安徽省合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

合肥市普通高中六校联盟20242025学年第一学期期中联考高一年级数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）命题学校：合肥七中命题教师：李歆辉审题教师：韩莹一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合交集运算求解.【详解】由题可知，，所以.故选：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】判断充分必要条件需要既要判断充分性也要判断必要性.【详解】当时，或，则不满足充分性；当时，成立，则满足必要性，∴“”是“”的必要不充分条件故选：B3.下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合同一函数的定义，结合定义域和对应关系，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，函数和的定义域都是，对应关系也相同，是同一个函数，故A符合题意；对于B中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故B不符合题意；对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故C不符合题意；对于D中，函数与的定义域不同，故D不符合题意.故选：A.4.已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数性质以及中间量“1”即可比较大小.【详解】根据指数函数性质知，即，又因为，则.故选：D.5.已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得.【详解】由是上的增函数，得，解得，所以实数a的取值范围是.故选：B6.已知且，且，若函数为偶函数，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】函数为偶函数，有，代入函数解析式，化简得恒成立，则有．【详解】由题意可知，，即，所以，因为，所以恒成立，所以．故选：B.7.已知函数，设，若，则取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的单调性情况，及分段函数在每段内的最值情况可得与的取值范围及与间关系，进而可得，利用换元法可得取值范围.【详解】由，易知函数在和上分别单调递增，所以，又当时，，因为，则，，即，，又，所以，所以，设，则，，所以，故选：C.8.设函数，若存在最小值，则的最大值为（

）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】当时，由一次函数单调性可知无最小值，不合题意；当时，结合二次函数性质可知，满足题意；当和时，根据函数存在最小值可确定分段处的函数值的大小关系，由此解得的范围；综合所有情况即可得到的最大值.【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意；当时，，当时，，又时，，存在最小值，满足题意；当时，在，上单调递减，在上单调递增，若存在最小值，则，解得：，；当时，在上单调递减，在上单调递增，若存在最小值，则，不等式无解；综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.图中阴影部分用集合表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据交集、补集以及图象等知识来确定正确答案.【详解】根据图象可知，阴影部分表示的集合是，所以AB选项正确、C选项错误.而，不符合题意，D选项错误.故选：AB10.若，，且，则下列不等式中恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据基本不等式分析的最值即可.【详解】对AB，，，且，，即，当且仅当时取等号，，故A正确B错误；对CD，，当且仅当时取等号，故.故C错误D正确.故选：AD11.已知函数满足：①对任意，；②若，则.则（）A.的值为2 B.C.若，则 D.若，则【答案】ABC【解析】分析】对于A，令，结合“若，则”即可判断；对于B，由基本不等式相关推理结合即可判断；对于C，令得，，由此即可判断；对于D，令，即可判断.【详解】对于A，令，得，解得或，若，令，得，即，但这与②若，则矛盾，所以只能，故A正确；对于B，令，结合得，，解得或，又，所以，所以只能，故B正确；对于C，若，令得，，所以，所以，所以，故C正确；对于D，取，则且单调递增，满足，但，故D错误故选：ABC.【点睛】关键点睛：判断D选项的关键是构造，由此即可证伪.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.命题“，”的否定是__________.【答案】，【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解即可.【详解】命题“，”的否定是“，”.故答案为：，13.若函数是R上的奇函数，且在上是增函数，又，则的解集是__________.【答案】【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性得到当或时，，当或时，，从而得到不等式的解集.【详解】因为为R上的奇函数，则，在上是增函数，则在0,+∞上也单调递增，又，故，当或时，，当或时，，故当时，，满足，当时，，满足，综上，的解集为.故答案为：14.已知，是正实数，且关于，的方程有解，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】先由得，由基本不等式进而可得.【详解】因，是正实数及，可知，可得，得，得，因，是正实数，故，得，当且仅当时等号成立，故，故，故，故，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，，.（1）求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1），或（2）【解析】【分析】（1）根据并集和补集的概念计算；（2）根据，可以知道两个集合数轴上表示，要有公共部分，比较端点即可.【小问1详解】因为所以，所以或【小问2详解】因为，且，即集合数轴表示要有公共部分，所以，即的取值范围是.16.如图所示，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形）．使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知米，米，且．（1）设米（），求出四边形的面积关于的表达式；（2）为使绿地面积不小于空地面积的一半，求长的最大值．【答案】（1）（2）100【解析】【分析】（1）根据矩形与三角形的面积公式计算，即可;（2）解一元二次不等式即可.【小问1详解】设米，则，，，即；【小问2详解】若绿地面积不小于空地面积的一半，则，即解得，故AE的长的最大值为100米.17.幂函数为偶函数，.（1）求的解析式；（2）若对于恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先根据幂函数定义得到或，再根据为偶函数判断即可；（2）由题意得对于恒成立，再分类讨论，结合基本不等式求解即可.【小问1详解】因为幂函数为偶函数，∴，解得或，当时，，定义域为，，所以为偶函数，符合题意；当时，，定义域为，，所以为奇函数，不合题意，综上，【小问2详解】因为，所以对于恒成立，即对于恒成立，当时，得恒成立，则；当时，得，，当且仅当时等号成立，故，当时，得，，当且仅当时等号成立，故，综上，.18.已知函数，其中是奇函数.（1）求a的值；（2）判断的单调性并用定义证明；（3）当时，恒成立，求实数t的取值范围.【答案】（1）（2）在和上为减函数，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据函数的奇函数，满足，列式求解；（2）设和上的任意，，且，分析的正负证明即可；（3）根据函数是奇函数，结合单调性化简不等式得，再讨论得到取值，求解的取值范围.小问1详解】函数的定义域为，因为函数是奇函数，所以，，则，则，故.小问2详解】在和上为减函数，证明见解析设上的任意，，且，由；，，，则.故，在上为减函数.当时，，，则，在上也为减函数.综上有在和上为减函数.【小问3详解】，由（2）可得在和上是严格减函数，且当时，；当时，；由可得：，，当时，，当时，，所以，即，又，所以；当时，，则，而，，则满足题意；函数的定义域，则时不符，舍去.综上.19.设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，，使得，则称A为“等差集”．（1）若集合，，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；（2）若集合是“等差集”，求m的值；（3）已知正整数，证明：不是“等差集”．【答案】（1）答案见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差集的定义结合子集的定义求解即可；（2）根据等差集定义应用，即逐个计算判断即可；（3）应用反