从。出

发以每秒2个单位长度的速度向4运动；点N从8同时出发，以每秒1个单位长度的速度

向C运动.其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.过点A/作NP垂直x

轴于点P，连结4c交NP于Q,连结MQ.

(1)当t为何值时，四边形8NMP为平行四边形？

(2)设四边形8/V外的面积为y,求y与t之间的函数关系式.

(3)是否存在点M,使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，

请说明理由.

26.如图，在正方形A5CQ中，E是边4B上的一动点(不与点A、8重合)，连接

DE，点A关于直线力石的对称点为尸，连接所并延长交于点G,连接OG,过点

七作EHJL0E交。G的延长线于点〃，连接

(1)求证：GF=GC；

(2)用等式表示线段3"与AE的数量关系，并证明.

c

27.如图所示，四边形A8CO是正方形，M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直

角边经过点O，且直角顶点E在A8边上滑动(点E不与点48重合)，另一直角边与

NCBM的平分线BF相交于点F.

⑴求证：ZADE=AFEM;

⑵如图(1),当点E在A8边的中点位置时，猜想OE与即的数量关系，并证明你的猜想;

(3)如图(2),当点E在A3边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时。E与£尸有怎样的数

量关系，并证明你的猜想.

28.猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF,使B,C,G三点在一条直

线上，CE在边CD上.连结AF,若M为AF的中点，连结DM,ME,试猜想DM与ME的

数量关系，并证明你的结论.

拓展与延伸：

⑴若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,其他条件不

变，则DM和ME的关系为；

(2)如图②摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,使点F在边CD上，点M仍为AF的

中点，试证明⑴中的结论仍然成立.［提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半］

29.已知正方形ABCO与正方形(点C、E、F、G按顺时针排列)，是的中点，连接，.

（1）如图1,点E在上，点在的延长线上，

求证：DM=ME,DMl.ME

简析：由是的中点，AD〃EF,不妨延长EM交AD于点N,从而构造出一对全等的三角

形，即且.由全等三角形性质，易证ADNE是三角形，进而得出结论.

（2）如图2,在OC的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立，请证明你的结

论；若不成立，请说明理由.

（3）当AB=5,CE=3时，正方形的顶点C、E、F、G按顺时针排列.若点E在直线CD上，

则DM=;若点E在直线BC上，则DM=.

30.如图，在矩形A8C。中，AD=nAB,E,F分别在48,8c上.

（1）若〃=1,AFLDE.

①如图1,求证：AE=BF；

②如图2,点G为C8延长线上一点，DE的延长线交4G于H,AH=AD,求证：AE+BG

=4G；

CF

（2）如图3,若E为48的中点，ZADE=ZEDF.则二7的值是（结果用

含n的式子表示）.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.D

解析：D

【分析】

连接AC、CE,CE交BD于P,此时4P+PE的值最小，求出CE长，即可求出答案.

【详解】

解：连接AC、CE,CE交BD于P,连接AP、PE,

:四边形48CD是正方形，

：.OA=OC,ACA.BD,即A和C关于8。对称，

：,AP=CP,

BPAP+PE=CE,此时4P+PE的值最小，

所以此时△以E周长的值最小，

;正方形A8CD的边长为4,点£在边48上，AE=1,

：.ZABC=90°,BE=4-1=3,

由勾股定理得：C£=5,

:.△%E的周长的最小值是AP+PE+AE=CE+AE=5+1=6,

故选0.

【点睛】

本题考查了正方形的性质与轴对称一一最短路径问题，知识点比较综合，属于较难题型.

2.C

解析：C

【解析】

【分析】

连结DE交AC于点P,连结BP,根据菱形的性质推出A。是BD的垂直平分线，推出

PE+PB=PE+PD=DE且值最小，根据勾股定理求出DE的长即可.

【详解】

如图，设AC,BD相交于0,

•・•四边形ABCD是菱形,

.\AC±BD,A0=-AC,B0=-BD=2g,

22

VAB=4,

AA0=2,

连结DE交AC于点P,连结BP,作EM_LBD于点M,

・・•四边形ABCD是菱形，

AAC1BD,且DO=BO,即AO是BD的垂直平分线，

APD=PB,

.\PE+PB=PE+PD=DE且值最小，

TE是AB的中点，EM±BD,

11七

AEM=-AO=1,BM=yBO=V2»

/.DM=DO+OM=60=373»

・•・DE=JEW+DM?=712+(3X/3)2=277，

故选c.

【点睛】

此题考查了轴对称-最短路线问题，关键是根据菱形的判定和三角函数解答.

3.A

解析：A

【解析】

【分析】

根据题意很容易证得△BAEgZXADF,即可得到AF=BE,利用正方形内角为90。，得出

AF_LDE,即可判断①，②无法判断，③根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解.

④根据ABAEZ/XADF,即可得到S四边形GEDF=SABG,即可求解.

【详解】

①证明：；E在4。边上(不与A.D重合)，点F在DC边上(不与D.C重合).

又,：点E.F分别同时从A.D出发以相同的速度运动，

：.AE=DF,

;四边形A8CD是正方形，

・•・AB=DA.ZBAE=ZD=90,

在"AE和邛中，

AE=DE

<NBAE=NADF=90

AB=ADf

/.ABAE^AADF(SAS),

AZ1=Z2,

vZ2+Z3=90

・•・Zl+Z3=90

即ZAGB=90

NBGF=90,

NBGF是定值；正确.

②无法判断NG8尸与NC8尸的大小，BF平分NCBE；错误.

③当E运动到AD中点时，

点F运动到CD中点，

CF=-CD=a,

2

BF=y]BC2+CF2=显

GH==—BF=史~(1,正确.

22

@^BAE^^ADF,

则S四边形GEDF=SMG，

当CAAGB=(#+2)〃时，

AG+GB=&,

222

(AG+GB)2=AG+2AGGB+GB=6ay

AG2+BG2=AB2=4a2,

2AGGB=2a\

2

SnAnli\j(;=2-AGGB=-a7,

S四必影GEDF=77a2，故s内心IEGEOF=~02>错误.

26

故选A.

【点睛】

考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理

是解题的关键.

4.D

解析：D

【分析】

根据折叠的性质得到ED'=BE,/D'EF=NBEF,根据平行线的性质得到ND'EF=

NEFB,求得BE=BF,设AD'=BC'=3x,AB=x,根据勾股定理得到BE=x,于是得

3

到结论.

【详解】

如图，将矩形ABCD沿EF折叠后点D与B重合,

・・・ED'=BE,ND'EF=ZBEF,

VAD'〃BC',

•'ND'EF=ZEFB,

AZBEF=ZEFB,

・・・BE=BF,

•・•原矩形的长宽之比为31,

，设AD'=BC'=3x,AB=x,

AAE=3x-ED/=3x-BE>

VAE2+AB2=BE2,

/.(3x-BE)2+x2=BE2,

解得：BE=-x,

3

54

，BF=BE=—x,AE=3x-BE=­x

33

4

.AE_3X4

BF5^5

【点睛】

本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，

熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

5.A

解析：A

【分析】

如下图，根据点H是AF的中点和HM/7FE,可得HP是4ANF的中位线，四边形MPNE是

矩形，再根据中位线的性质和矩形的性质，可推导求得HM、CM的长，在Rt^HCM中求CH

即可

【详解】

如下图，过点H作BE的垂线，交BE于点M,延长AD交FE于点N,交HM于点P

•・•四边形ABCD、CEFG是正方形，・・・ADJ_EF,ZE=90°

VHM±BE

・•・四边形PMEN是矩形

VBC=1,CE=3

/.NE=L・・・FN=2,PM=1

VI1M1BE,FE1BE,点H是AF的中点

AUM是ZiANF的中位线

.*.HP=-EF=1,AP=PN=2

2

ACM=1

・•・在RtZXCHM中,CH=75

故选：A

【点睛】

本题考查正方形的性质和三角形中位线定理，解题关键是将梯形ABEF分割成矩形和三角

形的形式，然后才可利用三角形中位线定理.

6.D

解析：D

【分析】

连接BE,根据折叠的性质证明△ABEg/\4'GE，得到BE=EG,根据点G是AD的中点，

AD=4得到AE=2-EG=2-BE,再根据勾股定理即可求出BE得到EG.

【详解】

连接BE,

由折叠得：AE=A!E,ZA=ZAz=90°,AB=A!G,

/.△ABE^AA1GE,

ABE=EG,

丁点G是AD的中点，AD=4,

AAG=2,即AE+EG=2,

AAE=2-EG=2-BE,

在内△ABE中，BE2=AE2+AB2

222

：.BE=(2-BE)+\t

EG=BE=—，

4

故选：D.

【点睛】

此题考查折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，利用折叠证明三角形全等,

目的是证得EG=BE,由此利用勾股定理解题.

7.C

解析:C

【分析】

由点F是AD的中点，结合ABCD的性质，得FD=CD,即可判断①；先证

△AEFaADHF,再证AECH是直角三角形，即可判断②；由EF=HF,得5・♦125底产，

由CE±CD,结合三角形的面积公式，即可判断③；设NAEF=x,则NH=x,

根据直角三角形的性质，得NFCH二NH=x,由FD=CD,ZDFC=ZFCH=x,由

FG〃CD〃AB,得NAEF=NEFG=x,由EF=CF,ZEFG=ZCFG=x,进而得到

/DFE=3ZAEF,即可判断④.

【详解】

丁点F是AD的中点，

A2FD=AD,

••,在ABCD中，AD=2AB,

/.FD=AB=CD,

AZDFC=ZDCF,

VAD/7BC,

AZDFC=ZBCF,

AZDCF=ZBCF,即：NDCF=；NBCD,

・••①正确；

VAB#CD,

AZA=ZFDH,ZAEF=ZH,

XVAF=DF,

/.AAEF=ADHF(AAS),

，EF=HF,

•：CE1AB,

・・・CE_LCD,即:AECH是直角三角形，

:.£T=CF=-EH,

2

・••②正确；

VEF=HF,

SHECCEF

VCE1AB,CE_LCD,垂足E在线段A3上，

：・BE<CH,

•*,SBEC^AUCE»

•*,SBECf

・••③错误；

设NAEF=x,则NH=X,

'：在RtAECH中，CF=FH=EF,

AZFCH=ZH=x,

VFD=CD,

/.ZDFC=ZFCH=x,

;点F,G分别是EH,EC的中点，

，FG〃CD〃AB,

AZAEF=ZEFG=x,

VEF=CF,

AZEFG=ZCFG=x,

/.ZDFE=ZDFC+ZEFG+ZCFG=3x,

：.ZDFE=3ZAEF.

工④正确.

故选C.

【点睛】

本题主要考查平行四边形和直角三角形的性质定理的综合，掌握直角三角形斜边上的中线

等于斜边的一半，是解题的关键.

8.B

解析：B

【分析】

连接EF,先证4F=48=8E,得四边形48EF是菱形，据此知AE与8F互相垂直平分，继而得

。8的长，由勾股定理求得8的长，继而得出答案.

【详解】

由题意得：AF=AB,4E为N8A。的角平分线，则N8AE=NE4E.

又;四边形A8C。是平行四边形，则A0〃8C,/BAE=/FAE=/BEA,：.AF=AB=BE.

连接EF,则四边形48EF是菱形，・・・AE与BF互相垂直平分，设4E与8F相交于点。，

0B=—=1.5.在RtZ\408中，JAB2_QB2=Jz52_L52=2，则4E=2OA=4.

2

故选B.

【点睛】

本题考杳了作图-复杂作图，解题的关键是掌握菱形的性质与判定，平行四边形的性质,

角平分线的尺规作图方法等.

9.D

解析：D

【分析】

由勾股定理可求BE的长，由折叠的性质可得CE=EF=2,BE1CF,FH=CH,由面积法可求

CH=延，由勾股定理可求EH的长，由三角形中位线定理可求DF=2EH=S5.

55

【详解】

解：如图，连接CF,交BE于H,

•••在正方形ABCD中，AB=4,E是CD的中点,

/.BC=CD=4,CE=DE=2,ZBCD=90°,

•••BE=《BC2+CE?=J16+4=2石，

•・•将ABCE沿BE翻折至ABFE,

，CE=EF=2,BE1CF,FH=CH,

VSABCE=-xBExCH=—xBCxCE,

22

・CH-46

••in——,

5

:.EH=y/CE2-CH2=^4-y=乎,

VCE=DE,FH=CH,

/.DF=2EH=-i^,

5

故选：D.

【点睛】

本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握折叠的性质是本题

的关键.

10.c

解析：C

【分析】

想办法证明Sa]=SgDE+SADEC=SziAEC，再由EF〃AC,可得SAAEC=SAACF解决问题.

【详解】

故选c.

【点睛】

本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等

高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

二、填空题

5

11.-

2

【分析】

连接DM,直角三角形斜边中线等于斜边一半，得AM=DM,利用两边之差小于第三边得到

AM-MNWDN,又根据三角形中位线的性质即可求解.

【详解】

连接DM,如下图所示，

­：ZBAC=ZEDF=90°

又TM为EF中点

AAM=DM=—EF

2

:・AM—MN=DM—MNSDN(当D、M、N共线时，等号成立)

VD.N分别为BC、AC的中点，即DN是AABC的中位线

15

ADN=—AB=-

22

••・—MN的最大值为!■

2

故答案为!■.

2

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，关键是确定4W-MN的取

值范围.

12.4百或2G

【分析】

分情况讨论作出图形，通过解直角三角形得到平行四边形的底和高的长度，根据平行四边

形的面积公式即可得到结论.

【详解】

解：过。作于E，

在RtZXADE中,ZA=30°♦AD=26，

:.DE=-AD=y/3tAE=-AD=3,

22

在RtZ\B£出中，BD=2,

BE=ylBD2-DE2=722-(V5)2=1，

如图1,

.•.AB=4，

二平行四边形A8CD的面积=A8DE=4xy/3=4s/3，

AB=2,

二平行四边形A3CD的面积=A3DE=2xy/3=2^，

在RtAABE中，设AE=x,则OE=2j5—x，

ZA=30°,BE=—x>

3

在中，BD=2,

.-.22=(^X)2+(2>^-X)2,

：.x=6x=2百(不合题意舍去)，

二.BE=1，

■­•平行四边形ABC。的面积=AOBE=1x=2。，

当AZ>J_8O时，平行四边形ABC。的面积=AOBO=46，

故答案为：4G或2G.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用、30度角的直角三角形的性

质，根据题意作出图形是解题的关键.

13.4>/2

【分析】

作P点关于线段AE的对称点p,根据轴对称将OQ+PQ转换成OP,然后当

OULAC的时候DP'是最小的，得到。产长，最后求出正方形边长DC.

【详解】

•••AE是ND4C的角平分线，

・・・P点关于线段AE的对称点一定在线段AC上，记为尸'

由轴对称可以得到PQ=P'Q,

・•.DQ+PQ=DQ+PQ=DP'.

如图，当OP_LAC的时候OP是最小的，也就是OQ+R2取最小值4,

・・・=4，

由正方形的性质P是AC的中点，且QP=P'C,

在Rt/XP'中，DC=\]D产2+PC2=J42+42=辰=4五.

故答案是：4-y2-

【点睛】

本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是能够分析出。。+42取最小值的状态，

并将它转换成QP去求解.

14.3-迪

2

【分析】

作辅助线，构建全等三角形和矩形，利用面积法可得AE的长，根据勾股定理可得BE的

长，设AE=x,证明4ABE且△EQF(AAS),得FQ=BE=0,最后根据三角形面积公式

可得结论.

【详解】

解：如图，过D作DHJ_AE于H,过E作EM_LAD于M,连接DE,

AZDHE=ZHEF=ZDFE=90°,

・•・四边形DHEF是矩形，

，DH=EF=AE,

•・•四边形ABCD是矩形，

/.ZB=ZBAD=90°,

VZAME=90°,

，四边形ABEM是矩形，

AEM=AB=2,

设AE=x,

则SAADE=—ADEM=—AE-DH,

22

A3X2=x2,

.*.x=±限，

Vx>0,

即AE=口,

由勾股定理得：BE=^(76)2-22=y/2>

过F作PQ〃CD,交AD的延长线于P,交BC的延长线于Q,

.*.ZQ=ZECD=ZB=90",ZP=ZADC=90°,

VZBAE+ZAEB=ZAEF=NAEB+ZFEQ=90°,

/.ZFEQ=ZBAE,

;AE=EF,NB=NQ=90°,

/.△ABE^AEQF(AAS),

AFQ=BE=V2，

APF=2-垃,

.,.SAADF=-ADPF=-x3x(2-V2)=3-逑.

222

【点睛】

此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，有难度，正确作辅助

线构建全等三角形是关键，并用方程的思想解决问题.

15.V19

【分析】

先根据菱形的性质可得0C垂直平分BD,从而可得DP=BP，再根据两点之间线段最短

可得成+8尸的最小值为DE,然后利用等边三角形的判定与性质求出点D的坐标，最后

利用两点之间的距离公式即可得.

【详解】

如图，连接BP、DP、EP、DE、BD,过点D作ZM_L08于点A,

8(2后0),

0B=2石，

四边形ABCD是菱形，

.••0C垂直平分BD,OB=OD=20,

点P是对角线oc上的点，

:.DP=BP，

:.EP±BP=EP+DP^

由两点之间线段最短可知，EP+OP的最小值为DE,即EP+8P的最小值为DE,

08=03/008=60。，

4OD是等边三角形，

DAYOB,

:.OA=^OB=y/3,AD=JOD2-OT=J(2石/-(Gy=3,

D(区3),

又E(0,T),

DE=Op+(3+1/=晒，

即砂+BP的最小值为M，

故答案为：V19.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，根据

两点之间线段最短得出EP十族的最小值为DE是解题关键.

16.13+8也

【分析】

如图所示，延长CD交FN于点P,过N作NKJLCD于点K,延长FE交CD于点Q,交NS于

点R,首先利用正方形性质结合题意求出AD=CD=AG=DQ=1,然后进一步根据菱形性质得出

DE=EF=DG=2,再后通过证明四边形NKQR是矩形得出QR=NK=0,进一步可得

FN2=FR、NR2sB再延长NS交ML于点Z,利用全等三角形性质与判定证

明四边形FHMN为正方形，最后进一步求解即可.

【详解】

如图所示，延长CD交FN于点P,过N作NKJLCD于点K,延长FE交CD于点Q,交NS于

点R,

VABCD为正方形，

.,.ZCDG=ZGDK=90°,

「正方形ABCD面积为1,

/.AD=CD=AG=DQ=1,

/.DG=CT=2,

丁四边形DEFG为菱形，

ADE=EF=DG=2,

同理可得：CT=TN=2,

VZEFG=45°,

/.ZEDG=ZSCT=ZNTK=45°,

VFE/7DG,CT/7SN,DG±CT,

/.ZFQP=ZFRN=ZDQE=ZNKT=90°,

ADQ=EQ=TK=NK=五,FQ=FE+EQ=2+垃，

VZNKT=ZKQR=ZFRN=90°,

.••四边形NKQR是矩形，

/.QR=NK=V2，

•••FR=FQ+QR=2+2夜，NR=KQ=DK-DQ=724-1-^=b

・,•FN2=FR2+NR2=13+8&，

再延长NS交ML于点Z,易证得：△NMZMZXFNR(SAS),

.\FN=MN,NNFR=/MNZ,

VZNFR+ZFNR=90°,

/.ZMNZ+ZFNR=90°,

即NFNM=90°,

同理可得：ZNFH=ZFHM=90°,

工四边形FHMN为正方形，

・•・正方形FHMN的面积=硒2=[3+8啦，

故答案为：13+8夜.

【点睛】

本题主要考查了正方形和矩形性质与判定及与全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌

握相关方法是解题关键.

17.6.5或8或18

【分析】

根据题意分3P=QP、BQ=QP两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可.

【详解】

解：•••四边形ABCO是矩形，AD=26,点。是3C的中点

・•・BQ=13

・・・①当3尸=Q尸时，过点P作尸交3Q于点M，如图，

则BM=MQ=6.5，且四边形ABMP为矩形

・•・AP=BM=6.5

②当6Q=Q〃时，以点。为圆心，为半径作圆，与AD交于P、P”两点，如图,

/P1-----、尸〃D

尸於f

___

4Q

\

过。作QNJ.PP〃，交PP于点N,则可知产N=PW

•:在.RfPNQ,P'Q=13,NQ=AB=12

・•・PN=卜02一敏=V132-122=5

同理，在RtPWQ中，PW=5

AD-P'N-P"N26-5-5

・.4P，=Q「/V=zoj.=8,A〃=AP+PN+UN=8+5+5=18

22

即P、产为满足条件的尸点的位置

・•・AP=8或18

・♦•综上所述，当V3PQ是以QP为腰的等腰三角形时，AP的长为6.5或8或18.

故答案是：6.5或8或18

【点睛】

本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，根据等腰三角形的性质

进行分类讨论是一个难点，也是解题的关键.

18.7

【分析】

①若初二〃，则AE=EC,先根据平行四边形的性质得出入。〃8cAO=BC,再根据平

行四边形的判定（一组对边平行且相等或两组对边分别平行）即可得：②先根据平行四边

形的性质与判定得出四边形ABEF、四边形CDFE都是平行四边形，从而可得

S邨FG=公SABEF,CDFE，再根据SABCDCDF£=28和

S四边形FGEH=SgFG+S&EFHABEFCDFE即可得出答案•

【详解】

四边形ABCD是平行四边形

..ADHBC,AD=BC

AFEC

----=n.-----=mjn=n

BCBC

AF=EC

:.AD-AF=BC-EC,即OP=BE

二•四边形AECF、四边形BEDF都是平行四边形

AEHCF.BF//DE

「•西边形EGFH是平行四边形

综上，图中共有4个平行四边形

如图，连接EF

AFEC।

----=-----=mm+n=\

BCBCy

AF+EC=BC=AD

AF+DF=AD

:.EC=DF

:.AF=BE

二.四边形ABEF、四边形CDFE都是平行四边形

..S.FC~工1SCDFE

1nSABEF+SCDFE=28

S四边形卬切=Sf^EFG+S*FH=彳5ABEFCDFE

=W(SABEI让ACDFE)

=-x28=7

4

故答案为：4；7.

A

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质是解题关键.

19.答案不唯一，例AC=BD等

【分析】

连接AC、BD,先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的特点添加条件即可.

【详解】

连接AC,

丁点E、F分别是AB、BC的中点，

••・EF是AABC的中位线，

1

，EF〃AC,EF=-AC,

2

同理HG〃AC,HG=-AC,

2

・・・EF〃HG,EF=HG,

・•・四边形EFGH是平行四边形，

连接BD,同理EH=FG,EFIIFG,

当AC=BD时，四边形EFGH是平行四边形，

故答案为：答案不唯一，例AC=BD等.

//

【点睛】

此题考查三角形中位线性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定.

20.1072

【分析】

根据平行四边形的性质、角平分线的性质证明AD=DE=3,再根据=证明

BC=BE,由此根据三角形的三线合一及勾股定理求出BF,即可求出平行四边形的面积.

【详解】

过点5作CD于点/，如图所示.

•・•AE是44。的平分线，

•*-ZDAE=ZBAE.

•・•四边形ABC。是平行四边形，

:・CD=AB=5,BC=AD=3f4BAD=NBCE,AB//CD,

・•・ZBAE:NDEA，

・•・ZmE=NOE4，

・'・DE=AD=3,

・•・CE=CD-DE=2.

♦:ZBAD=ZBEC,

:.ZBCE=ZBEC,

，BC=BE,

：.CF=EF=-CE=\,

2

•*-BF=y)BC2-CF2=^32-l2=25/2•

:.平行四边形ABCD的面积为BFCD=272x5=l0及.

故答案为：1(八伤.

【点睛】

此题考杳平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，等腰三角形的等角对等边的性

质、三线合一的性质，勾股定理.

三、解答题

21.(1)DE=y/2CF；(2)在情况1与情况2下都相同，详见解析；(3)AF+CF=

y/2DF^\AF-CF\=y/2DF

【分析】

(1)易证ABCD是等腰直角三角形，得出DB=J5CB,即可得出结果；

(2)情况1：过点C作CG_LCF,交DF于G,设BC交DF于P,由ASA证得

△CDG^ACBF,得出DG=FB,CG=CF,则AGCF是等腰直角三角形，FG=正CF,连接BE,

设NCDG=a,则NCBF=a,ZDEA=ZADE=90°-a,求出/DAE=2a,贝i」NEAB=9(T-2a,

ZBEA=ZABE=—(180°-ZEAB)=45°+a,ZCBE=45°-a,推出NFBE=45°,得出ABEF是等腰

2

直角三角形，则EF=BF,推出EF=DG,DE=FG,得出DE=J^CF；

情况2：过点C作CGJ_CF交DF延长线于G,连接BE,设CD交BF于P,由ASA证得

△CDG94CB「，得出DG=「B,CG=C「，贝UAGC「是等腰直角三角形，得「G=夜C「，设

ZCDG=a,则NCBF=a,证明ABEF是等腰直角三角形，得出EF=BF,推出DE=FG,得出

DE=V2CF；

(3)①当F在BC的右侧时，作HD_LDF交FA延长线于H,由(2)得ABEF是等腰直角三

角形，EF=BF,由SSS证得△ABFgZ\AEF,得出NEFA=/BFA=/BFE=45°,则AHDF是等腰

2

直角三角形，得HF=&DF,DH=DF,VZHDF=ZADC=90°,由SAS证得△HDA^^FDC,得

CF=HA,即可得出AF+CF=0DF；

②当F在AB的下方时，作DH_LDE,交FC延长线于H,在DF上取点N,使CN=CD,连接

BN,证明ABFN是等腰直角三角形，得BF=NF,由SSS证得△CNFg^CBF,得

ZNFC=ZBFC=yZBFD=45°,则ZSDFH是等腰直角三角形，得FH=J^DF,DF=DH,由SAS

证得△ADFWZXCDH,得出CH=AF,即可得出AF+CF=应DF；

③当F在DC的上方时，连接BE,作HD_LDF,交AF于H,由(2)得ZiBEF是等腰直角三

角形，EF=BF,由SSS证得4ABFgZ\AEF,得NEFA=NBFA=/BFE=45°,则AHDF是等腰直

2

角三角形，得出HF=J^DF,DH=DF,由SAS证得ZkADCgZ\HDF,得出AH=CF,即可得出

AF-CF=V2DF；

④当F在AD左侧时，作HD_LDF交AF的延长线于H,连接BE,设AD交BF于P,证明

△BFE是等腰直角三角形，得EF=BF,由