第五讲 套利定价模型(APT)

讲套利定价模型（APT）

2021/6/271本讲的主要内容：

1、CAPM模型的缺陷

2、因素模型

3、套利组合

4、APT模型

5、CAPM与APT的比较2021/6/272一、CAPM的局限性（一）相关假设条件的局限性

1.市场无摩擦假设和卖空无限制假设与现实不符；

2.投资者同质预期与信息对称的假设意味着信息是无成本的，与现实不符；3.投资者为风险厌恶的假设过于严格。2021/6/273（二）CAPM的实证检验问题

1.市场组合的识别和计算问题

CAPM刻画了资本市场达到均衡时资产收益的决定方法。所有的CAPM（包括修正的CAPM）的共同特点是，均衡资产的收益率取决于市场资产组合的期望收益率。理论上，市场资产组合定义为所有资产的加权组合，每一种资产的权数等于该资产总市场价值占所有资产总价值的比重。但实际上，市场资产涵盖的范围非常广泛，因此，在CAPM的实际运用中要识别一个真正的市场组合几乎是不可能的。一些经济学家采用一个容量较大的平均数（如标准普尔工业指数）作为市场资产组合的替代，对CAPM进行了检验，得出的结果却与现实相悖。2021/6/2742.单因素模型无法全面解释对现实中资产收益率决定的影响因素

RosenbergandMarshe（1977）的研究发现，如果将红利、交易量和企业规模加入计量模型，则β系数会更有说服力。Basu(1977)发现，低市盈率股票的期望收益率高于资本资产定价模型的估计；Banz(1981)的实证研究表明，股票收益率存在“规模效应”，即小公司股票有较高的超常收益率；Kleim（1983）发现股票收益呈季节性变动，即存在季节效应。上述两方面的局限性都削弱了CAPM对现实经济的解释能力。2021/6/275（三）关于CAPM检验的罗尔批评（Roll’sCritique）

Roll（1977）对CAPM提出了如下批评意见：

1.对于CAPM唯一合适的检验形式应当是：检验包括所有风险资产在内的市场资产组合是否具有均值-方差效率。

2.如果检验是基于某种作为市场资产组合代表的股票指数，那么如果该指数具有均值-方差效率，则任何单个风险资产都会落在证券市场线上，而这是由于恒等变形引起的，没有实际意义；2021/6/2763.如果检验是基于某种无效率的指数，则风险资产收益的任何情形都有可能出现，它取决于无效指数的选择。该结论断言，即便市场组合是均值-方差效率的，CAPM也是成立的，但使用前述方法得到的SML，也不能够证明单一风险资产均衡收益同β风险、市场组合之间存在某种有意义的关系。因此，罗尔认为，由于技术上的原因和原理上的模糊，CAPM是无法检验的。2021/6/277二、套利定价理论简介罗斯（Ross，1976）给出了一个以无套利定价为基础的多因素资产定价模型，也称套利定价理论模型（ArbitragePricingTheory，APT）。该模型由一个多因素收益生成函数推导而出，其理论基础为一价定律（TheLawofOnePrice），即两种风险－收益性质相同的资产不能按不同价格出售。该模型推导出的资产收益率决定于一系列影响资产收益的因素，而不完全依赖于市场资产组合，而套利活动则保证了市场均衡的实现。同时，APT对CAPM中的投资者风险厌恶的假设条件作了放松，从而较CAPM具有更强的现实解释能力。2021/6/278三、因素模型

套利定价理论认为，证券收益是跟某些因素相关的。为此，在介绍套利定价理论之前，我们先得了解因素模型（FactorModels）。因素模型认为各种证券的收益率均受某个或某几个共同因素影响。各种证券收益率之所以相关主要是因为他们都会对这些共同的因素起反应。因素模型的主要目的就是找出这些因素并确定证券收益率对这些因素变动的敏感度。2021/6/279（一）单因素模型单因素模型认为，证券的收益率只受一种因素的影响。对于任意的证券i，其在t时刻的单因素模型表达式为：（5-1）其中表示证券i在t时期的收益率，Ft表示该因素在t时期的预测值，bi表示证券i对该因素的敏感度。为证券i在t时期的随机变量，其均值为零，标准差为，i为常数，它表示要素值为0时证券i的预期收益率。因素模型认为，随机变量ε与因素是不相关的，且两种证券的随机变量之间也是不相关的。2021/6/2710根据式（5-1），证券i的预期收益率为：（5-2）其中表示该要素的期望值。根据式（5-1），证券i收益率的方差为：（5-3）其中表示F因素的方差，表示随机变量的方差，式（5-3）表明，某种证券的风险等于因素风险加上非因素风险。在单因素模型下，证券i和j收益率的协方差为：（5-4）单因素模型可以大大简化马科维茨模型中确定切点处投资组合的麻烦。2021/6/2711在单因素模型中，证券组合的方差等于：（5-4）其中，2021/6/2712（二）两因素模型两因素模型认为，证券收益率取决于两个因素，其表达式为：其中,F1t和F2t分别表示影响证券收益率的两个因素在t时期的预测值,bi1和bi2分别表示证券i对这两个因素的敏感度.证券i的预期收益率为：证券i收益率的方差为：

其中COV(F1,F2)表示两个因素F1和F2之间的协方差。证券i和证券j的协方差为：2021/6/2713（三）多因素模型多因素模型认为，证券i的收益率取决于K个因素，其表达式为：

应该注意的是，与资本资产定价模型不同，因素模型不是资产定价的均衡模型。在实际运用中，人们通常通过理论分析确定影响证券收益率的各种因素，然后，根据历史数据，运用时间序列法、跨部门法、因素分析法等实证方法估计出因素模型。2021/6/2714四、套利组合根据套利定价理论，在不增加风险的情况下，投资者将利用组建套利组合的机会来增加其现有投资组合的预期收益率。那么，什么是套利组合呢？根据套利的定义，套利组合要满足三个条件：条件1：套利组合要求投资者不追加资金,即套利组合属于自融资组合.如果我们用xi表示投资者持有证券i金额比例的变化(从而也代表证券i在套利组合中的权重,注意xi可正可负)，则该条件可以表示为：2021/6/2715条件2：套利组合对任何因素的敏感度为零，即套利组合没有因素风险。证券组合对某个因素的敏感度等于该组合中各种证券对该因素敏感度的加权平均数，因此在单因素模型下该条件可表达为：

在双因素模型下，条件2表达式为：在多因素模型下，条件2表达式为：

……2021/6/2716条件3：套利组合的预期收益率应大于零，即：例题：某投资者拥有一个3种股票组成的投资组合，3种股票的市值均为500万，投资组合的总价值为1500万元。假定这三种股票均符合单因素模型，其预期收益率分别为16%、20%和13%，其对该因素的敏感度(bi)分别为0.9、3.1和1.9。请问该投资者能否修改其投资组合，以便在不增加风险的情况下提高预期收益率。2021/6/2717解：令三种股票市值比重变化量分别为x1、x2和x3。根据(条件1)和(条件2)我们有：上述方程组有多种解.作为其中的一个解，我们令x1=0.1，则可解出x2=0.083,x3=－0.183。为了检验这个解能否提高预期收益率，我们把这个解用(条件3)检验。则有：0.1

0.16+0.083

0.2－0.183

0.13=0.881%由于0.881%为正数，因此我们可以通过卖出274.5万元的第三种股票(等于－0.183

1500万元)同时买入150万元第一种股票(等于0.1

1500万元)和124.5万元第二种股票(等于0.083

1500万元)就能使投资组合的预期收益率提高0.881%。2021/6/2718五、套利定价模型投资者的套利活动是通过买入收益率偏高的证券同时卖出收益率偏低的证券来实现的，其结果是使收益率偏高的证券价格上升，其收益率将相应回落；同时使收益率偏低的证券价格下降，其收益率相应回升。这一过程将一直持续到各种证券的收益率跟各种证券对各因素的敏感度保持适当的关系为止。下面我们就来推导这种关系：2021/6/2719（一）单因素模型的定价公式投资者套利活动的目标是使其套利组合预期收益率最大化(因为根据套利组合的定义,他无需投资,也没有风险)。而套利组合的预期收益率为：但套利活动要受到式(条件1)和(条件2)两个条件的约束。根据拉格朗日定理，我们可建立如下函数：L取最大值的一价条件是上式对xi和的偏导等于零，即：2021/6/2720

……

2021/6/2721由此我们可以得到在均衡状态下和的关系：（5-5）这就是在单因素模型APT定价公式,其中是常数。从式(5-5)可以看出和必须保持线性关系，否则的活，投资者就可以通过套利活动来提高投资组合的预期收益率。式（5-5）可以用下图来表示：

APT资产定价线BSbibB=bS2021/6/2722式（5-5）中的代表什么意思呢？我们知道，无风险资产的收益率等于无风险利率，即：。由于式（5-5）适用于所有证券包括无风险证券，而无风险证券的因素敏感度，因此根据式（5-5）我们有：。由此可见，式（5-5）中的一定等于，因此式（5-5）可重新表示为：（5-6）为了理解的含义，我们考虑一个纯因素组合其因素敏感度等于1，即代入（5-6），我们有：2021/6/2723由此可见，代表因素风险报酬，即拥有单位因素敏感度的组合超过无风险利率部分的预期收益率。为表达方便，我们令，即表示单位因素敏感度组合的预期收益率，我们有：（5-7）2021/6/2724（二）两因素模型的定价公式用同样的方法我们可以求出两因素模型中的APT资产定价公式：（5-8）同理，考虑无风险证券和两个充分多样化的组合，一个组合对第一种因素的敏感度等于1，对第二种因素的敏感度等于0，其预期收益率为；另一个组合对第一种因素的敏感度等于0，对第二种因素的敏感度等于1，其预期收益率为。则有：

(5-9)2021/6/2725（三）多因素模型的定价公式同样道理，在多因素模型下，APT资产定价公式为：

(5-10)如果我们用表示对第j种因素的敏感度为1，而对其它因素的敏感度为0的证券组合的预期收益率，我们可以得到：

(5-11)式(5-11)说明，一种证券的预期收益率等于无风险利率加上k个因素风险报酬。2021/6/2726APT与CAPM的比较

APT是比CAPM更为一般的资产定价模型

1.APT是一个多因素模型，它假设均衡中的资产收益取决于多个不同的外生因素，而CAPM中的资产收益只取决于一个单一的市场组合因素。从这个意义上看，CAPM只是APT的一个特例。

2.CAPM成立的条件是投资者具有均值方差偏好、资产的收益分布呈正态分布，而APT则不作这类限制，但它与CAPM一样，要求所有投资者对资产的期望收益和方差、协方差的估计一致。2021/6/2727APT比CAPM显得更为完整稳键1.APT没有关于资产回报率分布的假设,而CAPM要求资产回报率服从多元正态分布；2.APT没有关于个人效用函数的严格假设，而CAPM要求效用函数仅是E（RP）和

2p

的函数；3.APT允许均衡回报率依赖于多个因素，而CAPM假设资产回报率仅依赖于市场证券组合的回报率；4.APT可以对任意资产子集进行定价；人们不必为检验理论而去对无穷尽的资产进行计量；5.在APT中，市场证券组合没有特殊的作用，而CAPM必须要求市场证券组合是有效的；6.APT容易扩展到多期模型中。2021/6/2728例1.考虑一个单因素APT模型，股票A和股票B的期望收益率分别为15%和18%，无风险利率是6%，股票B的为1.0。如果不存在套利机会，股票A的应