2024年中考数学《动点综合问题》及答案

动点综合问题（33题）

一、

1.（2024•甘肃临夏・中考真题）如图1,矩形ARCO中，口。为其对角线，一动点尸从。出发，沿着。

的路径行进，过点P作尸Q，CD,垂足为Q.设点P的运动路程为加尸Q—OQ为"，“与t的函数图

A4V2口87V311

A.丁B.-rC.丁Dn.—

2.（2024.黑龙江齐齐哈尔.中考真题）如图，在等腰母△ABC中，乙BAC=90°,AB=12,动点E,尸同时从

点A出发,分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动,且速度大小相同,当点E停止运动时，点尸也随

之停止运动，连接即，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为c（0V2：（12）,正方形

EFGH和等腰以A4bC重合部分的面积为下列图像能反映u与C之间函数关系的是（）

3.（2024•四川泸州•中考真题）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E,尸分别是边AB,8c上的动点,

且满足AE=BF,AF与DE交于点O,点河是。尸的中点，G是边上的点，AG=2GB,则OM+

J尸G的最小值是（）

C.8D.10

4.（2024・甘肃・中考真题）如图1,动点P从菱形ABCD的点A出发,沿边AB■匀速运动，运动到点C

时停止.设点P的运动路程为力，PO的长为y,沙与①的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点

5.（2024.湖南长沙.中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=6,乙5=30°,点E是8C边上的动点，连接

AE,Z2E,过点4作/斤,可于点P.设£©=宓，人斤=”则沙与2之间的函数解析式为（不考虑自变

量力的取值范围）（）

C.1D”遗

XX

二、填空题

6.（2024.江苏扬州.中考真题）如图，已知两条平行线射点4是上的定点，ABJL:于点B,点、C、D分

别是"、。上的动点，且满足AC=8。，连接CD交线段于点E,CD于点H,则当NBAH最大

时，sinZBAH的值为.

_____________眇

7.（2024.四川广安・中考真题）如图，在0ABe©中，AB=4,AD=5,30°,点河为直线上一

动点,^\MA+MD的最小值为.

8.（2024.四川凉山.中考真题）如图，。及■的圆心为双（4,0）,半径为2,P是直线g=刀+4上的一个动点,

过点P作。河的切线,切点为Q,则PQ的最小值为

9.（2024.黑龙江绥化.中考真题）如图，已知AAOB=50°,点P为AAOB内部一点，点M为射线OA、点N

为射线上的两个动点，当△尸AW的周长最小时，则NMPN=.

10.（2024・四川成都・中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知4（3,0）,8（0,2）,过点8作4轴的垂线

Z,P为直线Z上一动点，连接PO,9,则PO+24的最小值为.

11.（2024・四川内江•中考真题）如图，在△48。中，N4BC=60°,BC=8,E是BC边上一点、，且BE=2,点、

/是△A8C的内心，BI的延长线交/C于点D,P是BD上一动点,连接PE、PC,则PE+PC的最小值

12.（2024.山东烟台.中考真题）如图，在OABCD中，ZC=120°,AB=8,BC=W.E为边CD的中点，F

为边4D上的一动点，将4DEF沿EF翻折得△£）上斤，连接AD,,则△面积的最小值为

13.（2024.四川宜宾.中考真题）如图，正方形4BCD的边长为1,M、N是边BC、CD上的动点.若NMAN

=45°,则MN的最小值为

14.（2024.四川宜宾.中考真题）如图，在平行四边形ABC©中，AB=2,AD=4,E、尸分别是边CD、AD1.

的动点，且CE=DF.当AE+CF的值最小时，则CE=.

三、解答题

15.（2024.江苏苏州.中考真题）如图，△ABC中，47=BC,乙4cB=90°,4（—2,0）,。（6,0）,反比例函数"

=^（fc^0,T>0）的图象与4B交于点。（小,4）,与交于点E.

⑴求?TZ,k的值；

（2）点P为反比例函数"=/（%#0避＞0）图象上一动点（点P在之间运动，不与。，后重合），过点

尸作PM7/AB,交"轴于点双，过点尸作尸N〃工轴，交8C于点N,连接MV,求△*!小面积的最大值，

并求出此时点P的坐标.

16.（2024.四川自贡.中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数夕=做+6的图象与反比例函数0=

—的图象交于4—6,1），B（l,n）两点.

X

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）P是直线2=—2上的一个动点，△MB的面积为21,求点P坐标;

（3）点Q在反比例函数4=5位于第四象限的图象上，AQAB的面积为21,请直接写出Q点坐标.

X

17.（2024.四川泸州.中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a/+be+3经过点

人（3,0）,与"轴交于点J3,且关于直线劣=1对称.

⑴求该抛物线的解析式；

（2）当—IWcWt时，0的取值范围是—1,求t的值;

（3）点。是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点。作力轴的垂线交直线于点。，在沙轴上是否存

在点E,使得以8,。，。，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长;若不存在，说明理由.

18.（2024.四川南充・中考真题）已知抛物线y=—/+就+。与力轴交于点A（-l,0），8（3,0）.

rai图2

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,抛物线与y轴交于点C,点P为线段OC上一点（不与端点重合），直线24,PB分别交抛物线

于点瓦。,设APAD面积为S，△尸BE面积为$2,求善的值；

（3）如图2,点K是抛物线对称轴与c轴的交点,过点K的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点

N,过抛物线顶点G作直线2〃力轴，点Q是直线I上一动点.求QM+QN的最小值.

19.（2024•吉林・中考真题）如图，在△ABC中，ZC=90°,ZB=30°,AC=3cm,AD是△ABC的角平分线.

动点P从点A出发，以V3cm^的速度沿折线AD-DB向终点B运动.过点P作PQ〃4交AC于

点Q,以PQ为边作等边三角形PQE,且点C,E在PQ同侧,设点P的运动时间为t（s）（f>0）,/\PQE

与△ABC重合部分图形的面积为S（cm2）.

（1）当点P在线段4。上运动时，判断△APQ的形状（不必证明），并直接写出AQ的长（用含力的代数式

表示）.

（2）当点E与点。重合时，求力的值.

（3）求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围.

20.（2024.四川德阳•中考真题）如图，抛物线夕=d—2+c与刀轴交于点人（—1,0）和点与4轴交于点C.

___________F

（1）求抛物线的解析式；

（2）当0〈/42时，求g=a?一力+c的函数值的取值范围；

（3）将抛物线的顶点向下平移1个单位长度得到点/,点P为抛物线的对称轴上一动点，求M+

暇•的最小值.

21.（2024.黑龙江大兴安岭地.中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边在刀轴上,

点A在第一象限，。4的长度是一元二次方程X2-5X-6=0的根，动点P从点O出发以每秒2个单位

长度的速度沿折线04-运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线OB—BA运

动，P、Q两点同时出发，相遇时停止运动.设运动时间为1秒（0〈力（3.6）,Z\OPQ的面积为S.

（2）求S与t的函数关系式；

（3）在⑵的条件下，当S=时，点河在v轴上,坐标平面内是否存在点N,使得以点。、P、M、N为

顶点的四边形是菱形.若存在，直接写出点N的坐标;若不存在，说明理由.

22.（2024.江西・中考真题）综合与实践

如图，在Rt/\ABC中，点。是斜边上的动点（点。与点A不重合），连接CD,以CD为直角边在CD

的右侧构造Rt/XCDE,ADCE=90°,连接BE,霁=巽=鹏.

CDCA

H2

特例感知

（1）如图1,当m=1时，8E与AD之间的位置关系是，数量关系是；

类比迁移

（2）如图2,当小¥1时，猜想BE与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想.

拓展应用

（3）在（1）的条件下，点尸与点。关于。E对称,连接。尸，即，,如图3.已知AC=6,设入。=以四

边形CDFE的面积为9.

①求"与①的函数表达式，并求出"的最小值；

②当BF=2时，请直接写出4D的长度.

23.（2024.黑龙江齐齐哈尔.中考真题）综合与探究:如图,在平面直角坐标系中，已知直线4=皆工一2与c轴

交于点与y轴交于点C,过A,C两点的抛物线y=a/+bcc+c（a¥0）与立轴的另一个交点为点8（

-1,0）,点P是抛物线位于第四象限图象上的动点,过点P分别作t轴和y轴的平行线，分别交直线AC

于点E,点尸.

（2）点。是立轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点。的坐标；

（3）当EF=时，求点P的坐标；

（4）在（3）的条件下，若点N是0轴上的一个动点,过点N作抛物线对称轴的垂线,垂足为M,连接M4,

MP,^\NA+MP的最小值为.

24.（2024.四川广元.中考真题）在平面直角坐标系rrO夕中，已知抛物线尸：y=—/+b宓+c经过点

A（—3,-L）,与y轴交于点5（0,2）.

⑴求抛物线的函数表达式；

（2）在直线上方抛物线上有一动点C,连接OC交于点。，求器的最大值及此时点。的坐标；

（3）作抛物线尸关于直线y=-1上一点的对称图象尸，抛物线F与尸只有一个公共点E（点E在沙轴右

侧），G为直线上一点，以为抛物线F对称轴上一点，若以8,瓦G,H为顶点的四边形是平行四边

形，求G点坐标.

25.（2024.天津.中考真题）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点0（0,0）,点力⑶0）,

点在第一象限，且OC=2,/49C=60°.

（1）填空:如图①，点C的坐标为,点B的坐标为；

（2）若P为立轴的正半轴上一动点，过点P作直线Z，c轴,沿直线I折叠该纸片，折叠后点O的对应点

O,落在土轴的正半轴上,点C的对应点为C.设OP=九

①如图②,若直线I与边CB相交于点Q,当折叠后四边形PO'C'Q与00ABe重叠部分为五边形时，

O'C与相交于点E.试用含有t的式子表示线段BE的长，并直接写出t的取值范围；

②设折叠后重叠部分的面积为S,当日wtw#■时，求S的取值范围（直接写出结果即可）.

oa

26.（2024.湖南.中考真题）已知二次函数y=-x2+c的图像经过点A（-2,5）,点。（电,"）,。但，纺）是此二

次函数的图像上的两个动点.

⑴求此二次函数的表达式；

（2）如图1,此二次函数的图像与步轴的正半轴交于点B,点P在直线AB的上方，过点P作PC，立轴于

点。，交于点。,连接AC,DQ,PQ.若g=伤+3,求证言文的值为定值；

⑶如图2,点P在第二象限，g=—2g,若点河在直线PQ上，且横坐标为X1-l,过点河作AWLc轴

于点N,求线段AW长度的最大值.

27.（2024.广东.中考真题）【问题背景】

如图1,在平面直角坐标系中，点是直线夕=姐（0>0）上第一象限内的两个动点（。。>。口），以线

段BD为对角线作矩形ABCD,4D〃c轴.反比例函数夕="的图象经过点A.

X

【构建联系】

（1）求证：函数V="的图象必经过点C.

X

（2）如图2,把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E落在沙轴上，且点B的坐标为（1,2）

时，求k的值.

【深入探究】

（3）如图3,把矩形ABCD沿折叠，点C的对应点为E.当点E,4重合时,连接AC交8。于点P.

以点。为圆心，AC长为半径作©O.若OP=3嚣，当。。与4ABC的边有交点时，求R的取值范围.

交于点。.点。是抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,连接AC,OC,直线AC交抛物线的对称轴于点M,若点P是直线AC上方抛物线上一点，且

S"MC=2SADW求点P的坐标：

(3)若点N是抛物线对称轴上位于点。上方的一动点,是否存在以点N,A,C为顶点的三角形是等腰三

角形,若存在,请直接写出满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由.

29.(2024•内蒙古呼伦贝尔•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a/+be+c(a¥O)的图像

经过原点和点人(4,0).经过点4的直线与该二次函数图象交于点8(1,3),与9轴交于点C.

(1)求二次函数的解析式及点。的坐标；

(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线上方时,过点P作PE，①轴于点E,与直线

交于点。，设点尸的横坐标为m.

①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；

②是否存在点P,使得^BPD与△AOC相似.若存在,请求出点P坐标；若不存在，请说明理由.

30.(2024•四川广安・中考真题)如图，抛物线y=—率？+尻+c与比轴交于/,8两点，与4轴交于点。，点

O

A坐标为(-1,0),点B坐标为(3,0).

（1）求此抛物线的函数解析式.

（2）点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作7轴的垂线交直线于点。，过点P作y轴的垂

线，垂足为点E，请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标;若没有

最大值，请说明理由.

（3）点M为该抛物线上的点，当=45°时,请直接写出所有满足条件的点双的坐标.

31.（2024.山东烟台.中考真题）如图，抛物线m=姐2+E+c与立轴交于人，口两点，与夕轴交于点C,OC

=OA,AB=4,对称轴为直线h-.x=—1,将抛物线为绕点O旋转180°后得到新抛物线纺，抛物线纺与"

轴交于点。，顶点为E,对称轴为直线b

（1）分别求抛物线仇和统的表达式；

⑵如图1,点尸的坐标为（—6,0）,动点河在直线h上，过点M作MN//x轴与直线为交于点N,连接

FM,DN.求IW+MN+ON的最小值；

（3）如图2,点H的坐标为（0,-2），动点P在抛物线统上，试探究是否存在点P，使NPEH=24DHE?

若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

32.（2024・甘肃・中考真题）如图1,抛物线y=a（＞—%y+A；交c轴于O,4（4,0）两点，顶点为6（2,23）.点

。为08的中点.

___________F

（1）求抛物线y=a（a;—h）2+k的表达式；

（2）过点。作CH，OA,垂足为H,交抛物线于点E.求线段CE的长.

（3）点D为线段OA上一动点（。点除外）,在。。右侧作平行四边形OCFD.

①如图2,当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；

②如图3,连接BD,BF,求BD+BF的最小值.

33.（2024・重庆・中考真题）在RtZVLBC中，AACB=90°,=过点B作〃人C.

⑴如图1,若点。在点8的左侧，连接CD,过点A作AELCD交于点E.若点E是的中点，求

证：AC=2BD；

⑵如图2,若点。在点B的右侧，连接AO,点斤是的中点，连接并延长交47于点G,连接CR.

过点F作出，BG交4B于点河，CN平分/ACB交BG于点N,求证：AM=CN+^BD；

（3）若点。在点B的右侧，连接AD,点尸是40的中点，且A尸=AC.点P是直线47上一动点,连接

FP,将尸P绕点厂逆时针旋转60°得到尸Q,连接8Q,点R是直线上一动点，连接BR,QR.在点P

的运动过程中，当BQ取得最小值时,在平面内将ABQR沿直线QR翻折得到△TQR,连接FT.在点

R的运动过程中，直接写出察的最大值.

动点综合问题（33题）

一、

1.（2024•甘肃临夏・中考真题）如图1,矩形ARCO中，口。为其对角线，一动点尸从。出发，沿着。

的路径行进，过点P作尸Q，CD,垂足为Q.设点P的运动路程为加尸Q—OQ为"，“与t的函数图

A4V2口87V311

A.丁B.-rC.丁Dn.—

【答案】B

【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键.

根据函数的图象与坐标的关系确定CD的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解.

【详解】解：由图象得：CD=2,当BD+BP=4时，PQ=CD=2,此时点P在BC边上，

设此时BP=a,则BD=4—a,AD=BC=2+a,

在RtNBCD中，RD?—BC2=B,

即：（4—a）2—（a+2）2=22,

解得:a=W，

o

:.AD=a+2=,

o

故选：B.

2.（2024•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）如图,在等腰Rt/\ABC中，/R4C=90°,4B=12,动点E,F同时从

点A出发,分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点尸也随

之停止运动，连接即，以所为边向下做正方形即GH,设点E运动的路程为力（0<*<12）,正方形

EFGH和等腰AtZWLBC重合部分的面积为下列图像能反映“与力之间函数关系的是（）

【答案】A

【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确g与力分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的

关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当与重合时，及当力44时图象的走势，和

当力>4时图象的走势即可得到答案.

【详解】解:当HG与重合时，设在石=力，由题可得：

EF—EH—V2x,BE—12—x,

在Rt^EHB中，由勾股定理可得：BE2=BH2+EH2,

・•・（方方）2+（嚣力）2=（12—力y,

/.x=4,

当0V/&4时，g=（V2T）2=2x2,

V2>O,

图象为开口向上的抛物线的一部分，

当HG在下方时，设4£=/，由题可得：

/.EF=V2x,BE=12—rc,

・・•ZAEF=ZB=45°,ZA=AEOB=90°,

・・・/\FAE-/\EOB,

.AE=EO

••国一丽’

・xEO

V2x12—6'

12—T

:・EO="广,

v2

当4VcV12时，g=（V2x）♦x—（12—6）3?=—/+126,

v2

*/—1V0,

图象为开口向下的抛物线的一部分，

综上所述：A正确,

故选：4

3.（2024.四川泸州.中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E,尸分别是边上的动点,

且满足=B斤，AF与。E交于点O,点加•是。F的中点，G是边上的点，AG=2G8,则OM+

_____________眇

J尸G的最小值是（）

C.8D.10

【答案】B

【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明

AADE空^BAF（SAS）得到AADE=ABAE,进而得到ZDOF=90°,则由直角三角形的性质可得OM=

如图所示，在AB延长线上截取BH=BG,连接易证明4FBG空/XFBH（SAS）,则FH=FG,可

得当三点共线时，DF+HF有最小值，即此时（W+^FG有最小值，最小值即为0H的长的一半，

求出AH=8,在RtAADH中，由勾股定理得DH=y/AD2+AH2=10,责任O2W+:FG的最小值为5.

【详解】解：•.•四边形ABGD是正方形，

AD=AB,NDAB=AABC=90°,

又AE=BF,

：.AADEn△BAF(SAS),

・•・/ADE=/BAF,

：./.DOF=AADO+/DAO=ABAF+/.DAO=/.DAB=90°,

・・•点河是。F的中点，

；.OM=，DF;

如图所示，在AB延长线上截取BH=BG,连接FH,

•：NFBG=NFBH=90°,FB=FB,BG=BH,

：.^FBG笃AFBH(SAS),

：.FH=FG,

：.OM+-j-FG=^DF+三HF=g(DF+HF),

.•.当H、。、F三点共线时，OF+HF有最小值，即此时OM+yFG有最小值，最小值即为的长的一半,

•・・AG=2GB,AB=6,

:,BH=BG=2,

AH—8,

在Rt/\ADH中，由勾股定理得DH=y/Alf+AH2=10,

.•.OM+/FG的最小值为5,

故选：B.

4.（2024.甘肃.中考真题）如图1,动点P从菱形的点人出发，沿边AB-BC匀速运动，运动到点。

时停止.设点P的运动路程为力，PO的长为y,y与①的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点

时，PO的长为（）

图1图2

A.2D.2V2

【答案】C

【分析】结合图象，得到当2=0时，PO=49=4,当点P运动到点B时，PO=BO=2,根据菱形的性质，得

AAOB=ABOC=90°,继而得到AB=BC=y/O^+OB*2=2函，当点P运动到BC中点时，PO的长为

解得即可.

本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理,直角三

角形的性质是解题的关键.

【详解】结合图象,得到当土=0时，PO=AO=4,

当点P运动到点B时，PO=BO=2,

根据菱形的性质，得AAOB=ABOC=90°,

故AB=BC=y/O^+OB2=2V5,

当点P运动到BC中点时，PO的长为yBC=V5,

故选C.

5.（2024.湖南长沙.中考真题）如图，在菱形4BCD中，AB=6,NB=30°,点E是8c边上的动点，连接

AE,DE,过点［作人斤，于点P.设DE=x,A尸=9,则夕与土之间的函数解析式为（不考虑自变

量c的取值范围）（）

【答案】。

【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的

性质求解x、y的关系式是解答的关键.过D作DH_LBC,交BC延长线于H,则/DHE=90°,根据菱形的

性质和平行线的性质得到CD=AD==6,ZADF=ADEH,ZDCH==30°,进而利用含30度角的

直角三角形的性质DH=±CD=3,证明AAFD〜4DHE彳导到*=聋■，然后代值整理即可求解.

2L）HDE/

【详解】解:如图，过。作DH_LBC,交BC延长线于H,则乙DHE=90°,4/

•.•在菱形ABGD中，48=6,乙8=30°,

:.AB"CD,AD〃BC,CD=AD=AB=6,

：.NADF=NDEH,4DCH=ZB=30°,

在RtACDH中，DH=]CD=3,

・.・AF±DE,

：.AAFD=/.DUE=90°,又AADF=ADEH,

・・・/\AFD〜/\DHE,

.AF=AD

••成一市’

DE=x,AF=y,

.y_-6_

.•3%'

，

,,yx

故选：c.

二、填空题

6.(2024.江苏扬州・中考真题)如图，已知两条平行线。、为，点4是人上的定点，，，2于点B，点。分

别是"、。上的动点，且满足人。=连接CD交线段于点E,BH，CD于点则当NBAH最大

时，sin/R4H的值为.

[分析】证明AACE空"DE(ASA)，得出BE=AE=^AB,根据BH_LCD,得出2BHE=90°,说明点H在

以BE为直径的圆上运动，取线段BE的中点。，以点O为圆心，OB为半径画圆,则点H在0O上运动，说明

当与OO相切时■最大，得出OH_L根据AO=AE+OE=3OE,利用=

黑=:，即可求出结果.

oCyzJ/0

【详解】解：•.•两条平行线4、[2,点I是牛上的定点，4BJ_于点B,

.•.点8为定点，的长度为定值，

；Zi///2,

A4ACE=4BDE,4CAE=4DBE,

•/AC=BD,

：.&ACEZ^BDE(ASA),

；.BE=AE=[AB,

•：BH±CD,

：.ABHE=90°,

:.点、H在以BE为直径的圆上运动,

如图，取线段BE的中点O,以点。为圆心，OB为半径画圆,

则点H在QO上运动，

当与OO相切时最大，

：.OH±AH,

•；AE=OB=2OE,

：.AO^AE+OE^3OE,

•：OH=OE,

..OHOE1

•・ssg”谈二

故答案为：!.

o

【点睛】本题主要考查了圆周南定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三角形等

知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹.

7.（2024.四川广安•中考真题）如图，在DABCD中，48=4,AD=5,4ABe=30°,点河为直线BC上一

动点，则M4+MD的最小值为

【答案】@

【分析】如图，作A关于直线的对称点4,连接4。交于AT,则AH=A'H,AH±BC,AM'A'M',

当M,M'重合时，AM+Aff）最小，最小值为再进一步结合勾股定理求解即可.

【详解】解:如图，作力关于直线BC的对称点4,连接4。交BC于AT,则4H■=Aff_LBC,入河，=

A'M',

：.当初,AT重合时，AM+7WD最小，最小值为40,

•/AB=4,AABC=30°,在QABCD中，

AH=^AB=2,ADHBC,

AA'=2AH=4,AA'±AD,

AD=5,

A'

=/邛+52=何,

故答案为：何

【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知

识点是解题的关键.

8.（2024.四川凉山.中考真题）如图，。及■的圆心为双（4,0）,半径为2,P是直线g=刀+4上的一个动点,

过点P作。河的切线,切点为Q,则PQ的最小值为

【分析】记直线?/=劣+4与2，9轴分别交于点A,K,连接QM,PM,KM;由直线解析式可求得点4K的坐

标，从而得△OAK,△OKM均是等腰直痢三角形，由相切及勾股定理得：PQ=^PM2-QM2,由QM=2,则

当最小时，PQ最小，点P与点K重合，此时■最小值为KM,由勾股定理求得的最小值，从而求得

结果.

【详解】解：记直线夕=,+4与c,夕轴分别交于点A,K,连接QM,PM,KM,

当必=0,夕=4,当夕=0,即2+4=0,

解得：x=—4,

即K(O,4),A(—4,0);

而M(4,0),

：.OA=OK=OM=^,

：./\OAK,△OKM均是等腰直角三角形，

AAKO=AMKO=45°,

AAKM=90°,

•：QP与。M相切，

ZPQM=90°,

APQ=y/PM2-QM'2,

•：QM=2,

当PQ最小时即PM最小，

当PA/_LAK时，取得最小值，

即点P与点K重合,此时P7W最小值为KM,

在Rt/\OKM中，由勾股定理得：KM=y/OM2+OK2=472

/.PQ=732^4=2V7,

/.PQ最小值为26.

【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加辅助线

是解题的关键.

9.(2024.黑龙江绥化.中考真题)如图，已知AAOB=50°,点P为AAOB内部一点,点河为射线OA、点、N

为射线上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则NMPN=

【答案】80°/80度

【分析】本题考查了轴对称一最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于。4,

OB的对称点打,三.连接OP、,OP?.则当初，N是月£与。力，OB的交点时，^PMN的周长最短,根据对

称的性质结合等腰三角形的性质即可求解.

【详解】解:作P关于。4,OB的对称点吕，连接。月，OP2.则当是舄g与。4,03的交点时，

△PMN的周长最短,连接PiP、P?P,

•••P、舄关于04对称，

NPQP=2ZMOF,OPr=OP,PXM=PM,AOPVM=NOPM,

同理，/P20P=2ZNOP,OP=OP2,ZOP2N=AOPN,

/.乙P\OP?=4PQP+NROP=2(ZMOP+ZNOP)=2ZAOB=100°,OP、=OPLOP,

：.△ROg是等腰三角形.

A4ORN=/ORW=40°,

AZMPN=ZMPO+ANPO=AOP2N+4OP、M=80°

故答案为：80°.

10.(2024.四川成者B•中考真题)如图，在平面直角坐标系rcOy中，已知4(3,0),8(0,2),过点口作"轴的垂线

I,P为直线I上一动点,连接PO,E4,则PO+_R4的最小值为.

【答案】5

【分析】本题考查轴对称一最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质.先取点A关于直线/的对称点A,,

连A'O交直线，于点。，连AC,得到AC=A'C,A'A±Z,再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到

当O,P,4三点共线时，PO+_R4的最小值为40,再利用勾股定理求40即可.

【详解】解:取点A关于直线Z的对称点A',连A'O交直线Z于点。，连AC,

则可知AC=4。，ArA±l,

PO+PA^PO+PA'>AO,

即当O,P,4三点共线时，PO+24的最小值为4。,

1/直线I垂直于g轴，

/.AA_L7轴，

・・・4(3,0),石(0,2),

f

・•.AO=3,AA=4f

・・・在凡△449中，

A'O=y/O^+AA'2=V32+42=5,

故答案为：5

11.(2024・四川内江•中考真题)如图，在△48。中，N4BC=60°,BC=8,E是BC边上一点、，且BE=2,点、

/是△A8C的内心，BI的延长线交/C于点D,P是BD上一动点,连接PE、PC,则PE+PC的最小值

为.

_______W

【答案】

【分析】在AB取点F,使BF=BE=2,连接PF,CF,过点F作FH_LBC于H,利用三角形内心的定义可得

出/4BD=/CBD,利用SAS证明△BFP空△BEP,得出PF=PE,则PE+PC=PF+PSCF,当C、

P、F三点共线时，PE+PC最小，最小值为CF,利用含30°的直角三角形的性质求出9,利用勾股定理求

出FH,CF即可.

【详解】解:在48取点F,使BF=BE=21,连接PF,CF,过点F作FH_LBC于H,

是△ABC的内心，

:.BI平分NABC,

ZABD=ZCBD,

叉BP=BP,

：.△BFP空ABEP(SAS),

：.PF=PE,

：.PE+PC=PF+POCF,

当。、。、干三点共线时，。石+。。最小，最小值为CF,

•：FH±BC,AABC=60°,

ZBFH=30°,

:.BH=[BF=I,

：.FH=^BF2-BH'2=V3,CH=BC—BH=7,

：.CF=^CH2+FH2=2V13,

.•.PE+PC的最小值为

故答案为：2，瓶.

【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理等知识，

明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含30°的直角三角形是解题的关键.

12.(2024.山东烟台.中考真题)如图，在OABCD中，ZC=120°,AB=8,BC=W.E为边CD的中点，F

为边4D上的一动点，将4DEF沿EF翻折得AD'EF,连接AD,,,则AABD'面积的最小值为

【答案】20V3-16/-16+20V3

【分析】根据平行四边形的性质得到CD=AB=8,AB〃CD,AABC=60°,由折叠性质得到ED=DE=4,

进而得到点。在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作EM_LAB交4B延长线于“，交圆E于

。，此时。到边AB的距离最短，最小值为。M■的长，即此时△ABZ7面积的最小，过。作C7V_LAB于N,根

据平行线间的距离处处相等得到雨=C7V,故只需利用锐角三角函数求得CN=5冲即可求解.

【详解】解：在UABCD中,4BCD=120°,AB=8,

:.CD=AB=8,AB//CD,AABC^180°-ABCD=60°,

:E为边CD的中点、,

：.DE=CE=~CD=4：,

•：△DEF沿EF翻折得4DEF,

:.ED=DE=4,

点。在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作EM_LAB交AB延长线于河，交圆£于/7，此时

。到边的距离最短，最小值为D'M的长，即△ABD面积的最小，

过。作CN_LAB于N,

•：AB//CD,

:.EM=CN,

在Rt^BCN中，10,"JBN=60°,

CN—BC-sin60°=10x—=5A/3,

D'M=ME-ED'=5V3-4,

△ABZ7面积的最小值为/x8x（5遮-4）=20同一16,

故答案为：20A/3—16.

【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数等知

识，综合性强的填空压轴题，得到点D'的运动路线是解答的关键.

13.（2024.四川宜宾.中考真题）如图，正方形ABCD的边长为1,河、N是边BC、CD上的动点.若AMAN

=45°,则的最小值为.

【答案】-2+2V2/2V2-2

【分析】将AADN顺时针旋转90°得到△ABP,再证明笃△AMN(SAS),从而得到MN=MP=BM+

BP=BM+DN,再设设CN=a,CM=b，得到MN=2—a—b,利用勾股定理得到C7V2+CM2=MN2,即a2

+/=(2—a—6)2,整理得到(2—a)(2—b)=2,从而利用完全平方公式得到MN=2-a-b>-2+

2J(2—a)(2—b),从而得解.

【详解】解：•.•正方形ABCD的边长为1,

:.AD=AB=BC=CD=1,ABAD=NABC=4c=ZD=90°,

将AADN顺时针旋转90°得到/XABP,则AADN空/\ABP,

：.4DAN=/BAP,ND=ZABP=90°,AN=AP,DN=BP,

:.,&P、B、M、。共线,

：/M4N=45°,

/./MAP=ZMAB+BAP=ZMAB+DAN=90°—4MAN=45°=AMAN,

________________________________F

•/AP=AN,AMAP=AMAN,AM=AM,

：.AMAP名AN(SAS'),

:.MP=MN,

：.MN=MP=BM+BP=BM+DN,

设CN=a,CM=b，则DN=l—a,BM=l—b,

:.MN=BM+DN=2—a—b,

•••/C=90°,

:.CN?+CM?=MN?,即a?+I)?=(2-a-b)2,

整理得：(2—a)(2—b)=2,

MN—2—CL—b

——2+(2—CL)+(2—b)

——2+(V2—a)2+(J2—I)?

=—2+(V2—(z)2—2,2—a,V2—b+(V2—b)2+2,2—a・A/2—b

=-2+(V2—CL-V2—6)2+2J(2—a)(2—b)

>_2+2J(2—Q)(2—b)

——2+2y/2,

当且仅当^二F,即2—0=2—6=2，也即Q=b=2—2时，7VW取最小值-2+2村,

故答案为：-2+2，^.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的运算，完全平方公式等知识,

证明和得到（2—a）（2—b）=2是解题的关键.

14.（2024・四川宜宾・中考真题）如图,在平行四边形ABCD中，A8=2,=4,石、F分别是边CD、AD上

的动点，且CE=。尸.当AE+CF的值最小时，则CE=.

【答案】善