2025年高考数学复习热搜题速递之函数应用（2024年7月）

第1页（共1页）2025年高考数学复习热搜题速递之函数应用（2024年7月）一．选择题（共10小题）1．已知函数f（x）＝x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a＝（）A．-12 B．13 C．122．函数f（x）＝|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．已知函数f（x）=ex，x≤0lnx，x＞0，g（x）＝f（x）+x+A．[﹣1，0） B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞）4．已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），若函数y=x+1x与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则i=1m（A．0 B．m C．2m D．4m5．已知函数f（x）=2-|x|，x≤2(x-2)2，x＞2，函数g（x）＝b﹣f（2﹣x），其中b∈A．（74，+∞） B．（﹣∞，74） C．（0，74） D．（76．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥-89，则A．（﹣∞，94] B．（﹣∞，73] C．（﹣∞，52] D7．已知f（x）=12x+1，x≤0-(A．[﹣4，2） B．[﹣4，2] C．（0，2] D．（﹣4，2]8．设函数f（x）=2-x，x≤01，x＞0，则满足fA．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，0）9．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（2﹣x），若函数y＝|x2﹣2x﹣3|与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则i=1mA．0 B．m C．2m D．4m10．已知函数f（x）=2-|x|，x≤2(x-2)2，x＞2，函数g（x）＝3﹣A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知函数f（x）=|x|，x≤mx2-2mx+4m，x＞m，其中m＞12．已知函数f（x）＝|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是．13．函数f（x）＝cos（3x+π6）在[0，π]的零点个数为14．设函数f（x）=2①若a＝1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．15．已知函数f（x）＝log2（x2+a），若f（3）＝1，则a＝．三．解答题（共5小题）16．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n＝19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？17．已知函数f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）在区间（﹣1，0），（0，+∞）各恰有一个零点，求a的取值范围．18．已知a≥3，函数F（x）＝min{2|x﹣1|，x2﹣2ax+4a﹣2}，其中min（p，q）=p（Ⅰ）求使得等式F（x）＝x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围；（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）；（ii）求F（x）在[0，6]上的最大值M（a）．19．已知a是实数，函数f（x）＝2ax2+2x﹣3﹣a，如果函数y＝f（x）在区间[﹣1，1]上有零点，求a的取值范围．20．设函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．（1）画出y＝f（x）的图象；（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．

2025年高考数学复习热搜题速递之函数应用（2024年7月）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知函数f（x）＝x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a＝（）A．-12 B．13 C．12【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【答案】C【分析】方法一：通过转化可知问题等价于函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（ex﹣1+1ex-1）的图象只有一个交点求a的值．分a＝0、a＜0、方法二：由已知令t＝x﹣1，则f（t）＝t2+a（et+e﹣t）﹣1为偶函数，图象关于t＝0对称，结合已知函数有唯一零点及偶函数图象关于y轴对称可求．【解答】解：因为f（x）＝x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）＝﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+1ex所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2＝a（ex﹣1+1等价于函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（ex﹣1+1ex①当a＝0时，f（x）＝x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；②当a＜0时，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y＝a（ex﹣1+1ex-1）在（﹣∞，1所以函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y＝a（ex﹣1+1ex-1）的图象的最高点为B（由于2a＜0＜1，此时函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（ex﹣1+1ex-1）的图象有0③当a＞0时，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y＝a（ex﹣1+1ex-1）在（﹣∞，1所以函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y＝a（ex﹣1+1ex-1）的图象的最低点为B（由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a＝1，即a=1综上所述，a=1方法二：f（x）＝x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）＝（x﹣1）2+a（ex﹣1+e﹣x+1）﹣1，令t＝x﹣1，则y＝t2+a（et+e﹣t）﹣1为偶函数，图象关于t＝0对称，若y＝0有唯一零点，则根据偶函数的性质可知当t＝0时，y＝﹣1+2a＝0，所以a=1故选：C．【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．2．函数f（x）＝|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【答案】C【分析】先求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数y1＝|x﹣2|，y2＝lnx（x＞0）的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数．【解答】解：由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞）；由函数零点的定义，f（x）在（0，+∞）内的零点即是方程|x﹣2|﹣lnx＝0的根．令y1＝|x﹣2|，y2＝lnx（x＞0），在一个坐标系中画出两个函数的图象：由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点．故选：C．【点评】本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系，通过转化和作图求出函数零点的个数．3．已知函数f（x）=ex，x≤0lnx，x＞0，g（x）＝f（x）+x+A．[﹣1，0） B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞）【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用．【答案】C【分析】由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a的图象如图：当直线y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键．4．已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），若函数y=x+1x与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则i=1m（A．0 B．m C．2m D．4m【考点】函数与方程的综合运用．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用．【答案】B【分析】由条件可得f（x）+f（﹣x）＝2，即有f（x）关于点（0，1）对称，又函数y=x+1x，即y＝1+1x的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），即为f（x）+f（﹣x）＝2，可得f（x）关于点（0，1）对称，函数y=x+1x，即y＝1+1x的图象即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点，（x2，y2）为交点，即有（﹣x2，2﹣y2）也为交点，…则有i=1m（xi+yi）＝（x1+y1）+（x2+y2）+…+（xm+=12[（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（xm+ym）+（﹣xm+2﹣ym＝m．故选：B．【点评】本题考查抽象函数的运用：求和，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．5．已知函数f（x）=2-|x|，x≤2(x-2)2，x＞2，函数g（x）＝b﹣f（2﹣x），其中b∈A．（74，+∞） B．（﹣∞，74） C．（0，74） D．（7【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】创新题型；函数的性质及应用．【答案】D【分析】求出函数y＝f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）＝f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵g（x）＝b﹣f（2﹣x），∴y＝f（x）﹣g（x）＝f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）＝0，得f（x）+f（2﹣x）＝b，设h（x）＝f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝2﹣x+2﹣|2﹣x|＝2﹣x+2﹣2+x＝2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|＝x2﹣5x+8．即h（x）=x作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）＝2+x+x2＝（x+12）2当x＞2时，h（x）＝x2﹣5x+8＝（x-52）2故当b=74时，h（x）＝当b＝2时，h（x）＝b，有无数个交点，由图象知要使函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）＝b恰有4个根，则满足74＜b＜故选：D．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．6．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥-89，则A．（﹣∞，94] B．（﹣∞，73] C．（﹣∞，52] D【考点】函数与方程的综合运用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【答案】B【分析】因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），分段求解析式，结合图象可得．【解答】解：因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[-14，∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[-12，∴x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]，当x∈（2，3]时，由4（x﹣2）（x﹣3）=-89解得x=7若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥-89，则m故选：B．【点评】本题考查了函数与方程的综合运用，属中档题．7．已知f（x）=12x+1，x≤0-(A．[﹣4，2） B．[﹣4，2] C．（0，2] D．（﹣4，2]【考点】分段函数的应用．【专题】计算题．【答案】B【分析】此是一分段函数型不等式，解此类不等式应在不同的区间上分类求解，最后再求它们的并集．【解答】解：∵f（x）≥﹣1，∴x≤0∴﹣4≤x≤0或0＜x≤2，即﹣4≤x≤2．应选B．【点评】本题考点是分段函数，是考查解分段函数型的不等式，此类题的求解应根据函数的特点分段求解，最后再求各段上符合条件的集合的并集．8．设函数f（x）=2-x，x≤01，x＞0，则满足fA．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，0）【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用．【答案】D【分析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可．【解答】解：函数f（x）=2-x满足f（x+1）＜f（2x），可得：2x＜0＜x+1或2x＜x+1≤0，解得x∈（﹣∞，0）．故选：D．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考查计算能力．9．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（2﹣x），若函数y＝|x2﹣2x﹣3|与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则i=1mA．0 B．m C．2m D．4m【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【答案】B【分析】根据已知中函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（2﹣x），分析函数的对称性，可得函数y＝|x2﹣2x﹣3|与y＝f（x）图象的交点关于直线x＝1对称，进而得到答案．【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（2﹣x），故函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线x＝1对称，故函数y＝|x2﹣2x﹣3|与y＝f（x）图象的交点也关于直线x＝1对称，不妨设x1＜x2＜…＜xm，则点（x1，y1）与点（xm，ym），点（x2，y2）与点（xm﹣1，ym﹣1），…都关于直线x＝1对称，所以x1+xm＝x2+xm﹣1＝…＝xm+x1＝2，由倒序相加法可得i=1mxi=12故选：B．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的对称性质，难度中档．10．已知函数f（x）=2-|x|，x≤2(x-2)2，x＞2，函数g（x）＝3﹣A．2 B．3 C．4 D．5【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【答案】A【分析】求出函数g（x）的表达式，利用y＝f（x）﹣g（x）＝0得到f（x）＝g（x），作出两个函数f（x）和g（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵g（x）＝3﹣f（2﹣x），∴若2﹣x≤2，则x≥0时，g（x）＝3﹣f（2﹣x）＝3﹣（2﹣|2﹣x|）＝1+|x﹣2|，若2﹣x＞2，则x＜0时，g（x）＝3﹣f（2﹣x）＝3﹣（2﹣x﹣2）2＝﹣x2+3，即g（x）=|由y＝f（x）﹣g（x）＝0得到f（x）＝g（x），作出两个函数f（x）和g（x）的图象如图：由图象知两个函数有两个不同的交点，故函数y＝f（x）﹣g（x）的零点个数为2个，故选：A．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．二．填空题（共5小题）11．已知函数f（x）=|x|，x≤mx2-2mx+4m，x＞m，其中m＞0，若存在实数【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【答案】见试题解答内容【分析】法1：作出函数f（x）=|x|，x≤mx2-2mx+4m，法2：函数y＝x2﹣2mx+4m（x＞m）是在（m，+∞）上的单调递增函数，依题意，可得（|x|）|x＝m＞（x2﹣2mx+4m）|x＝m，解得m＞3，可得答案．【解答】解法1：当m＞0时，函数f（x）=|x|∵x＞m时，f（x）＝x2﹣2mx+4m＝（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）＝b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），法2：注意到函数y＝x2﹣2mx+4m（x＞m）是在（m，+∞）上的单调递增函数，如上图，因此，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）＝b有三个不同的根，那么必然有（|x|）|x＝m＞（x2﹣2mx+4m）|x＝m，解得m＞3，因此m的取值范围是（3，+∞）；实际上，m＞0是多余的条件，因为当m≤0时，组成f（x）的两段函数均为单调函数，因此关于关于x的方程f（x）＝b最多只有2个解，不符合题意．故答案为：（3，+∞）．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m﹣m2＜m是难点，属于中档题．12．已知函数f（x）＝|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是0＜b＜2．【考点】函数的零点．【专题】计算题；函数的性质及应用．【答案】见试题解答内容【分析】由函数f（x）＝|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|＝b有两个零点，从而可得函数y＝|2x﹣2|函数y＝b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围【解答】解：由函数f（x）＝|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|＝b有两个零点，从而可得函数y＝|2x﹣2|函数y＝b的图象有两个交点，结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件，故答案为：0＜b＜2【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．13．函数f（x）＝cos（3x+π6）在[0，π]的零点个数为3【考点】函数的零点．【专题】计算题；对应思想；定义法；三角函数的图象与性质．【答案】见试题解答内容【分析】由题意可得f（x）＝cos（3x+π6）＝0，可得3x+π6=π2+kπ，k【解答】解：∵f（x）＝cos（3x+π6）＝∴3x+π6=π2+k∴x=π9+13kπ当k＝0时，x=π当k＝1时，x=49当k＝2时，x=79当k＝3时，x=109∵x∈[0，π]，∴x=π9，或x=49π，或故零点的个数为3，故答案为：3【点评】本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题，属于基础题．14．设函数f（x）=2①若a＝1，则f（x）的最小值为﹣1；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是[12，1)∪[2【考点】函数的零点；分段函数的应用．【专题】创新题型；函数的性质及应用．【答案】见试题解答内容【分析】①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；②分别设h（x）＝2x﹣a，g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．【解答】解：①当a＝1时，f（x）=2当x＜1时，f（x）＝2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）＝4（x﹣1）（x﹣2）＝4（x2﹣3x+2）＝4（x-32）2﹣当1＜x＜32时，函数单调递减，当x故当x=32时，f（x）min＝f（32综上所述函数f（x）的最小值为﹣1．②设h（x）＝2x﹣a，g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x＝1时，h（1）＝2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以12≤a＜若函数h（x）＝2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）＝2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1＝a，x2＝2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是[12，1)∪【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．15．已知函数f（x）＝log2（x2+a），若f（3）＝1，则a＝﹣7．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的值．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用函数的解析式，求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）＝log2（x2+a），若f（3）＝1，可得：log2（9+a）＝1，可得a＝﹣7．故答案为：﹣7．【点评】本题考查函数的解析式的应用，函数的零点与方程根的关系，是基本知识的考查．三．解答题（共5小题）16．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n＝19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【考点】分段函数的应用；频率分布直方图．【专题】计算题；函数的性质及应用；概率与统计．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）若n＝19，结合题意，可得y与x的分段函数解析式；（Ⅱ）由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，可得n的最小值；（Ⅲ）分别求出每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件时的平均费用，比较后，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）当n＝19时，y=（Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06，更换的易损零件数为17个频率为0.16，更换的易损零件数为18个频率为0.24，更换的易损零件数为19个频率为0.24又∵更换易损零件不大于n的频率为不小于0.5．则n≥19∴n的最小值为19件；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，所须费用平均数为：1100（70×19×200+4300×20+4800×10）＝4000假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件，所须费用平均数为1100（90×4000+10×4500）＝4050∵4000＜4050∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，频率分布条形图，方案选择，难度中档．17．已知函数f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）在区间（﹣1，0），（0，+∞）各恰有一个零点，求a的取值范围．【考点】函数的零点与方程根的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】分类讨论；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】（1）y＝2x；（2）（﹣∞，﹣1）．【分析】（1）将a＝1代入，对函数f（x）求导，求出f′（0）及f（0），由点斜式得答案；（2）对函数f（x）求导，分a≥0及a＜0讨论，当a≥0时容易判断不合题意，当a＜0时，设g（x）＝ex+a（1﹣x2），利用导数判断g（x）的性质，进而判断得到函数f（x）的单调性并结合零点存在性定理即可得解．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝ln（1+x）+xe﹣x，则f'∴f′（0）＝1+1＝2，又f（0）＝0，∴所求切线方程为y＝2x；（2）f'若a≥0，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，则f（x）＜f（0）＝0，不合题意；设g（x）＝ex+a（1﹣x2），g′（x）＝ex﹣2ax，当﹣1≤a＜0时，在（0，+∞）上，g（x）＞e0+a≥0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，无零点，不合题意；当a＜﹣1时，当x＞0时，g′（x）＞0，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（0）＝1+a＜0，g（1）＝e＞0，所以存在唯一的x0∈（0，1），使得g（x0）＝0，且f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，f（x0）＜f（0）＝0，先证当x＞0时，x2设h(x)=易知当0＜x＜2时，h′（x）＜0，h（x）单减，当x＞2时，h′（x）＞0，h（x）单增，所以h(x)≥h(2)=22所以x＞再证lnx≥设m(x)=易知当0＜x＜1时，m′（x）＜0，m（x）单减，当x＞1时，m′（x）＞0，m（x）单增，所以m（x）≥m（1）＝0，即lnx≥则由a＜﹣1，可得axe则当x＞1+a2时，f(x此时f（x）在（0，+∞）上恰有一个零点，当﹣1＜x＜0时，g′（x）在（﹣1，0）上单调递增，g'故存在唯一的x1∈（﹣1，0），使得g′（x1）＝0，且g（x）在（﹣1，x1）上单调递减，在（x1，0）上单调递增，g(故存在唯一的x2∈（﹣1，x1），使得g（x2）＝0，所以f（x）在（﹣1，x2）上单调递增，在（x2，0）上单调递减，x→﹣1时，f（x）→﹣∞，f（0）＝0，此时f（x）在（﹣1，0）上恰有一个零点，综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，零点问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于难题．18．已知a≥3，函数F（x）＝min{2|x﹣1|，x2﹣2ax+4a﹣2}，其中min（p，q）=p（Ⅰ）求使得等式F（x）＝x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围；（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）；（ii）求F（x）在[0，6]上的最大值M（a）．【考点】函数最值的应用；函数的最值．【专题】新定义；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）由a≥3，讨论x≤1时，x＞1，去掉绝对值，化简x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|，判断符号，即可得到F（x）＝x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围；（Ⅱ）（i）设f（x）＝2|x﹣1|，g（x）＝x2﹣2ax+4a﹣2，求得f（x）和g（x）的最小值，再由新定义，可得F（x）的最小值；（ii）分别对当0≤x≤2时，当2＜x≤6时，讨论F（x）的最大值，即可得到F（x）在[0，6]上的最大值M（a）．【解答】解：（Ⅰ）由F（x）＝x2﹣2ax+4a﹣2可知，x2﹣2ax+4a﹣2≤2|x﹣1|，由a≥3，故x≤1时，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|＝x2+2（a﹣1）（2﹣x）＞0；当x＞1时，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|＝x2﹣（2+2a）x+4a＝（x﹣2）（x﹣2a），则等式F（x）＝x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围是[2，2a]；（Ⅱ）（i）设f（x）＝2|x﹣1|，g（x）＝x2﹣2ax+4a﹣2，则f（x）min＝f（1）＝0，g（x）min＝g（a）＝﹣a2+4a﹣2．由﹣a2+4a﹣2＝0，解得a1＝2+2，a2＝2-2（小于由F（x）的定义可得m（a）＝min{f（1），g（a）}，即m（a）=0（ii）当0≤x≤2时，F（x）≤f（x）≤max{f（0），f（2）}＝2＝F（2）；当2＜x≤6时，F（x）≤g（x）≤max{g（2），g（6）}＝max{2，34﹣8a}＝max{F（2），F（6）}．则M（a）=34-8【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19．已知a是实数，函数f（x）＝2ax2+2x﹣3﹣a，如果函数y＝f（x）在区间[﹣1，1]上有零点，求a的取值范围．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；压轴题；分类讨论；转化思想．【答案】见试题解答内容【分析】y＝f（x）在区间[﹣1，1]上有零点转化为（2x2﹣1）a＝3﹣2x在[﹣1，1]上有解，把a用x表示出来，转化为求函数y=2x2-13-2x在[﹣1，1]上的值域，再用分离常数法求函数【解答】解：a＝0时，不符合题意，所以a≠0，又∴f（x）＝2ax2+2x﹣3﹣a＝0在[﹣1，1]上有解，⇔（2x2﹣1）a＝3﹣2x在[﹣1，1]上有解⇔在[﹣1，1]上有解，问题转化为求函数y=2x2-1设t＝3﹣2x，x∈[﹣1，1]，则2x＝3﹣t，t∈[1，5]，y=设g(t)=t+7t．g'(t)=t2t∈(7，5]时，g'（t）＞0∴y的取值范围是[7∴f（x）＝2ax2+2x﹣3﹣a＝0在[﹣1，1]上有解⇔1a∈[7-3，1]⇔故a≥1或a≤-3+【点评】本题是一道中档题，主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理，函数的零点的研究就可转化为相应方程根的问题，函数与方程的思想得到了很好的体现．20．设函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．（1）画出y＝f（x）的图象；（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．【考点】分段函数的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可．（2）将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可．【解答】解：（1）当x≤-12时，f（x）＝﹣（2x+1）﹣（x﹣1）＝﹣3当-12＜x＜1，f（x）＝（2x+1）﹣（x﹣1）＝当x≥1时，f（x）＝（2x+1）+（x﹣1）＝3x，则f（x）=-3x画出y＝f（x）的图象；（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，当x＝0时，f（0）＝2≤0•a+b，∴b≥2，当x＞0时，要使f（x）≤ax+b恒成立，则函数f（x）的图象都在直线y＝ax+b的下方或在直线上，∵f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2，且各部分直线的斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f（x）≤ax+b在[0，+∞）上成立，即a+b的最小值为5．【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用不等式和函数之间的关系利用数形结合是解决本题的关键．

考点卡片1．分段函数的解析式求法及其图象的作法【知识点的认识】分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题．【解题方法点拨】求解函数解析式的几种常用方法主要有1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2、换元法或配凑法，已知复合函数f[g（x）]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）；另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法．分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题．【命题方向】分段函数是今后高考的热点题型．常考题型为函数值的求解，不等式有关问题，函数的图形相联系的简单问题．2．函数的最值【知识点的认识】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．【解题方法点拨】①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+8x的最小值，有2x+8x②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．【命题方向】本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．3．函数的值函数的值4．函数的零点【知识点的认识】一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．【解题方法点拨】解法﹣﹣二分法①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度；②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）；④若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点；⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b）⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4）【命题方向】零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了．5．函数零点的判定定理【知识点的认识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．【解题方法点拨】函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；②函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．6．函数的零点与方程根的关系【知识点的认识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．【解题方法点拨】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．【命题方向】直接考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．7．函数与方程的综合运用函数与方程的综合运用8．函数最值的应用【知识点的认识】函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和最小值．在日常生活中我们常常会遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转化为求函数的最值问题．另外，最值可分为最大值和最小值．【解题方法点拨】这种题的关键是把现实的问题转化为数学上的问题，具体的说是转化为函数最值问题，这里面需要同学们要具有转化思维，具有一定的建模能力，在很多高考题中也常常以大题的形式出现，所以务必引起重视．这里我们以具体的例题来讲解．例：城关中学要建造一个长方形游泳池，其容积为4800立方米，深为3米，如果建造池底的单价是建造池壁单价的1.5倍，怎样设计水池才能使总造价最低？设池壁造价为每平方米m元，则最低造价为多少？解：设水池底面的长为x米，宽为4800÷3x米，总造价为y，则=2400m+6（x+1600x）m求导可得y令y'=6m(1-1600x