第6章　第1讲　数列的概念与简单表示法

第六章数列考

情

探

究考题考点考向关键能力考查要求核心素养2023新课标Ⅰ，20等差数列及其前n项和求等差数列的通项公式及公差运算求解逻辑思维综合性数学运算逻辑推理2023新课标Ⅱ，8等比数列的性质及其应用等比数列前n项和的性质运算求解综合性数学运算考题考点考向关键能力考查要求核心素养2023新课标Ⅱ，18数列的求和并项求和运算求解逻辑思维综合性数学运算逻辑推理2022新高考Ⅰ，17求通项公式累乘法求数列的通项公式运算求解综合性数学运算2022新高考Ⅱ，3等差数列及其前n项和求值运算求解创新性数学运算考题考点考向关键能力考查要求核心素养2022新高考Ⅱ，17等比数列及其前n项和等比数列的通项公式及其应用运算求解逻辑思维创新性数学运算2021新高考Ⅰ，16,17数列的求和错位相减法求和，分组求和运算求解综合性数学运算2021新高考Ⅱ，17等差数列及其前n项和求解等差数列的通项公式、求和公式的运用运算求解综合性数学运算逻辑推理考题考点考向关键能力考查要求核心素养2020新高考Ⅰ，14等差数列及其前n项和求等差数列的前n项和运算求解综合性数学运算2020新高考Ⅰ，Ⅱ，18等比数列及其前n项和求通项公式及分组转化法求和运算求解逻辑思维综合性数学运算逻辑推理2021新高考Ⅱ，12求通项公式新定义逻辑思维创新性逻辑推理【命题规律与备考策略】重点考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式和前n项和公式，考查错位相减、裂项相消等求和方法.有时考查数列的创新问题，实际应用问题，与不等式的综合问题，考查化归与转化思想，运算求解能力.第一讲数列的概念与简单表示法知识梳理·双基自测名师讲坛·素养提升考点突破·互动探究提能训练练案[35]知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一数列的有关概念概念含义数列按照____________排列的一列数数列的项数列中的____________数列的通项数列{an}的第n项an通项公式数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式________________表达，这个公式叫做数列{an}的通项公式前n项和数列{an}中，Sn＝________________叫做数列{an}的前n项和一定顺序每一个数an＝f(n)a1＋a2＋…＋an知识点二数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点______________画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用________表示的方法递推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法(n，an)公式知识点三an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，S1Sn－Sn－1知识点四数列的分类归

纳

拓

展1．数列与函数数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.数列的通项公式是相应函数的解析式，它的图象是一群孤立的点.2．常见数列的通项公式(1)自然数列：1,2,3,4，…，an＝n.(2)奇数列：1,3,5,7，…，an＝2n－1.(3)偶数列：2,4,6,8，…，an＝2n.(4)平方数列：1,4,9,16，…，an＝n2.(5)2的乘方数列：2,4,8,16，…，an＝2n.(6)乘积数列：2,6,12,20，…，an＝n(n＋1).(8)重复数串列：9,99,999,9999，…，an＝10n－1.(9)符号数列：－1,1，－1,1，…，或1，－1,1，－1，…，an＝(－1)n或an＝(－1)n＋1.双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有数列的第n项都可以用公式表示出来.()(2)依据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.()(3)数列的项与项数是同一个概念.()(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对于任意n∈N*，都有an＝Sn－

Sn－1.()×√××[解析]

(1)因为数列是按一定顺序排列的一列数，如我班某次数学测试成绩，按考号从小到大的顺序排列，这个数列肯定没有通项公式，所以错误.(3)数列{an}中第n项an，其中n为项数，an为项.(4)由数列前n项和的定义可知，当n∈N*，且n≥2都有an＝Sn－

Sn－1，而n＝1时a1＝S1，所以不正确.题组二走进教材C3．(选修2P8T2改编)在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2且an＋2＝an＋1＋2an，则32是数列的()A.第4项 B．第5项C.第6项 D．第7项[解析]

由a1＝1，a2＝2，得a3＝a2＋2a1＝4，a4＝a3＋2a2＝8，a5＝a4＋2a3＝16，a6＝a5＋2a4＝32.故选C.C4．(选修2P8T3改编)下列数列是递减数列的是()B题组三走向高考A.b1<b5 B．b3<b8C.b6<b2 D．b4<b7D∴所求和为1＋3＋6＝10.10考点突破·互动探究由数列的前几项求数列的通项公式——自主练透

根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式an.(1)－1,7，－13,19，…；(2)3,5,9,17,33，…；(3)5,55,555,5555，…；[解析]

(1)符号可通过(－1)n或(－1)n＋1调节，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5).(2)观察各项的特点：每一项都比2的n次幂多1，所以an＝2n＋1.名师点拨：由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略1．常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等.2．具体策略(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征；(5)化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；(6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理.注意：并不是每个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一.由an与Sn的关系求通项公式——多维探究角度1已知Sn求an问题1.若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n，则此数列的通项公式为an＝______________.[解析]

当n＝1时，a1＝S1＝1－10＝－9；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11.当n＝1时，2×1－11＝－9＝a1，所以an＝2n－11.故填2n－11.2n－112．若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1，则此数列的通项公式为an＝___________.[解析]

当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1)－(2n－1＋1)＝2n－2n－1＝2n－1.角度2由Sn与an的关系求anA名师点拨：已知Sn求an的一般步骤1．当n＝1时，由a1＝S1，求a1的值.2．当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式.3．检验a1的值是否满足2中的表达式，若不满足，则分段表示an.4．写出an的完整表达式.Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.1．利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式.2．利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.【变式训练】1．(角度1)(2023·福建三明一中期中)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式()B2．(角度2)(2023·辽宁部分重点高中高三联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an－1，则{an}的通项公式为()A.an＝2n－1 B．an＝2n－1C.an＝2n－1 D．an＝2n＋1[解析]

当n＝1时，S1＝2a1－1＝a1，∴a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－

Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1.因此an＝2n－1(n≥2).又n＝1时，2n－1＝1＝a1，∴an＝2n－1.故选B.B用累加法、累乘法求通项公式——多维探究角度1形如an＋1＝an＋f(n)，求an∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1角度2形如an＋1＝anf(n)，求an(n＋1)·2n－1名师点拨：1．累加法求通项公式如果数列{an}的递推公式满足an＋1－an＝f(n)的形式，且f(n)可求和，那么就可以运用累加法an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，求出数列{an}的通项公式.2．累乘法求通项公式【变式训练】根据下列条件，写出数列{an}的通项公式：(1)(角度1)若a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，则an＝________________；(2)(角度2)若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则an＝______.n2－2n＋2[解析]

(1)∵an＋1＝an＋2n－1，∴当n≥2时，a2－a1＝1，a3－a2＝3，…，an－an－1＝2n－3，又当n＝1时，12－2×1＋2＝1，∴n＝1时符合上式.∴an＝n2－2n＋2.数列的函数性质——多维探究角度1数列的周期性A可以看出数列的周期为4，角度2数列的单调性A.(3，＋∞) B．(2，＋∞)C.(1，＋∞) D．(0，＋∞)D角度3数列的最大(小)项问题C名师点拨：1．解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.2．判断数列单调性的方法：(1)作差(或商)法；(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去.【变式训练】D[解析]

∵数列{an}满足a1＝2，可知此数列有周期性，周期T＝3，2．(角度2)(2024·滕州模拟)设数列{an}的通项公式为an＝n2＋bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为()[解析]

∵数列{an}是单调递增数列，∴对任意的n∈N*，都有

an＋1>an，∴(n＋1)2＋b(n＋1)>n2＋bn，即b>－(2n＋1)对任意的n∈N*恒成立，又n＝1时，－(2n＋1)取得最大值－3，∴b>－3，即实数b的取值范围为(－3，＋∞).故选B.BA.此数列没有最大项B.此数列的最大项是a3C.此数列没有最小项D.此数列的最小项是a2B[解析]

令t＝n－1≥0，则n＝t＋1，所以数列{an}有最大项a3，有最小项a1.故选B.名师讲坛·素养提升递推数列的通项公式的求法热点一an＋1＝Aan＋B(A、B为常数)型(2024·西北师大附中调研)已知数列{an}满足a1＝－2，且an＋1＝3an＋6，则an＝______________.[解析]

∵an＋1＝3an＋6，∴an＋1＋3＝3(an＋3)，又a1＝－2，∴a1＋3＝1，∴{an＋3}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an＋3＝3n－1，∴an＝3n－1－3.3n－1－3名师点拨：热点三an＋1＝pan＋f(n)(p为常数)型(1)在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*，则an＝______________.(2)若a1＝1，an＋1＝2an＋3n，n∈N*，则an＝_____________.4n－1＋n3n－2n名师点拨：1