第2讲整式与因式分解2025年九年级中考数学人教版（内蒙古）一轮复习课件

第2讲整式与因式分解知识框架思维导学教材整合夯实基础考向导引考点突破知识点1代数式1.代数式用基本运算符号把

和

连接而成的式子叫做代数式.

2.列代数式把题目中与数量有关的词语,用含有数、字母和运算符号的式子表示出来,就是列代数式.数字母3.代数式的值(常考点)(1)用

代替代数式里的字母,计算后所得的结果叫做代数式的值;(2)常用的求代数式的值的方法:直接代入求值法、化简代入求值法和

代入求值法.

具体数值整体知识点2整式的概念1.单项式(1)概念:只含有数字与

乘积的代数式叫单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式;

(2)系数:单项式中的

叫做这个单项式的系数;

(3)次数:单项式中所有字母的

的和叫做这个单项式的次数.

2.多项式(1)概念:几个单项式的

叫做多项式;

字母数字因数指数和(2)项:多项式中的每个

叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项;

(3)次数:多项式里次数最

项的次数,叫做这个多项式的次数.

3.整式

与

统称整式.

4.同类项(1)同类项:所含

相同,并且相同字母的

也相同的项叫做同类项、几个常数项也是同类项.

单项式高单项式多项式字母指数(2)合并同类项①概念:把多项式中的

合并成一项,叫做合并同类项;

②法则:把同类项的

相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数

.

知识点3整式的运算1.去括号法则如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号

;如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号

.

同类项系数不变相同相反2.整式的加减如果有括号就先

,再

.

3.幂的运算(常考点)(1)同底数幂的乘法:am·an=

(m,n为整数);

(2)幂的乘方:(am)n=

(m,n为整数);

(3)积的乘方:(ab)n=

(n为整数);

(4)同底数幂的除法:am÷an=

(a≠0,m,n为整数).

去括号合并同类项am+namnanbnam-n4.整式的乘法(1)单项式与单项式相乘:把它们的

、

分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式;

(2)单项式乘多项式:m(a+b+c)=

;

(3)多项式乘多项式:(m+n)(a+b)=

;

(4)乘法公式:(常考点)平方差公式:(a+b)(a-b)=

,完全平方公式:(a±b)2=

.系数相同字母的幂ma+mb+mcma+mb+na+nba2-b2a2±2ab+b25.整式的除法(1)单项式相除,把

与

分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式;

(2)多项式除以单项式,先把这个多项式的

分别除以单项式,再把所得的商相加.

知识点4因式分解(常考点)1.概念把一个多项式化成几个整式的

的形式,这种变形叫做因式分解,因式分解与

是方向相反的变形.

系数同底数幂每一项积整式乘法2.方法(1)提公因式法:ma+mb+mc=m(a+b+c);(2)公式法:a2-b2=(a+b)(a-b),a2±2ab+b2=(a±b)2;(3)十字相乘法x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).3.步骤一提:有公因式要先

;

提公因式二套:再考虑应用

;

三检查:因式分解的结果要彻底,每个因式要分解到

为止(结果必须是整式).

公式法不能再分解考点突破考点1代数式(列代数式)例1(1)有研究报告指出,1880年至2020年全球平均气温上升趋势约为每十年上升0.08℃.已知2020年全球平均气温为14.88℃,假设未来的全球平均气温上升趋势与上述趋势相同,且每年上升的度数相同,则预估2020年之后第x年的全球平均气温为

℃(用含x的代数式表示)()

A.14.88+0.08x B.14.88+0.008xC.14.88+0.08[x+(2020-1880)] D.14.88+0.008[x+(2020-1880)]B(2)如图所示,用火柴棒拼成一个由三角形组成的图形,拼第一个图形共需要3根火柴棒;拼第二个图形共需要5根火柴棒;拼第三个图形共需要7根火柴棒;…;照这样拼图,则第n个图形需要

根火柴棒.

考向训练1-1(2024云南)按一定规律排列的代数式:2x,3x2,4x3,5x4,6x5,…,第n个代数式是()A.2xn B.(n-1)xn C.nxn+1 D.(n+1)xn(2n+1)DD考向训练1-4

某商店积压了一批商品,为尽快售出,该商店采取如下销售方案:将原来每件m元的商品,先加价50%,再做两次降价处理,第一次降价30%,第二次降价10%,经过两次降价后的价格为

元(结果用含m的代数式表示).

0.945m考点2求代数式的值(常考点)例2(2024广安)若x2-2x-3=0,则2x2-4x+1=

.

考向训练2-1(2023常德)若a2+3a-4=0,则2a2+6a-3等于()A.5 B.1 C.-1 D.0考向训练2-2(2024广州)若a2-2a-5=0,则2a2-4a+1=

.

考向训练2-3按照如图所示的操作步骤,若输入x的值为2,则输出的值为

.

7A1120CA-48163考点5幂的运算(易错点)例5(2024宿迁)下列运算正确的是()A.a2+a3=2a5 B.a4·a2=a6C.a3÷a=a3 D.(ab2)3=a3b5考向训练5-1(2024遂宁)下列运算结果正确的是()A.3a-2a=1 B.a2·a3=a6C.(-a)4=-a4 D.(a+3)(a-3)=a2-9BDCCD考点6整式的运算例6(2024南充)先化简,再求值:(x+2)2-(x3+3x)÷x,其中x=-2.解:(x+2)2-(x3+3x)÷x=(x2+4x+4)-(x2+3)=x2+4x+4-x2-3=4x+1.当x=-2时,原式=4×(-2)+1=-8+1=-7.考向训练6-1从前,一位庄园主把一块边长为a(a>6)m的正方形土地租给租户老张,第二年,他对老张说:“我把这块地的一边增加6m,相邻的另一边减少6m,变成矩形土地继续租给你,租金不变,你也没有吃亏,你看如何”如果这样 ,你觉得老张的租地面积会()A.没有变化 B.变大了C.变小了 D.无法确定C考向训练6-2如图所示,将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图,根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是()A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.a2+2ab+b2=(a+b)2C.a2-2ab+b2=(a-b)2D.(a+b)2-(a-b)2=4abC11考向训练6-4若x2+2(m-3)x+16是关于x的完全平方式,求m的值.解:∵x2+2(m-3)x+16=x2+2(m-3)x+42是关于x的完全平方式,∴2(m-3)x=±2×x×4=±8x,即2(m-3)=±8,解得m=-1或7.∴m的值为-1或7.考向训练6-5(2024甘肃)先化简,再求值:[(2a+b)2-(2a+b)(2a-b)]÷2b,其中a=2,b=-1.解:[(2a+b)2-(2a+b)(2a-b)]÷2b=[4a2+4ab+b2-(4a2-b2)]÷2b=(4a2+4ab+b2-4a2+b2)÷2b=(4ab+2b2)÷2b=2a+b.当a=2,b=-1时,原式=2×2-1=3.考点7因式分解例7因式分解:(1)mn2-2mn+m;(2)2x2-32x4.解:(1)mn2-2mn+m=m(n2-2n+1)=m(n-1)2.(2)2x2-32x4=2x2(1-16x2)=2x2(1+4x)(1-4x).考向训练7-1下列各式从左到右的变形,因式分解正确的是()A.(a+3)2=a2+6a+9 B.a2-4a+4=a(a-4)+4C.5ax2-5ay2=5a(x+y)(x-y) D.ax2-a=a(x2-1)考向训练7-2(2024达州)分解因式:3x2-18x+27=

.

考向训练7-3因式分解:-3ax2+6axy-3ay2=

.

考向训练7-4(包头样题)因式分解:3m(2x-y)2-3mn2=

.

.

C3(x-3)2-3a(x-y)23m(2x-y+n)(2x-y-n)考向训练7-5已知a,b,c为△ABC的三条边的长,当b2+2ab=c2+2ac时,(1)试判断△ABC属于哪一类三角形;解:(1)△ABC是等腰三角形.理由如下:∵a,b,c为△ABC的三条边的长,b2+2ab=c2+2ac,∴b2-c2+2ab-2ac=0.因式分解,得(b-c)(b+c+2a)=0,∴b-c=0.∴b=c.∴△ABC是等腰三角形.(2)若a=4,b=3,求△ABC的周长.解:(2)∵a=4,b=3,∴c=b=3.∴△ABC的周长为a+b+c=4+3+3=10.感悟中考1.(2024赤峰)数轴上点A,M,B分别表示数a,a+b,b,那么下列运算结果一定是正数的是()A.a+b B.a-bC.ab D.|a|-b2.(2023包头)下列各式计算结果为a5的是()A.(a3)2 B.a10÷a2C.a4·a D.(-1)-1a5AC3.(2024赤峰)下列计算正确的是()A.a2+a3=a5 B.(a+b)2=a2+b2C.a6÷a3=a2 D.(a3)2=a