211二次根式教案2024－2025学年华东师大版数学九年级上册

21.1二次根式课题21.1二次根式授课人教学目标1.说出二次根式有意义的条件.2.能判断一个式子是不是二次根式,会求二次根式的被开方数中字母的取值范围.3.解释二次根式的两个性质,并能利用性质对二次根式进行化简.4.经历列代数式解决实际问题,发现并构建二次根式的概念的过程,初步认识二次根式的特征,获得确定二次根式中字母的取值范围与化简二次根式(x-a)2(a为常数)5.用二次根式的定义确定被开方数的范围,会用分类讨论方法化简a26.积极参与构建二次根式的概念、探究二次根式的特征与性质的活动,在活动中体验成功的喜悦.教学重点二次根式的概念、特征和性质.教学难点二次根式的性质:a2=|a|,(a)2=a(a≥0)授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.已知反比例函数y=3x,那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是(3,3)2.如图2112,在直角三角形ABC中,AC=3,BC=1,∠C=90°,那么AB边的长是

10.

图21123.甲射击6次,各次击中的环数如下:8,7,9,9,7,8,若甲这次射击的方差是s2,则s=

234.有一块长方形的绿地,如果绿地的长AB=am,宽BC=a2m,那么对角线AC=

5a2学生回忆并回答,为本课的学习提供迁移或类比方法.活动一:创设情境导入新课【课堂引入】提问并讨论:(1)3的算术平方根是多少?(2)面积为a的正方形的边长是多少?(在大家知道答案分别是3,a之后展开思考与讨论)观察上述答案的两个式子,看看有什么特点.被开方数只能是正数和0,为什么?

提出:像这样的式子就是我们本章要学习的二次根式.今天我们先来认识一下什么是二次根式.活动二:探究与应用【探究1】二次根式的概念1.很明显3,10,23,5a24等,都是一些非负数的算术平方根.像这样一些非负数的算术平方根的式子,我们就把它称为二次根式.因此,一般地,我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式,“2.观察3,10,23,5a24[答案]被开方数都是正数.3.被开方数可以为0吗?可以为负数吗?为什么?[答案]被开方数可以为0,但被开方数不可以为负数,因为负数没有平方根.【探究2】二次根式的非负性请同学们想一想,a有没有可能小于零?为什么?由此可得a≥0(a≥0).a的双重非负性即被开方数a≥0,a的算术平方根a≥0.例已知|x+3|+y-5=0,求xy的值.[答案]∵|x+3|+y-5=0,|x+3|≥0,y-5≥0,∴|x+3|=0且y-5=0,即x+3=0且y5=0,解得x=3,y=5,∴xy=15.总结:二次根式有意义的条件是被开方数是非负数.1.学生观察得出二次根式的概念.2.学生观察、归纳出二次根式中被开方数是非负数.【探究3】二次根式的性质计算:22=2;(-2)2=2;16=(±4)2=4;0.012=0.01;1102=

110;232=

23;3.让学生归纳:a2=a(a≥0),a2=a(a<【应用举例】例1下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式?2,33,1x,x(x>0),0,42,2,1x+y,x+y(x[解析]二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0.[答案]是二次根式的有2,x(x>0),0,2,x+y(x≥0,y≥0);不是二次根式的有33,1x,42例2当x是怎样的实数时,3x-1在实数范围内有意义?[解析]由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以当3x1≥0时,3x-1才有意义.[答案]由3x1≥0,得x≥13所以当x≥13时,3x-1在实数范围内有意义例3当1<x<4时,化简:x-4+x2[解析]根据已知条件判断出x4,x1的符号,再根据二次根式的性质和去绝对值的法则解答.[答案]∵1<x<4,∴x4<0,x1>0,∴原式=x-4+x-12=4x+x1=3教师深入到学生中对需要帮助的学生进行指导.例4化简:(1)9;(2)(-4)2;(3)25;(4)[答案](1)因为32=9,所以9=3;(2)因为(4)2=42,所以(-4)2=4;(3)因为52=25,所以25=5;(4)因为(3)2=32,所以(-3)例5根据算术平方根的意义填空:(4)2=4;(2)2=2;(9)2=9;(3)2=3;132=

13;722=

72;(0)[解析]4是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,4是一个平方等于4的非负数,因此有(4)2=4.同理可得:(2)2=2,(9)2=9,(3)2=3,132=13,722=72,(0)2=0,所以(a)1.巩固二次根式的概念,让学生能辨别代数式中的二次根式.2.落实本节课的重点,使学生会求二次根式中被开方数的取值范围.3.解答例3时,要弄清二次根式的非负性及去绝对值的符号法则.4.让学生应用a2=a(a≥0),a2=a(a<5.引导学生归纳二次根式的性质:(a)2=a(a≥0).活动二:探究与应用【拓展提升】例6化简:(a+b)[答案]当a≥b时,(a+b)2=a+b;当a<b时,(a+b)2=(a+b例7计算:(1)(85)2;(2)(72)2.[答案](1)(85)2=82×(5)2=64×5=320.(2)(72)2=(7)2×(2)2=49×2=98.例8化简-x5的结果是 (CA.x2xB.x2-xC.x2-x D.x2x[解析]因为x5≥0,所以x5≤0,所以x≤0,x2≥0,所以-x5=-x·x4=-x·(例9求函数y=x+2+(x1)0+(x3)1中自变量x的取值范围.[答案]由题意,得x+2≥0,x1≠0,x3≠0,综合确定x的取值范围是x≥2且x≠1,x≠3.1.应用二次根式的性质时,需要用分类讨论的数学思想解答相关的计算问题.2.例8和例9可以根据班级学生的不同情况,分层安排.活动三:课堂总结反思【达标检测】1.课本P3中的练习.2.课本P4中的习题21.1.3.补充练习:(1)计算:(3)2|2|=1.

(2)计算:4+-2+(6)×-2[答案]8当堂检测,及时反馈学习效果.【知识网络】二次根式二次根式的判断[知识反思]二次根式a中的a可以是一个数,也可以是一个代数式,但都必须是非负数.提纲挈领,重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]本节通过回顾算术平方根的意义,类比、归纳总结出二次根式的概念及被开方数的非负性,体现了化归的思想方法.通过具体计算,归纳出a2=a(a≥0)、a2=a(a<0)、(a)2=a(a≥0),体现了由特殊到一般的抽象思维过程;对当a≥0时,a2=a;当a<0时,a2=a的应用,不仅体现了数学中的分类思想,活动三:课堂总结反思②[讲授效果反思]本节课新知识的应用主要是计算,提醒学生注意符号的变化和分类型讨论,结果一般没有问题.③[师生互动反思]