23确定二次函数的表达式教案20242025学年北师大版数学九年级下册

第二章二次函数3确定二次函数的表达式一、教学目标1.掌握用顶点法求二次函数的表达式.2.掌握用交点法求二次函数的表达式.3.掌握用一般式法求二次函数的表达式.二、教学重难点重点：通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求表达式的方法.难点：能灵活根据条件恰当地选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化.三、教学过程【新课导入】[复习导入][提出问题]1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？[师生活动]学生思考问题，积极作出回答：1.2个.2个2.待定系数法:(1)设：（表达式）(2)列：（坐标代入，列方程或方程组）(3)解：（解方程或方程组）(4)还原：（写表达式）【新知探究】1.特殊条件的二次函数的表达式[提出问题]问题1：已知二次函数y＝ax2+bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．[学生活动]学生思考问题，动手写出解答过程：解:∵该图象经过点（2,8）和（1,5），∴8=4a-2b，5=a−b.解得a=−1，[提出问题]问题2：已知二次函数y＝ax2+c的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．[学生活动]学生思考问题，动手写出解答过程：解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，∴3=4a+c，∴这个二次函数的表达式为y=2x2－5.[归纳总结]观察上述两个表达式，总结：当没有c（c=0）时，图象经过原点；没有b（b=0）时，图象关于y轴对称.2.顶点法求二次函数的表达式[提出问题]问题3：已知抛物线的顶点坐标为(4，1)，与y轴交于点(0，3)，求这条抛物线的表达式.[师生活动]教师提示:若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y＝a(xh)2＋k(a≠0).这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.学生思考问题，动手写出解答过程：解：依题意设y＝a(xh)2＋k，将顶点(4，1)及交点(0，3)代入y＝a(xh)2＋k，得3=a(04)21.解得a=14.∴这条抛物线的表达式为y=14(x4)[归纳总结]顶点法求二次函数的方法：①设函数表达式是y=a(xh)2+k；②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.3.交点法求二次函数的表达式[提出问题]问题4：已知某一抛物线经过点（3，0），（1，0），（0，3），求这条抛物线的表达式.[师生活动]教师提示:根据抛物线与x轴的交点（x1，0）（x2，0），可设为二次函数的交点式，即y=a(xx1)(xx2).这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.学生思考问题，动手写出解答过程：解：∵（3，0）（1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(xx1)(xx2)(其中x1、x2为交点的横坐标）.因此，得y=a(x+3)(x+1).再把点（0，3）代入上式，得a(0+3)(0+1)=3.解得a=1.∴这条抛物线的表达式是y=(x+3)(x+1),即y=x24x3.[归纳总结]交点法求二次函数表达式的方法：①设函数表达式是y=a(xx1)(xx2)；②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.[过渡]在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？[交流讨论]小组之间交流讨论，得出结论：1.用顶点式y=a(x－h)2+k时，知道顶点（h,k）和图象上的另一点坐标,就可以确定这个二次函数的表达式.2.用交点式y=a(xx1)(xx2)时，抛物线与x轴交点的横坐标x1,x2,就可以确定这个二次函数的表达式.3.用一般式y=ax²+bx+c时，如果系数a,b,c中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定这个二次函数的表达式.4.一般式法求二次函数的表达式[课件展示]思考：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有3个待定系数？需要3个抛物线上的点的坐标才能求出来？[提出问题]问题5：已知二次函数的图象经过(1,10)，(1,4)，(2,7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标.[师生活动]教师提示:已知抛物线上三个点的坐标，可设为二次函数的一般式：y=ax2+bx+c(a≠0).这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.学生思考问题，动手写出解答过程：解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.将三点(1,10)，(1,4)，(2,7)的坐标分别代入表达式，得10=a−b+c，4=a+b+c，∴这个二次函数的表达式为y=2x23x+5.∵y=2x23x+5=2（x34）2+318，∴对称轴为直线x=34，顶点坐标为（3[归纳总结]一般式法求二次函数表达式的方法：①设函数表达式为y=ax2+bx+c；②代入后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a,b,c的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.[课件展示]议一议：一个函数的图象经过点A(0,1)，B(1,2)，C(2,1)，你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流.[师生活动]学生思考问题，教师引导，师生配合得出答案:方法一：解：由对称性可知顶点坐标为B(1,2)，∴设二次函数的表达式为y=a（x1）2+2.将A(0,1)的坐标代入表达式，得1=a（01）2+2.解得a=1.∴所求二次函数的表达式为y=1（x1）2+2.方法二：解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.将点A(0,1)，B(1,2)，C(2,1)的坐标分别代入表达式，得1=c,2=a+b+c,1=4a+2b+c.解这个方程组，得∴这个二次函数的表达式为y=x2+4x+1.【课堂小结】一、用待定系数法求二次函数表达式①已知三点坐标，用一般式法：y=ax2+bx+c.②已知顶点坐标或对称轴或最值，用顶点法：y=a(x－h)2+k.③已知抛物线与x轴的两个交点，用交点法：y=a(x－x1)(x－x2)(x1,x2为交点的横坐标）.【课堂训练】学生完成本课时PPT练习题，教师讲评.【布置作业】【板书设计】第二章二次函数3确定二次函数的表达式1.用待定系数法求函数表达式的一般步骤:(1)设：（表达式）(2)列：（坐标代入，列方程或方程组）(3)解：（解方程或方程组）(4)还原：（写表达式）2.顶点法求二次函数的方法：①设函数表达式是y=a(xh)2+k；②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.3.交点法求二次函数表达式的方法：①设函数表达式是y=a(xx1)(xx2)；②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.4.一般式法求二次函数表达式的方法：①设函数表达式为y=ax2+bx+c；②代入后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a,b,c的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.【教学反思】本课时主要学习用待定系数法确定二次