中考数学几何专项冲刺专题30三角形综合练习（基础）含答案及解析

专题30三角形综合练习（基础）一．选择题1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，AC＝13，AD＝12，BC＝14，则AE的长等于（）A．5 B．6 C．7 D．152．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF＝45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=2；②当点E与点B重合时，MH=12；③AF+BE＝EF；④MG•A．1 B．2 C．3 D．43．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有（）①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④S四边形BCDE=12BD•⑤BC2+DE2＝BE2+CD2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，下列结论正确的有（）个．①BF＝AC；②AE=12BF；③∠A＝67.5°；④△DGF是等腰三角形；⑤S四边形ADGE＝S四边形A．5个 B．2个 C．4个 D．3个5．如图，射线AB∥射线CD，∠CAB与∠ACD的平分线交于点E，AC＝4，点P是射线AB上的一动点，连接PE并延长交射线CD于点Q．给出下列结论：①△ACE是直角三角形；②S四边形APQC＝2S△ACE；③设AP＝x，CQ＝y，则y关于x的函数表达式是y＝﹣x+4（0≤x≤4），其中正确的是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③6．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠DOE＝60°，其中正确的结论数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，连接EF交AP于点G，给出以下五个结论：①∠B＝∠C＝45°；②AE＝CF，③AP＝EF，④△EPF是等腰直角三角形，⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半．其中正确的结论是（）A．只有① B．①②④ C．①②③④ D．①②④⑤8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE＝CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；④点C、E、D、F四点在同一个圆上，且该圆的面积最小为4π．其中错误结论的个数是（）个．A．1 B．2 C．3 D．49．如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③CP＝CQ；④BO＝OE；⑤∠AOB＝60°，恒成立的结论有（）A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤10．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，AB上有一动点D以每秒4个单位的速度从点A向点B运动，当点D运动到点B时停止运动．过点D作DE⊥AB，垂足为点D，过点E作EF∥AB交BC于点F，连接BE交DF于点G，设点D运动的时间为t，当S△BDG＝4S△EFG时，t的值为（）A．t=1417 B．t=1210 C．t=11．如图，D为等腰Rt△ABC的斜边AC的中点，E为BC边上一动点，连接ED并延长交BA的延长线于点F，过D作DH⊥EF交AB于G，交CB的延长线于H，则以下结论：①DE＝DG；②BE＝DG；③DF＝DH；④BG＝CE．其中正确的是（）A．②③ B．③④ C．①③④ D．①③12．在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝2，D是BC边上的点且BD=13CD，连接AD．AD⊥AE，AE＝AD，连接①△ADC≌△AEB；②BE⊥CB；③点B到直线AD的距离为105④四边形AEBC的周长是72⑤S四边形ADBE＝2．其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二．填空题13．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，BN平分∠ABC，AE平分∠BAC，AE交BN于G，EF⊥AC于F，连接GF．①△AEB≌△AEF；②∠EFG＝∠AFG；③图中有3对全等三角形；④EF＝GF；⑤S△AEF＝2S△AGN．上述结论正确的序号有．14．如图，△ABC的内部有一点P，且点D，E，F是点P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠BAC＝70°，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，PD、PE恰好分别为边AB、BC的中垂线，则下列命题中正确的是．（1）A，C两点关于直线PF对称；（2）PF＝BE；（3）∠ADB+∠BEC+∠CFA＝360°；（4）∠DBA+∠FAC＝∠BAC．15．如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝16cm，AC＝20cm，点P是△ABC边上的一个动点，点P从点A开始沿A→B→C→A方向运动，且速度为每秒4cm，设出发的时间为t（s），当点P在边CA上运动时，若△ABP为等腰三角形，则运动时间t＝．16．如图，∠ABC＝90°，P为射线BC上任意一点（点P和点B不重合），分别以AB，AP为边在∠ABC内部作等边△ABE和等边△APQ，连接QE并延长交BP于点F，连接EP，若FQ＝11，AE＝43，则EP＝．17．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE．下列结论：①△ACE≌△BCD；②若∠BCD＝25°，则∠AED＝65°；③DE2＝2CF•CA；④若AB＝32，AD＝2BD，则AF=5其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）18．如图，在Rt△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：①若C、O两点关于AB对称，则OA＝23；②C、O两点距离的最大值为4；③若AB平分CO，则AB⊥CO；④斜边AB的中点D运动路径的长为π2其中正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）．19．如图，△ABC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，BC上，AC＝AD，∠CDE＝45°，CD与AE交于点F，若∠AEC＝∠DEB，CE=7104，则CF20．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①图中只有2对全等三角形②AE＝CF；③△EPF是等腰直角三角形；④S四边形AEPF=12S△⑤EF的最小值为2．上述结论始终正确的有（填序号）．21．如图，D、E分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE的周长相等，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，给出以下几个结论：①如果AD是BC边中线，那么CE是AB边中线；②AE的长度为c+a−b2③BD的长度为b+a−c2④若∠BAC＝90°，△ABC的面积为S，则S＝AE•BD．其中正确的结论是（将正确结论的序号都填上）22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF＝45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=2；②当点E与点B重合时，MH=12；③AF+BE＝EF；④MG•MH=三．解答题23．如图，等腰Rt△AOB在平面直角坐标系xOy上，∠B＝90°，OA＝4．点C从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向运动，过点C作直线l⊥OA，直线l与射线OB相交于点N．（1）点B的坐标为；（2）点C的运动时间是t秒．①当2≤t≤4时，△AOB在直线l右侧部分的图形的面积为S，求S（用含t的式子表示）；②当t＞0时，点M在直线l上且△ABM是以AB为底的等腰三角形，若CN=32CM，求24．如图1，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE．（1）若D为AC的中点，求BDCE（2）将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转，使点D落任AB上，如图2，F为DB的中点．①画出△DEF关于点F成中心对称的图形，②求EFCE（3）如图3，将△ADE绕点A顺时针旋转，F为BD的中点，当AC＝6，AD＝4时，则CF的最大值为（直接写出结果）．25．如图，△ABC中，AB＝AC，tanB=12，作AD⊥AC交BC于E，且AD＝AC（1）若CD＝42，求BE的长度；（2）如图2，∠BAD的角平分线交BC于F，作CG⊥AF的反向延长线于点G，求证：2BF+AG＝CG；（3）如图3，将“tanB=12”改为“sinB=12”，作AD⊥AC，且AD＝AC，连接BD，CD，延长DA交BC于E，∠BAD的角平分线的反向延长线交BC于F，作CG⊥AF于26．（1）问题探究①如图1，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝13，AB＝5，若P是BC边上一动点，连接AP，则AP的最小值为．②如图2，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝a，求边AB的长度（用含a的代数式表示）．（2）问题解决如图3，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，D是边BC的中点，若P是AB边上一动点，E是AC边上一动点，试求PD+PE的最小值．27．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝105°，∠BOC＝α，点D是等边△ABC外一点，∠OCD＝60°，OC＝OD，连接OD、AD．（1）求∠AOD的度数（用含α的式子表示）；（2）求证：△BOC≌△ADC；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？28．如图，△ABC是等边三角形．（1）如图1，AH⊥BC于H，点P从A点出发，沿高线AH向下移动，以CP为边在CP的下方作等边三角形CPQ，连接BQ．求∠CBQ的度数；（2）如图2，若点D为△ABC内任意一点，连接DA，DB，DC．证明：以DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形；（3）在（1）的条件下，在P点的移动过程中，设x＝AP+2PC，点Q的运动路径长度为y，当x取最小值时，写出x，y的关系，并说明理由．29．如图，已知A（a，0）、B（0，b），且a、b满足a2﹣6a+9+a−b（1）求A、B两点的坐标；（2）如图1，若C（5，0），连CB，过B点作BD⊥BC，且BD＝BC，求点D的坐标；（3）如图2，若点M是AB的中点，E为线段AO上一动点，F点在y轴负半轴上，当∠EMF＝45°时，试判断线段AE、OF、EF具有怎样的数量关系？请说明理由．30．在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，延长DE交BC于点F，连接DC，BE．（1）如图1，当点B，A，D在同一直线上时，且∠ABE＝30°，AE＝2，求BF的长．（2）如图2，当∠BEA＝90°时，求证：BF＝CF．（3）如图3，当点E在∠ABC的平分线上时，BE交DC于点G，请直接写出EG、DG、CG之间的数量关系．专题30三角形综合练习（基础）一．选择题1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，AC＝13，AD＝12，BC＝14，则AE的长等于（）A．5 B．6 C．7 D．15【分析】利用勾股定理可得DC和AB的长，由角平分线定理可得EG＝ED，证明Rt△BDE≌Rt△BGE（HL），可得BG＝BD＝9，设AE＝x，则ED＝12﹣x，根据勾股定理列方程可得结论．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵AD＝12，AC＝13，∴DC=A∵BC＝14，∴BD＝14﹣5＝9，由勾股定理得：AB=9过点E作EG⊥AB于G，∵BF平分∠ABC，AD⊥BC，∴EG＝ED，在Rt△BDE和Rt△BGE中，∵EG=EDBE=BE∴Rt△BDE≌Rt△BGE（HL），∴BG＝BD＝9，∴AG＝15﹣9＝6，设AE＝x，则ED＝12﹣x，∴EG＝12﹣x，Rt△AGE中，x2＝62+（12﹣x）2，x=15∴AE=15故选：D．【点评】本题考查了角平分线性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF＝45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=2；②当点E与点B重合时，MH=12；③AF+BE＝EF；④MG•A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得MG∥BC，四边形MGCB是矩形，进一步得到FG是△ACB的中位线，从而作出判断；③如图2所示，SAS可证△ECF≌△ECD，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；④根据AA可证△ACE∽△BFC，根据相似三角形的性质可得AF•BF＝AC•BC＝1，由题意知四边形CHMG是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到MG•MH=22AE×22BF=12AE•BF【解答】解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC2②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，∴MB⊥BC，∠MBC＝90°，∵MG⊥AC，∴∠MGC＝90°＝∠C＝∠MBC，∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，∴MH＝MB＝CG，∵∠FCE＝45°＝∠ABC，∠A＝∠ACF＝45°，∴CF＝AF＝BF，∴FG是△ACB的中位线，∴GC=12AC＝MH，故③如图2所示，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠5＝45°．将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，则CF＝CD，∠1＝∠4，∠A＝∠6＝45°；BD＝AF；∵∠2＝45°，∴∠1+∠3＝∠3+∠4＝45°，∴∠DCE＝∠2．在△ECF和△ECD中，CF=CD∠2=∠DCE∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF＝DE．∵∠5＝45°，∴∠DBE＝90°，∴DE2＝BD2+BE2，即EF2＝AF2+BE2，故③错误；④∵∠7＝∠1+∠A＝∠1+45°＝∠1+∠2＝∠ACE，∵∠A＝∠5＝45°，∴△ACE∽△BFC，∴AEBC∴AE•BF＝AC•BC＝1，由题意知四边形CHMG是矩形，∴MG∥BC，MH＝CG，MG＝CH，MH∥AC，∴CHBC=AE即MG1=AE∴MG=22AE；MH=∴MG•MH=22AE×22BF=12AE•BF=1故选：C．【点评】此题考查了三角形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．3．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有（）①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④S四边形BCDE=12BD•⑤BC2+DE2＝BE2+CD2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AB＝AC，AD＝AE，然后求出∠BAD＝∠CAE，再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝BD，判断①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠ABD＝∠ACE，从而求出∠BCG+∠CBG＝∠ACB+∠ABC＝90°，再求出∠BGC＝90°，从而得到BD⊥CE，根据四边形的面积判断出④正确；根据勾股定理表示出BC2+DE2，BE2+CD2，得到⑤正确；再求出AE∥CD时，∠ADC＝90°，判断出②错误；∠AEC与∠BAE不一定相等判断出③错误．【解答】解：∵，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°+∠CAD，∠CAE＝∠DAE+∠CAD＝90°+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴CE＝BD，故①正确；∠ABD＝∠ACE，∴∠BCG+∠CBG＝∠ACB+∠ABC＝90°，在△BCG中，∠BGC＝180°﹣（∠BCG+∠CBG）＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥CE，∴S四边形BCDE=12BD•CE，故由勾股定理，在Rt△BCG中，BC2＝BG2+CG2，在Rt△DEG中，DE2＝DG2+EG2，∴BC2+DE2＝BG2+CG2+DG2+EG2，在Rt△BGE中，BE2＝BG2+EG2，在Rt△CDG中，CD2＝CG2+DG2，∴BE2+CD2＝BG2+CG2+DG2+EG2，∴BC2+DE2＝BE2+CD2，故⑤正确；只有AE∥CD时，∠AEC＝∠DCE，∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝90°，无法说明AE∥CD，故②错误；∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC，∵∠AEC与∠AEB相等无法证明，∴∠ADB＝∠AEB不一定成立，故③错误；综上所述，正确的结论有①④⑤共3个．故选：C．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．4．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，下列结论正确的有（）个．①BF＝AC；②AE=12BF；③∠A＝67.5°；④△DGF是等腰三角形；⑤S四边形ADGE＝S四边形A．5个 B．2个 C．4个 D．3个【分析】只要证明△BDF≌△CDA，△BAC是等腰三角形，∠DGF＝∠DFG＝67.5°，即可判断①②③④正确，作GM⊥BD于M，只要证明GH＜DG即可判断⑤错误．【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC＝∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠A+∠ABE＝90°，∠ABE+∠DFB＝90°，∴∠A＝∠DFB，∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°，∴∠DCB＝90°﹣45°＝45°＝∠DBC，∴BD＝DC，在△BDF和△CDA中∠BDF=∠CDA∠A=∠DFB∴△BDF≌△CDA（AAS），∴BF＝AC，故①正确．∵∠ABE＝∠EBC＝22.5°，BE⊥AC，∴∠A＝∠BCA＝67.5°，故③正确，∴BA＝BC，∵BE⊥AC，∴AE＝EC=12AC=12∵BE平分∠ABC，∠ABC＝45°，∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，∵∠BDC＝90°，BH＝HC，∴∠BHG＝90°，∴∠BDF＝∠BHG＝90°，∴∠BGH＝∠BFD＝67.5°，∴∠DGF＝∠DFG＝67.5°，∴DG＝DF，故④正确．作GM⊥AB于M．∵∠GBM＝∠GBH，GH⊥BC，∴GH＝GM＜DG，∴S△DGB＞S△GHB，∵S△ABE＝S△BCE，∴S四边形ADGE＜S四边形GHCE．故⑤错误，∴①②③④正确，故选：C．【点评】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．5．如图，射线AB∥射线CD，∠CAB与∠ACD的平分线交于点E，AC＝4，点P是射线AB上的一动点，连接PE并延长交射线CD于点Q．给出下列结论：①△ACE是直角三角形；②S四边形APQC＝2S△ACE；③设AP＝x，CQ＝y，则y关于x的函数表达式是y＝﹣x+4（0≤x≤4），其中正确的是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③【分析】①正确．由AB∥CD，推出∠BAC+∠DCA＝180°，由∠ACE=12∠DCA，∠CAE=12∠BAC，即可推出∠ACE+∠CAE=1②正确．首先证明AC＝AK，再证明△QCE≌△PKE，即可解决问题．③正确．只要证明AP+CQ＝AC即可解决问题．【解答】解：如图延长CE交AB于K．∵AB∥CD，∴∠BAC+∠DCA＝180°，∵∠ACE=12∠DCA，∠CAE=1∴∠ACE+∠CAE=12（∠DCA+∠∴∠AEC＝90°，∴AE⊥CK，△AEC是直角三角形，故①正确，∵∠QCK＝∠AKC＝∠ACK，∴AC＝AK，∵AE⊥CK，∴CE＝EK，在△QCE和△PKE中，∠QCE=∠PKEEC=EK∴△QCE≌△PKE，∴CQ＝PK，S△QCE＝S△PEK，∴S四边形APQC＝S△ACK＝2S△ACE，故②正确，∵AP＝x，CQ＝y，AC＝4，∴AP+CQ＝AP+PK＝AK＝AC，∴x+y＝4，∴y＝﹣x+4（0≤x≤4），故③正确，故选：A．【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．6．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠DOE＝60°，其中正确的结论数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】首先证明△ADC≌△BEC可得AD＝BE；证明△CDP≌△CEQ可得CP＝CQ，然后可得∠QPC＝∠BCA，进而可证明PQ∥AE；根据全等三角形的性质可得DP＝QE，AD＝BE，进而可得AP＝BQ；根据三角形大角对大边可得DE＞QE，进而可得DE＞DP；根据角之间的关系可得∠AOB＝∠DCE＝60°，再由对顶角相等可得∠DOE＝60°．【解答】解：①∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD，∠BCE＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ADC和△BEC中BC=AC∠ACD=∠BCE∴△ADC≌△BEC（SAS），∴AD＝BE（故①正确）；②∵∠BCA＝∠∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°，∵△ADC≌△BEC，∴∠ADC＝∠BEC，在△CDP和△CEQ中∠DCE=∠DCPCD=CE∴△CDP≌△CEQ（ASA）．∴CP＝CQ，∴∠CPQ＝∠CQP＝60°，∴∠QPC＝∠BCA，∴PQ∥AE，（故②正确）；③∵△CDP≌△CEQ，∴DP＝QE，∵△ADC≌△BEC∴AD＝BE，∴AD﹣DP＝BE﹣QE，∴AP＝BQ，（故③正确）；④∵DE＞QE，且DP＝QE，∴DE＞DP，（故④错误）；⑤∵∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，∴∠DOE＝60°，（故⑤正确）．∴正确的有：①②③⑤．故选：C．【点评】本题考查三角形综合，同学们要熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质；得到三角形全等是正确解答本题的关键．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，连接EF交AP于点G，给出以下五个结论：①∠B＝∠C＝45°；②AE＝CF，③AP＝EF，④△EPF是等腰直角三角形，⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半．其中正确的结论是（）A．只有① B．①②④ C．①②③④ D．①②④⑤【分析】根据等腰直角三角形的性质得：∠B＝∠C＝45°，AP⊥BC，AP=12BC，AP平分∠BAC．所以可证∠C＝∠EAP；∠FPC＝∠EPA；AP＝PC．即证得△APE与△CPF全等．根据全等三角形性质判断结论是否正确，根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于△【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，∴①∠B＝∠C=12×（180°﹣90°）＝45°，AP⊥BC，AP=12BC＝PC，∠BAP∵∠APF+∠FPC＝90°，∠APF+∠APE＝90°，∴∠FPC＝∠EPA．∴△APE≌△CPF（ASA），∴②AE＝CF；④EP＝PF，即△EPF是等腰直角三角形；同理可证得△APF≌△BPE，∴⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半，∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，∴AP=12∵EF不是△ABC的中位线，∴EF≠AP，故③错误；④∵∠AGF＝∠EGP＝180°﹣∠APE﹣∠PEF＝180°﹣∠APE﹣45°，∠AEP＝180°﹣∠APE﹣∠EAP＝180°﹣∠APE﹣45°，∴∠AEP＝∠AGF．故正确的有①、②、④、⑤，共四个．因此选D．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，中位线的性质的运用，等腰直角三角形的判定定理的运用，三角形面积公式的运用，解答时灵活运用等腰直角三角形的性质求解是关键．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE＝CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；④点C、E、D、F四点在同一个圆上，且该圆的面积最小为4π．其中错误结论的个数是（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①正确．连接CD．只要证明△ADE≌△CDF（SAS），即可解决问题．②错误．当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CEDF为正方形．③错误．四边形CEDF的面积=12S△ABC④错误．以EF为直径的圆的面积的最小值＝π•（12•22）2＝2π【解答】解：连接CD，如图1，∵∠C＝90°，AC＝BC＝4，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∵D为AB的中点，∴CD⊥AB，CD＝AD＝BD，∴∠DCB＝∠B＝45°，∴∠A＝∠DCF，在△ADE和△CDF中AE=CF∠A=∠DCF∴△ADE≌△CDF（SAS），∴ED＝DF，∠CDF＝∠ADE，∵∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠EDC+∠CDF＝90°，即∠EDF＝90°，∴△DFE是等腰直角三角形，所以①正确；当E、F分别为AC、BC中点时，如图2，则AE＝CE＝CF＝BF，DE＝AE＝CE，∴CE＝CF＝DE＝DF，而∠ECF＝90°，∴四边形CDFE是正方形，所以②错误；∵△ADE≌△CDF，∴S△ADE＝S△CDF，∴S四边形CEDF＝S△CDE+S△CDF＝S△CDE+S△ADE＝S△ADC=12S△ABC=1∵△CEF和△DEF都为直角三角形，∴点C、D在以EF为直径的圆上，即点C、E、D、F四点在同一个圆上，∵△DEF是等腰直角三角形，∴EF=2DE当DE⊥AC时，DE最短，此时DE=12∴EF的最小值为22，∴以EF为直径的圆的面积的最小值＝π•（12•22）2＝2π，所以④故选：C．【点评】本题考查三角形的综合题、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．9．如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③CP＝CQ；④BO＝OE；⑤∠AOB＝60°，恒成立的结论有（）A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出△ACD≌△BCE，即可得出AD＝BE．③先证明△ACP≌△BCQ，即可判断出CP＝CQ，③正确；②根据∠PCQ＝60°，可得△PCQ为等边三角形，证出∠PQC＝∠DCE＝60°，得出PQ∥AE，②正确．④没有条件证出BO＝OE，得出④错误；⑤∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，⑤正确；即可得出结论．【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，结论①正确．∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ＝60°，在△ACP和△BCQ中，∠ACP=∠BCQ∠CAP=∠CBQ∴△ACP≌△BCQ（AAS），∴AP＝BQ，CP＝CQ，结论③正确；又∵∠PCQ＝60°，∴△PCQ为等边三角形，∴∠PQC＝∠DCE＝60°，∴PQ∥AE，结论②正确．∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠AEO，∴∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，∴结论⑤正确．没有条件证出BO＝OE，④错误；综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤．故选：C．【点评】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．10．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，AB上有一动点D以每秒4个单位的速度从点A向点B运动，当点D运动到点B时停止运动．过点D作DE⊥AB，垂足为点D，过点E作EF∥AB交BC于点F，连接BE交DF于点G，设点D运动的时间为t，当S△BDG＝4S△EFG时，t的值为（）A．t=1417 B．t=1210 C．t=【分析】首先求出AB，由△ADE∽△ACB，求出AE＝5t，DE＝3t，EC＝4﹣5t，再根据EF∥AB，得ECAC=EFAB，求出EF，由EF∥DB，推出△EGF∽△BGD，得S△EGFS△BDG=（EF【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB=A∵∠A＝∠A，∠EDA＝∠C＝90°，∴△ADE∽△ACB，∴ADAC∵AD＝4t，∴AE＝5t，DE＝3t，∴EC＝4﹣5t，∵EF∥AB，∴ECAC∴4−5t4∴EF=54（4﹣5∵EF∥DB，∴△EGF∽△BGD，∴S△EGFS△BDG=（EF∴BD＝2EF，∴5﹣4t=54（4﹣5∴t=10故选：C．【点评】本题考查三角形综合题﹣动点问题、相似三角形的判定和性质．平行线的性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质，解决问题，学会利用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．11．如图，D为等腰Rt△ABC的斜边AC的中点，E为BC边上一动点，连接ED并延长交BA的延长线于点F，过D作DH⊥EF交AB于G，交CB的延长线于H，则以下结论：①DE＝DG；②BE＝DG；③DF＝DH；④BG＝CE．其中正确的是（）A．②③ B．③④ C．①③④ D．①③【分析】欲证线段相等，就证它们所在的三角形全等．证明△DCE≌△DBG，△DBH≌△DAF．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，且D点是斜边AB的中点，∴CD＝AD＝DB，BD⊥AC，∴∠CDE＝∠BDG，∠DCE＝∠DBG＝45°，∴在△DCE与△DBG中，∠CDE=∠BDGCD=BD∴△DCE≌△DBG（ASA），∴DE＝DG，CE＝BG．故①④正确；当DE≠BE时，BE＝DG不成立，故②错误；同理可证△DBH≌△DAF，∴DF＝DH．故③正确；故选：C．【点评】本题考查了三角形综合题，重点对三角形全等的判定定理和等腰直角三角形的理解和掌握，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．12．在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝2，D是BC边上的点且BD=13CD，连接AD．AD⊥AE，AE＝AD，连接①△ADC≌△AEB；②BE⊥CB；③点B到直线AD的距离为105④四边形AEBC的周长是72⑤S四边形ADBE＝2．其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】用同角的余角相等即可得出∠BAE＝∠CAD，进而判断出△ADC≌△AEB，得出①正确；用全等三角形的性质得出∠ABE＝∠ACD，再利用等腰直角三角形的性质得出∠ABE＝∠ABC＝∠ACB＝45°即可得出②正确；先求出BD，AD，再用等面积法求出BM即可得出③正确；用四边形的周长的计算方法即可得出④正确；用全等三角形的面积相等转化即可得出⑤正确．【解答】解：∵AD⊥AE，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，在△ADC和△AEB中，AD=AE∠CAD=∠BAE∴△ADC≌△AEB故①正确；∵△ADC≌△AEB，∴∠ABE＝∠ACD，∵在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB＝2，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝90°，∴BE⊥BC，故②正确；如图，作AN⊥BC于N，BM⊥AD于M．∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴BC＝22，AN＝BN＝NC=2∵BD=13∴BD＝DN=22，AD∵12BD•AN=12AD∴22•2=10∴BM=105，故∵△ADC≌△AEB，∴AE＝AD=102，BE＝CD＝3BD∴四边形AEBC的周长是AE+EB+BC+AC=102+322+∵△ADC≌△AEB，∴S△ADC＝S△AEB，∴S四边形ADBE＝S△ABD+S△ABE＝S△ABD+S△ACD＝S△ABC＝2，故⑤正确；即：正确的有①②③④⑤共五个，故选：D．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，四边形的面积计算和周长的计算；解本题的关键是求出BM的长度．二．填空题13．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，BN平分∠ABC，AE平分∠BAC，AE交BN于G，EF⊥AC于F，连接GF．①△AEB≌△AEF；②∠EFG＝∠AFG；③图中有3对全等三角形；④EF＝GF；⑤S△AEF＝2S△AGN．上述结论正确的序号有①②④⑤．【分析】首先证明△ABE≌△AFE，再证明∠BGE＝∠BEG＝67.5°，推出四边形BGFE是菱形，由此即可判断①②③④正确，由NG∥EF，得到△ANG∽△AFE，所以S△ANGS△AEF=（GNEF）【解答】解：∵EF⊥AC，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∵AE平分∠BAF，∴∠EAB＝∠EAF，在△AEB和△AEF中，∠ABE=∠AFE∠BAE=∠FAE∴△ABE≌△AFE，故①正确，∴BE＝EF，∵∠BGE＝∠GAB+∠ABG＝22.5°+45°＝67.5°，∠BEA＝∠C+∠EAC＝45°+22.5°＝67.5°，∴∠BGE﹣∠BEG，∴BG＝BE＝EF，∵BN⊥AC，EF⊥AC，∴BG∥EF，∴四边形BGFE是平行四边形，∵BG＝BE，∴四边形BGFE是菱形，∴EF＝EG，故④正确，∠EFG＝∠EBG＝45°，∵∠EFA＝90°，∴∠GFE＝∠GFN＝45°，故②正确，∵△ABE≌△AFE，△AGB≌△AGF，△EGB≌△EGF，△ABN≌△CBN，故③错误，∵∠NGF＝∠NFG＝45°，∴NG＝NF，∴EF＝GF=2NG∵NG∥EF，∴△ANG∽△AFE，∴S△ANGS△AEF=（GN∴S△AEF＝2S△ANG．故⑤正确，∴①②④⑤正确，故答案为①②④⑤．【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用直线知识问题，最后有关结论的判断有点难度，用了相似三角形的面积比等于相似比的平方，属于中考填空题中的压轴题．14．如图，△ABC的内部有一点P，且点D，E，F是点P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠BAC＝70°，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，PD、PE恰好分别为边AB、BC的中垂线，则下列命题中正确的是（1）（2）（3）（4）．（1）A，C两点关于直线PF对称；（2）PF＝BE；（3）∠ADB+∠BEC+∠CFA＝360°；（4）∠DBA+∠FAC＝∠BAC．【分析】根据线段垂直平分线的性质定理和判定定理判断（1）；根据等边三角形的判定定理和性质定理、等腰三角形的性质判断（2）；根据轴对称的性质和周角的概念判断（3）；根据线段垂直平分线的性质、轴对称的性质判断（4）．【解答】解：连接PA、PB、PC，∵PD、PE分别为边AB、BC的中垂线，∴PA＝PB，PC＝PB，∴PA＝PC，∴PE为AC的垂直平分线，∴A，C两点关于直线PF对称，A命题正确；∵∠ABC＝60°，∴∠BAC+∠BCA＝120°，∵PA＝PB，PB＝PC，∴∠PAB＝∠PBA，∠PCB＝∠PBC，∴∠PAB+∠PCB＝∠PBA+∠PBC＝60°，∴∠PAC+∠PCA＝60°，∵PA＝PC，∴∠PCA＝30°，∴∠CPF＝60°，∵CF＝PC，∴△PCF为等边三角形，∴PF＝PC，∵PC＝PB＝BE，∴BE＝PF，B命题正确；∵点P、D关于AB对称，∴∠ADB＝∠APB，同理可得，∠BEC＝∠BPC，∠AFC＝∠APC，∴∠ADB+∠BEC+∠CFA＝∠APB+∠BPC+∠CPA＝360°，C命题正确；∵PD是AB的垂直平分线，∴DB＝DA，∴∠DBA＝∠DAB，∵点P、D关于AB对称，∴∠DAB＝∠PAB，同理，∠FAC＝∠PAC，∴∠DBA+∠FAC＝∠PAB+∠PAC＝∠BAC，D命题正确；故答案为：（1）（2）（3）（4）．【点评】本题考查的是轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．15．如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝16cm，AC＝20cm，点P是△ABC边上的一个动点，点P从点A开始沿A→B→C→A方向运动，且速度为每秒4cm，设出发的时间为t（s），当点P在边CA上运动时，若△ABP为等腰三角形，则运动时间t＝425或9或192【分析】分三种情形：AB＝AP，AB＝BP，PA＝PB，画出图形分别求解即可．【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H．∵∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝16，∴AB=A∵BH⊥AC，∴S△ABC=12•AC•BH=12•∴BH=12×16∴AH=A当BA＝BP1时，AH＝HP1=36∴AB+BC+AP1＝20+16+12−72此时t=42当AB＝AP2时，AB+BC+CP2＝20+16+12﹣12＝36，此时t＝9，当AP3＝BP3时，AB+BC+CP3＝20+16+12﹣10＝38，此时t=19综上所述，满足条件的t的值为425或9或19【点评】本题考查的是等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．16．如图，∠ABC＝90°，P为射线BC上任意一点（点P和点B不重合），分别以AB，AP为边在∠ABC内部作等边△ABE和等边△APQ，连接QE并延长交BP于点F，连接EP，若FQ＝11，AE＝43，则EP＝13．【分析】连接EP，过点E作EM⊥BC，由题意可得△AEQ≌△ABP，可得QE＝BP，∠AEQ＝∠ABC＝90°，可求∠EBF＝∠BEF＝30°，根据勾股定理可求BE＝2EM＝43，BM=3EM，EF＝BF＝2FM，EM=3FM，可求BF＝EF＝4，EM＝23，FM＝2，由QF＝11，EF＝4，可得BP＝EQ＝7，可求MP的长，根据勾股定理可求【解答】解：如图：连接EP，过点E作EM⊥BC∵△AEB，△APQ是等边三角形∴AB＝AE＝BE＝43，AQ＝AP，∠ABE＝∠BAE＝∠QAP＝60°＝∠AEB∴∠BAP＝∠QAE且AQ＝AP，AB＝AE∴△ABP≌△AEQ∴QE＝BP，∠AEQ＝∠ABC＝90°∵∠AEQ＝∠ABC＝90°，∠ABE＝∠AEB＝60°∴∠BEF＝∠EBF＝30°∴BF＝EF，∠EFM＝60°∵EM⊥BC∴∠FEM＝30°∴EF＝2FM＝BF，EM=3∵∠EBM＝30°，EM⊥BC∴BE＝2EM，BM=3∵EB＝43∴EM＝23，BM＝6∵BF+FM＝BM∴FM＝2，BF＝EF＝4∵QF＝EQ+EF∴EQ＝11﹣4＝7∴BP＝7∴MP＝BP﹣BM＝1在Rt△EMP中，EP=故答案为13【点评】本题考查了三角形综合题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，构造直角三角形用勾股定理求线段的长度是本题的关键．17．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE．下列结论：①△ACE≌△BCD；②若∠BCD＝25°，则∠AED＝65°；③DE2＝2CF•CA；④若AB＝32，AD＝2BD，则AF=5其中正确的结论是①②③．（填写所有正确结论的序号）【分析】先判断出∠BCD＝∠ACE，即可判断出①正确；先求出∠BDC＝110°，进而得出∠AEC＝110°，即可判断出②正确；先判断出∠CAE＝∠CEF，进而得出△CEF∽△CAE，即可得出CE2＝CF•AC，最后用勾股定理即可得出③正确；先求出BC＝AC＝3，再求出BD=2，进而求出CE＝CD=5，求出CF=5【解答】解：∵∠ACB＝90°，由旋转知，CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，BC=AC∠BCD=∠ACE∴△BCD≌△ACE，故①正确；∵∠ACB＝90°，BC＝AC，∴∠B＝45°∵∠BCD＝25°，∴∠BDC＝180°﹣45°﹣25°＝110°，∵△BCD≌△ACE，∴∠AEC＝∠BDC＝110°，∵∠DCE＝90°，CD＝CE，∴∠CED＝45°，则∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝65°，故②正确；∵△BCD≌△ACE，∴∠CAE＝∠CBD＝45°＝∠CEF，∵∠ECF＝∠ACE，∴△CEF∽△CAE，∴CEAC∴CE2＝CF•AC，在等腰直角三角形CDE中，DE2＝2CE2＝2CF•AC，故③正确；如图，过点D作DG⊥BC于G，∵AB＝32，∴AC＝BC＝3，∵AD＝2BD，∴BD=13AB∴DG＝BG＝1，∴CG＝BC﹣BG＝3﹣1＝2，在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CD=C∵△BCD≌△ACE，∴CE=5∵CE2＝CF•AC，∴CF=C∴AF＝AC﹣CF＝3−53=故答案为：①②③．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△BCD≌△ACE是解本题的关键．18．如图，在Rt△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：①若C、O两点关于AB对称，则OA＝23；②C、O两点距离的最大值为4；③若AB平分CO，则AB⊥CO；④斜边AB的中点D运动路径的长为π2其中正确的是①②（把你认为正确结论的序号都填上）．【分析】①先根据直角三角形30°的性质和勾股定理分别求AC和AB，由对称的性质可知：AB是OC的垂直平分线，所以OA＝AC；②当OC经过AB的中点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；③如图2，当∠ABO＝30°时，易证四边形OACB是矩形，此时AB与CO互相平分，但所夹锐角为60°，明显不垂直，或者根据四点共圆可知：A、C、B、O四点共圆，则AB为直径，由垂径定理相关推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，但当这条弦也是直径时，即OC是直径时，AB与OC互相平分，但AB与OC不一定垂直；④如图3，半径为2，圆心角为90°，根据弧长公式进行计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠BAC＝30°，∴AB＝4，AC=42−①若C、O两点关于AB对称，如图1，∴AB是OC的垂直平分线，则OA＝AC＝23；所以①正确；②如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE，∵∠AOB＝∠ACB＝90°，∴OE＝CE=12当OC经过点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；所以②正确；③如图2，当∠OBC＝∠AOB＝∠ACB＝90°，∴四边形AOBC是矩形，∴AB与OC互相平分，但AB与OC的夹角为60°、120°，不垂直，所以③不正确；④如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的14则：90π×2180=所以④不正确；综上所述，本题正确的有：①②；故答案为：①②．【点评】本题是三角形的综合题，考查了直角三角形30°的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、动点运动路径问题、弧长公式，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是本题的关键，难度适中．19．如图，△ABC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，BC上，AC＝AD，∠CDE＝45°，CD与AE交于点F，若∠AEC＝∠DEB，CE=7104，则CF【分析】作辅助线，构建特殊的四边形ACGH，设∠AEC＝α，则∠DEB＝α，①根据SAS证明△AEC≌△DEB，得AC＝CH，∠ACE＝∠EGH＝90°，证明四边形ACGH是矩形；②设∠ACD＝∠ADC＝β，根据三角形的内角和表示∠CAD＝180°﹣2β，根据平角∠ADB＝180°列式：β+45°+∠BDE＝180°，在△BDE中根据三角形的内角和列式为：α+∠BDE+∠ABC＝180°，两式综合可得：∠BDE＝α；③证明四边形ACGH是正方形，得出AD＝AC＝4BE＝4BD；④设BE＝x，则BD＝x，在Rt△ACB中，由勾股定理列方程可求出x的值；⑤过F作FM⊥BC于M，设EM＝y，则FM＝2y，EF=5y，根据EF的长列方程可求出y⑥在Rt△CFM中，利用勾股定理可求CF的长．【解答】解：延长CE至G，使EC＝EG，延长ED至H，使EH＝AE，过D作DT∥BC，交AE于T，连接GH、AH，设∠AEC＝α，则∠DEB＝α，∵∠AEC＝∠DEB＝α，∴△AEC≌△DEB，∴AC＝GH，∠ACE＝∠EGH＝90°，∴AC∥GH，∴四边形ACGH是矩形，∴AH∥CG，∴∠AHE＝∠HEG＝α，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，设∠ACD＝∠ADC＝β，∵∠CDE＝45°，∴β+45°+∠BDE＝180°，∴β＝135°﹣∠BDE①，∵△ACD是等腰三角形，∴∠CAD＝180°﹣2β，∵△ACB是直角三角形，∴∠ABC＝90°﹣∠CAD＝90°﹣（180°﹣2β）＝2β﹣90°，在△BDE中，由内角和得：α+∠BDE+∠ABC＝180°，α+∠BDE+2β﹣90°＝180°②，把①代入②得：α+∠BDE+2（135°﹣∠BDE）﹣90°＝180°，∠BDE＝α，∴∠ADH＝∠BDE＝α，∴AD＝AH＝AC，∴四边形ACGH是正方形，∴AH＝AC＝2CE=7∴AD＝AC=7∵∠BED＝∠BDE＝α，∴BE＝BD，设BE＝x，则BD＝x，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∴(7解得：x=7∴BE＝BD=7∴CE＝2BE＝2BD，∴AD＝4BD，∴ADAB∵DT∥BC，∴△ADT∽△ABE，∴DTEB∵CE＝2BE，∴DTCE∵DT∥CE，∴TFEF在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE=A∴ET=15AE∴EF=57ET过F作FM⊥BC于M，tanα=AC设EM＝y，则FM＝2y，EF=5y∴5y=5y=10∴FM＝2y=102，EM＝y∴CM＝CE﹣EM=7在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF=C故答案为：5．【点评】本题是三角形和四边形的综合题，考查了矩形、正方形的性质和判定，平行相似及平行线分线段成比例定理，三角函数，勾股定理等知识，比较麻烦，计算量较大；注意线段的比的关系，利用线段的比和未知数，根据勾股定理计算边的长，从而使问题得以解决．20．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①图中只有2对全等三角形②AE＝CF；③△EPF是等腰直角三角形；④S四边形AEPF=12S△⑤EF的最小值为2．上述结论始终正确的有②③④⑤（填序号）．【分析】根据全等三角形的判定定理、等腰直角三角形的判定定理、全等三角形的性质定理判断即可．【解答】解：∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵点P是BC的中点，∴∠BAP＝∠CAP＝45°，∵∠EPF＝90°，∴∠BPE+∠EPA＝90°，∴∠BPE＝∠APF，∠EPA＝∠FPC，在△BPE和△APF中，∠BPE=∠APF∠B=∠PAF∴△BPE≌△APF，∴△EPA≌△FPC，△APC≌△APB，有3对全等三角形，①错误；∵△EPA≌△FPC，∴AE＝CF，②；∵△BPE≌△APF，∴PE＝PF，又∠EPF＝90°，∴△EPF是等腰直角三角形，③正确；∵△BPE≌△APF，∴S四边形AEPF＝S△ABP=12S△ABC，由②知，△EPF是等腰直角三角形，则EF=2EP．当EP⊥AB时，EP取最小值，此时EP=12AB，则EF最小值=22故答案为：②③④⑤．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．21．如图，D、E分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE的周长相等，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，给出以下几个结论：①如果AD是BC边中线，那么CE是AB边中线；②AE的长度为c+a−b2③BD的长度为b+a−c2④若∠BAC＝90°，△ABC的面积为S，则S＝AE•BD．其中正确的结论是②③④（将正确结论的序号都填上）【分析】由中线的定义，可得到AB＝AC，但AB＝AC时未必有AC＝BC，可判断①；△ABD与△ACD的周长相等，我们可得出：AB+BD＝AC+CD，等式的左右边正好是三角形ABC周长的一半，有AB，AC的值，那么就能求出BD的长了，同理可求出AE的长，可判断②③；把AE和BD代入计算，结合勾股定理可求得S，可判断④；则可得出答案．【解答】解：当AD是BC边中线时，则BD＝CD，∵△ABD与△ACD的周长相等，∴AB＝AC，但此时，不能得出AC＝BC，即不能得出CE是AB的中线，故①不正确；∵△ABD与△ACD的周长相等，BC＝a，AC＝b，AB＝c，∴AB+BD+AD＝AC+CD+AD，∴AB+BD＝AC+CD，∵AB+BD+CD+AC＝a+b+c，∴AB+BD＝AC+CD=a+b+c∴BD=a+b+c2−同理AE=a+c−b故②③都正确；当∠BAC＝90°时，则b2+c2＝a2，∴AE•BE=a+c−b2×a+b−c2=14[a+（c﹣b）][a﹣（c﹣b）]=14[a2﹣（c﹣b）2]=14[a2﹣（c2+b故④正确；综上可知正确的结论②③④，故答案为：②③④．【点评】本题为三角形的综合应用，主要考查了三角形各边之间的关系问题及三角形的面积，在列式子的时候要注意找出等量关系，难度适中．22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF＝45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=2；②当点E与点B重合时，MH=12；③AF+BE＝EF；④MG•MH=12【分析】①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得MG∥BC，四边形MGCB是矩形，进一步得到FG是△ACB的中位线，从而作出判断；③如图2所示，SAS可证△ECF≌△ECD，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；④根据AA可证△ACE∽△BFC，根据相似三角形的性质可得AF•BF＝AC•BC＝1，由题意知四边形CHMG是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到MG•MH=22AE×22BF=12AE•BF【解答】解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC2②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，∴MB⊥BC，∠MBC＝90°，∵MG⊥AC，∴∠MGC＝90°＝∠C＝∠MBC，∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，∴MH＝MB＝CG，∵∠FCE＝45°＝∠ABC，∠A＝∠ACF＝45°，∴CF＝AF＝BF，∴FG是△ACB的中位线，∴GC=12AC＝MH，故③如图2所示，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠5＝45°．将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，则CF＝CD，∠1＝∠4，∠A＝∠6＝45°；BD＝AF；∵∠2＝45°，∴∠1+∠3＝∠3+∠4＝45°，∴∠DCE＝∠2．在△ECF和△ECD中，CF=CD∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF＝DE．∵∠5＝45°，∴∠BDE＝90°，∴DE2＝BD2+BE2，即EF2＝AF2+BE2，故③错误；④∵∠7＝∠1+∠A＝∠1+45°＝∠1+∠2＝∠ACE，∵∠A＝∠5＝45°，∴△ACE∽△BFC，∴AEBC∴AE•BF＝AC•BC＝1，由题意知四边形CHMG是矩形，∴MG∥BC，MH＝CG，MG∥BC，MH∥AC，∴CHBC=AE即MG1=AE∴MG=22AE；MH=∴MG•MH=22AE×22BF=12AE•BF故④正确．故答案为①②④．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．三．解答题23．如图，等腰Rt△AOB在平面直角坐标系xOy上，∠B＝90°，OA＝4．点C从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向运动，过点C作直线l⊥OA，直线l与射线OB相交于点N．（1）点B的坐标为（2，2）；（2）点C的运动时间是t秒．①当2≤t≤4时，△AOB在直线l右侧部分的图形的面积为S，求S（用含t的式子表示）；②当t＞0时，点M在直线l上且△ABM是以AB为底的等腰三角形，若CN=32CM，求【分析】（1）过B点作BD⊥OA于点D，根据等腰直角三角形的性质求得OD与BD的长度，便可写出B点的坐标；（2）①证明△ACM为等腰直角三角形，再由三角形的面积公式求得结果；②过AB的中点D，作线段AB的垂直平分线DE，求出直线OB与DE的解析式，再用t表示C、M、N的坐标，进而用t表示CN与CM，根据已知条件CN=32CM，列出【解答】解：（1）过B点作BD⊥OA于点D，如图1，∵∠OBA＝90°，OB＝AB，OA＝4．∴BD＝OD＝AD=12∴B（2，2），故答案为（2，2）；（2）①当2≤t≤4时，如图2，则AC＝OA﹣OC＝4﹣t，∵∠OBA＝90°，OB＝AB，∴∠OAB＝45°，∵直线l⊥OA，∴∠ACM＝90°，∴∠AMC＝45°＝∠CAM，∴AC＝CM＝4﹣t，∴S=S②过AB的中点D，作线段AB的垂直平分线DE，如图3，∵△ABM是以AB为底的等腰三角形，∴MA＝MB，∴点M在直线DE上，∵点M在直线l上，∴点M为直线l与直线DE的交点，设直线OB的解析式为y＝kx（k≠0），由（1）知，B（2，2），∴2＝2k，∴k＝1，∴直线OB的解析式为：y＝x，∵∠ABO＝∠ADM＝90°，∴DE∥OB，∴设直线DE的解析式为y＝x+n，∵A（4，0），B（2，2），D为AB的中点，∴D（3，1），把D（3，1）代入y＝x+n中，得1＝3+n，∴n＝﹣2，∴直线DE的解析式为：y＝x﹣2，∵OC＝t，∴C（t，0），N（t，t），M（t，t﹣2），∵CN=32CM，∴t=32|∴t=32（t﹣2），或t=3解得，t＝6，或t=6【点评】本题主要考查了点的坐标，待定系数法，求函数的解析式，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，难度不大，第（3）题关键是求出AB的垂直平分线的解析式和正确列出t的方程．24．如图1，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE．（1）若D为AC的中点，求BDCE（2）将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转，使点D落任AB上，如图2，F为DB的中点．①画出△DEF关于点F成中心对称的图形，②求EFCE（3）如图3，将△ADE绕点A顺时针旋转，F为BD的中点，当AC＝6，AD＝4时，则CF的最大值为32+2【分析】（1）如图1中，作EQ⊥AC于Q．设EQ＝QA＝QD＝a，利用勾股定理求出BD、CE即可解决问题；（2）①如图2中，△DEF关于点F对称的△FBH如图所示；②只要证明△CAE≌△CBH，推出△ECH是等腰直角三角形即可解决问题；（3）如图3中，延长EF到H，使得EF＝FH．连接CF、CH，延长ED交BC于K．想办法证明△ECH是等腰直角三角形，可得EC=2CF，由此可知，CE最大时，CF【解答】解：（1）如图1中，作EQ⊥AC于Q．∵△ADE是等腰直角三角形，∴EQ＝QA＝QD，设EQ＝QA＝QD＝a，∵AD＝DC，∴AD＝DC＝2a，BC＝AC＝4a，∴在Rt△CDB中，BD=CD2+B在Rt△CQE中，EC=CQ∴BDCE（2）①如图2中，△DEF关于点F对称的△FBH如图所示；②连接CF、CH．∵△FDE≌△FBH，∴DE＝BH＝AE，∠EDF＝∠FBH＝135°，EF＝FH，∵∠ABC＝45°，∴∠CBH＝90°＝∠CAE，∵CA＝CB，∴△CAE≌△CBH，∴EC＝CH，∠ACE＝∠BCH，∴∠ECH＝∠ACB＝90°，∴△ECH是等腰直角三角形．∵EF＝FH，∴CF⊥EH，CF＝EF＝FH，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EC=2EF∴EFEC（3）如图3中，延长EF到H，使得EF＝FH．连接CF、CH，延长ED交BC于K．∵∠ACK＝∠AEK＝90°，∴∠CAE+∠EKC＝180°，∵∠EKC+∠EKB＝180°，∴∠CAE＝∠EKB，∵DF＝FB，∠DFE＝∠BFH，FE＝FH，∴△DFE≌△BFH，∴DE＝BH＝QE，∠DEF＝∠FHB，∴EK∥BH，∴∠EKB＝∠CBH，∴∠CAE＝∠CBH，∵CA＝CB，∴△CAE≌△CBH，∴EC＝CH，∠ACE＝∠BCH，∴∠ECH＝∠ACB＝90°，∴△ECH是等腰直角三角形．∵EF＝FH，∴CF⊥EH，CF＝EF＝FH，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EC=2CF∴当EC的值最大时，CF的值也最大，∵EC的最大值＝AC+AE＝6+22，∴6+22=2∴CF的最大值＝32+故答案为32+【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．25．如图，△ABC中，AB＝AC，tanB=12，作AD⊥AC交BC于E，且AD＝AC（1）若CD＝42，求BE的长度；（2）如图2，∠BAD的角平分线交BC于F，作CG⊥AF的反向延长线于点G，求证：2BF+AG＝CG；（3）如图3，将“tanB=12”改为“sinB=12”，作AD⊥AC，且AD＝AC，连接BD，CD，延长DA交BC于E，∠BAD的角平分线的反向延长线交BC于F，作CG⊥AF于【分析】（1）如图1中，过A作AF⊥BC于F，根据Rt△ACD中，AC＝4，可得Rt△ACE中，AE＝2，CE＝25，再根据BC＝2CG，求得BC=1655，最后根据BE＝BC（2）如图2中，连接DF，延长AF交BD于M．首先证明△BFD是等腰直角三角形，再证明△AMD≌△CGA，推出AG＝DM＝BM＝FM，CG＝AM，由△BFD是等腰直角三角形，FM⊥BD，推出∠BFM＝∠AFN＝45°，推出2BF=2AN＝AF（3）如图3中，作AM⊥BC于M，连接DF，FA的延长线交BD于N．首先证明BD=2BF，由sin∠ABC=12，推出∠ABC＝∠ACB＝∠EAM＝30°，设EM＝m，则AE＝2m＝BE，EC＝2AE＝4m，AM＝FM=3m，CF＝CM﹣FM＝3m−3【解答】解：（1）如图1，过A作AF⊥BC于H，∵AD⊥AC，AD＝AC，CD＝42，∴等腰直角三角形ACD中，AC＝4，BC＝2CH，∵AB＝AC，tanB=1∴tan∠ACB=1∴Rt△ACE中，AE＝2，∴CE=22+∵tan∠ACH=1∴AH=455，∴BC＝2×8∴BE＝BC﹣CE=1655（2）证明：如图2，连接DF，延长AF交BD于M．∵AB＝AD＝AC，∴点B、D、C在以A为圆心的圆上，∵DA⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠DBC=12∠∵AF平分∠BAD，∴∠FAB＝∠FAD，在△FAB和△FAD中，AB=AD∠FAB=∠FAD∴△FAB≌△FAD（SAS），∴BF＝DF，∴∠DBF＝∠FDB＝45°，∴DF⊥BC，∵AB＝AD，MA平分∠BAD，∴BM＝DM，AM⊥BD，∵∠DAM+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，∴∠MAD＝∠ACG，在△AMD和△CGA中，∠AMD=∠G=90°∠MAD=∠ACG∴△AMD≌△CGA（AAS），∴AG＝DM＝BM＝FM，CG＝AM，∵△BFD是等腰直角三角形，FM⊥BD，∴∠BFM＝∠AFH＝45°，∴AH＝FH=12∴BF＝FH＝AH，∴2BF=2AH＝AF∴CG＝AM＝FM+AF＝AG+2BF即2BF+AG＝CG；（3）如图3，作AM⊥BC于M，连接DF，延长FA交BD于N．∵AB＝AD，AN平分∠BAD，∴AN⊥BD，BN＝DN，∴FB＝FD，∵AB＝AC＝AD，∴∠CBD=12∠∴∠FBD＝∠FDB＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BD=2BF∵sin∠ABC=1∴∠ABC＝∠ACB＝∠EAM＝30°，∠BAM＝60°，∵∠BAC＝120°，∠DAC＝90°，∴∠BAD＝150°，∴∠BAN＝75°，∠MAF＝180°﹣75°﹣60°＝45°＝∠AFM，∴AM＝FM，∠GFC＝∠GCF＝45°，∴FG＝CG，∵∠AEC＝60°，∠ABE＝30°，∴∠ABE＝∠BAE＝30°，∴AE＝BE，设EM＝m，则AE＝2m＝BE，EC＝2AE＝4m，AM＝FM=3m，CF＝CM﹣FM＝3m−3m，CG∴BF⋅GCBD⋅BE=BF【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识的综合应用，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形和直角三角形，利用含30°角的直角三角形以及等腰直角三角形的边角关系来解决问题．26．（1）问题探究①如图1，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝13，AB＝5，若P是BC边上一动点，连接AP，则AP的最小值为6013②如图2，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝a，求边AB的长度（用含a的代数式表示）．（2）问题解决如图3，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，D是边BC的中点，若P是AB边上一动点，E是AC边上一动点，试求PD+PE的最小值．【分析】（1）①过A作AE⊥CB于E，依据三角形面积相等可求出AE=6013，再根据垂线段最短可知当AP与AE重合时②根据勾股定理求解即可；（2）作AH⊥AC，PE′⊥AH，DF′⊥AH交AB于T，可得PD+PE的最小值为DF′的长，由勾股定理求出DT和TF′的长即可得到结论．【解答】解：（1）①如图1，过A作AE⊥CB于E，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝13，∴AC=B∵S△ABC∴AE=AB⋅AC根据垂线段最短可知当AP与AE重合时AP的值最小，最小值为6013故答案为6013②如图2，∵∠ABC＝90°，AB＝AC，∴AB2+BC2＝AC2，∵AC＝a，∴AB∴AB=22a∴AB=2（2）作AH⊥AC，PE′⊥AH于E′，DF′⊥AH交AB于T，作TQ⊥AC于点Q，如图3，∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝4，∴AB＝BC=22，∠BAC＝∠BC