2025年高考数学复习热搜题速递之相等关系与不等关系（2024年7月）

第1页（共1页）2025年高考数学复习热搜题速递之相等关系与不等关系（2024年7月）一．选择题（共10小题）1．若实数a，b满足1a+2A．2 B．2 C．22 D．42．若直线xa+yb=1（a＞0，b＞0）过点（1，1A．2 B．3 C．4 D．53．若正数x，y满足x+3y＝5xy，则3x+4y的最小值是（）A．245 B．285 C．5 D4．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则1xA．2 B．22 C．4 D．235．若log4（3a+4b）＝log2ab，则a+b的最小值是（）A．6+23 B．7+23 C．6+43 D．7+436．若正数a，b满足1a+1A．1 B．6 C．9 D．167．已知a＞0，b＞0，a+b＝2，则y=A．72 B．4 C．92 D8．“x＞1”是“log12（x+2A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件9．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0．则当xyz取得最大值时，2A．0 B．1 C．94 D．10．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．1x-1y＞0 B．sinx﹣C．（12）x﹣（12）y＜0 D．lnx+lny二．填空题（共5小题）11．设x＞0，y＞0，x+2y＝5，则(x+1)(2y+1)xy12．若直线xa+yb=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b13．已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则12a+12b14．若a，b∈R，ab＞0，则a4+4b4+115．已知a，b∈R，且a﹣3b+6＝0，则2a+18b的最小值为三．解答题（共5小题）16．若x，y，z为实数，且x+2y+2z＝6，求x2+y2+z2的最小值．17．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求at+1218．已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy＝0，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值．19．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：y=920υυ（1）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？20．已知a＞1，b＞1，求b2

2025年高考数学复习热搜题速递之相等关系与不等关系（2024年7月）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．若实数a，b满足1a+2A．2 B．2 C．22 D．4【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【答案】C【分析】由1a+2b=ab，可判断a＞0，b＞【解答】解：∵1a∴a＞0，b＞0，∵1a+2b≥22∴ab≥2解可得，ab≥22，即ab的最小值为2故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题2．若直线xa+yb=1（a＞0，b＞0）过点（1，1A．2 B．3 C．4 D．5【考点】基本不等式及其应用．【专题】不等式．【答案】C【分析】将（1，1）代入直线得：1a+1b=1，从而a+b＝（1【解答】解：∵直线xa+yb=1（a＞0，b＞0∴1a+1b=1（a＞0所以a+b＝（1a+1b）（a+b）＝2+当且仅当ba=ab即a＝∴a+b最小值是4，故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质，求出1a+1b=1，得到a+b＝（13．若正数x，y满足x+3y＝5xy，则3x+4y的最小值是（）A．245 B．285 C．5 D【考点】基本不等式及其应用．【专题】不等式的解法及应用．【答案】C【分析】将x+3y＝5xy转化成35x+15y=1，然后根据3x+4y＝（35x+1【解答】解：∵正数x，y满足x+3y＝5xy，∴35∴3x+4y＝（35x+15y）（3x+4当且仅当12y∴3x+4y≥5，即3x+4y的最小值是5．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用，解答本题的关键是由已知变形，然后进行“1”的代换，属于基础题．4．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则1xA．2 B．22 C．4 D．23【考点】基本不等式及其应用．【专题】不等式的解法及应用．【答案】C【分析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵lg2x+lg8y＝lg2，∴lg（2x•8y）＝lg2，∴2x+3y＝2，∴x+3y＝1．∵x＞0，y＞0，∴1x+13y=(x+3y故选：C．【点评】熟练掌握对数的运算法则和基本不等式的性质是解题的关键．5．若log4（3a+4b）＝log2ab，则a+b的最小值是（）A．6+23 B．7+23 C．6+43 D．7+43【考点】基本不等式及其应用；对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【答案】D【分析】利用对数的运算法则可得b=3aa-4【解答】解：∵3a+4b＞0，ab＞0，∴a＞0．b＞0∵log4（3a+4b）＝log2ab，∴log4（3a+4b）＝log4（ab）∴3a+4b＝ab，a≠4，a＞0．b＞0∴b=3∴a＞4，则a+b＝a+3aa-4=a+3(a-4)+12a-4=a+3+12a-4=故选：D．【点评】本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题．6．若正数a，b满足1a+1A．1 B．6 C．9 D．16【考点】基本不等式及其应用．【专题】不等式的解法及应用．【答案】B【分析】正数a，b满足1a+1b=1，可得a＞1，且b＞1；即a﹣1＞0，且b﹣1＞0；由1a+1b=1变形为a﹣1=【解答】解：∵正数a，b满足1a+1b=1，∴a＞11a+1b=1变形为a+bab=1，∴ab＝a+b，∴ab﹣a﹣b＝0，∴（a﹣1）（b﹣∴a﹣1＞0，∴1a-1+9b-1=1当且仅当1a-1=9（a﹣1），即a＝1±13时取“＝”（由于a＞∴1a-1故选：B．【点评】本题考查了基本不等式的灵活应用问题，应用基本不等式a+b≥2ab时，要注意条件a＞0，且b＞0，在a＝b时取“＝”．7．已知a＞0，b＞0，a+b＝2，则y=A．72 B．4 C．92 D【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题．【答案】C【分析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成（a+b2）（1【解答】解：∵a+b＝2，∴a+∴y=1a+4b=（a+b2）（1故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．8．“x＞1”是“log12（x+2A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】指、对数不等式的解法；充分条件与必要条件．【专题】简易逻辑．【答案】B【分析】解“log12（x+2）＜0”，求出其充要条件，再和x【解答】解：由“log12（x+2得：x+2＞1，解得：x＞﹣1，故“x＞1”是“log12（x+2故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．9．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0．则当xyz取得最大值时，2A．0 B．1 C．94 D．【考点】基本不等式及其应用；函数的最值．【专题】不等式的解法及应用．【答案】B【分析】依题意，当xyz取得最大值时x＝2y，代入所求关系式f（y）=【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z＝0，∴z＝x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，∴xyz=xyx2-3∴(xyz)max=1，此时，∴z＝x2﹣3xy+4y2＝（2y）2﹣3×2y×y+4y2＝2y2，∴2x+1y-2z=∴2x+1故选：B．【点评】本题考查基本不等式，由xyz取得最大值时得到x＝2y10．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．1x-1y＞0 B．sinx﹣C．（12）x﹣（12）y＜0 D．lnx+lny【考点】不等关系与不等式．【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式．【答案】C【分析】x，y∈R，且x＞y＞0，可得：1x＜1y，sinx与siny的大小关系不确定，(12)【解答】解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，则1x＜1y，sinx与siny的大小关系不确定，(12)x＜(故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二．填空题（共5小题）11．设x＞0，y＞0，x+2y＝5，则(x+1)(2y+1)xy的最小值为【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；定义法；不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】利用基本不等式求最值．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝5，∴2xy≤（x+2y2）2=254，当且仅当∴xy≤25则(x+1)(2y由基本不等式有：2xy+6xy≥2当且仅当2xy=即：xy＝3，x+2y＝5时，即：x=3y=1故(x+1)(2y+1)故答案为：43【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．12．若直线xa+yb=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b【考点】基本不等式及其应用．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】将（1，2）代入直线方程，求得1a+2b=1，利用“1”代换，根据基本不等式的性质，即可求得【解答】解：直线xa+yb=1（a＞0，b＞0）过点（1，由2a+b＝（2a+b）×（1a+2b）＝2+4ab+ba当且仅当4ab=ba，即a＝2∴2a+b的最小值为8，故答案为：8．【点评】本题考查基本不等式的应用，考查“1”代换，考查计算能力，属于基础题．13．已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则12a+12b【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；对应思想；转化法；不等式；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】由12【解答】解：a＞0，b＞0，且ab＝1，则12a+1当且仅当a+b2=8a+b，即a＝2+3，b＝2-3或a故答案为：4【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．14．若a，b∈R，ab＞0，则a4+4b4+1【考点】基本不等式及其应用．【专题】方程思想；转化法；不等式．【答案】见试题解答内容【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．【方法二】将1ab拆成1【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，∴a=4＝4ab+1ab≥2当且仅当a4即a2即a=142，b=148或∴上式的最小值为4．【解法二】a，b∈R，ab＞0，∴a4+4b4当且仅当a4即a2即a=142，b=148或∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．15．已知a，b∈R，且a﹣3b+6＝0，则2a+18b的最小值为【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；函数思想；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【答案】见试题解答内容【分析】化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可．【解答】解：a，b∈R，且a﹣3b+6＝0，可得：3b＝a+6，则2a+18b当且仅当2a=12a+6．即函数的最小值为：14故答案为：14【点评】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，也可以利用换元法，求解函数的最值．考查计算能力．三．解答题（共5小题）16．若x，y，z为实数，且x+2y+2z＝6，求x2+y2+z2的最小值．【考点】基本不等式及其应用．【专题】转化思想；推理和证明；不等式．【答案】见试题解答内容【分析】根据柯西不等式进行证明即可．【解答】解：由柯西不等式得（x2+y2+z2）（12+22+22）≥（x+2y+2z）2，∵x+2y+2z＝6，∴x2+y2+z2≥4是当且仅当x1=y2=z2时，不等式取等号，此时x=∴x2+y2+z2的最小值为4【点评】本题主要考查不等式的证明，利用柯西不等式是解决本题的关键．，17．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求at+12【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；（Ⅱ）原式=-【解答】解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}，∴-b-a（Ⅱ）由（Ⅰ）可得at=3＝24-t当且仅当4-t3=t1∴所求最大值为4【点评】本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题．18．已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy＝0，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值．【考点】基本不等式及其应用．【专题】不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得出；（2）由2x+8y＝xy，变形得2y+8x【解答】解：（1）∵x＞0，y＞0，2x+8y﹣xy＝0，∴xy＝2x+8y≥216xy∴xy≥8，∴xy≥64．当且仅当x＝4y＝16故xy的最小值为64．（2）由2x+8y＝xy，得：2y+又x＞0，y＞0，∴x+y＝（x+y）•(2y+8x)=10+2xy+8故x+y的最小值为18．【点评】熟练掌握“乘1法”和变形利用基本不等式是解题的关键．19．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：y=920υυ（1）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【考点】基本不等式及其应用．【专题】应用题；不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据基本不等式性质可知y=920υυ（2）在该时间段内车流量超过10千辆/小时时，解不等式即可求出v的范围．【解答】解：（1）依题意，y=920当且仅当v=1600v，即v＝∴ymax=92083（千辆当v＝40km/h时，车流量最大，最大车流量约为92083千辆/（2）由条件得920υυ整理得v2﹣89v+1600＜0，即（v﹣25）（v﹣64）＜0，解得25＜v＜64，所以，如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25km/h且小于64km/h．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．要特别留意等号取得的条件．20．已知a＞1，b＞1，求b2【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式．【答案】见试题解答内容【分析】根据a＞1，b＞1即可得出b2a-【解答】解：∵a＞1，b＞1，∴a﹣1＞0，b﹣1＞0，∴b2a-两式相加：b2∴b2当且仅当b2即a＝b＝2时，b2a-【点评】考查基本不等式a+

考点卡片1．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．不等关系与不等式【知识点的认识】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如42与84就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞不等式定理①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命题方向】例1：解不等式：sinx≥1解：∵sinx≥1∴2kπ+π6≤x≤2kπ+5π∴不等式sinx≥12的解集为{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：当ab＞0时，a＞b⇔1a证明：由ab＞0，知1ab＞又∵a＞b，∴a⋅1ab＞b⋅若1a＜∴a＞b．这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．3．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则2ab+b2a≥2．B：x2+2解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？当0＜x解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y=用基本不等式若x＞0时，0＜y≤2若x＜0时，-24≤y综上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、