2025届山西省太原市迎泽区五中高考数学四模试卷含解析

2025届山西省太原市迎泽区五中高考数学四模试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．盒子中有编号为1，2，3，4，5，6，7的7个相同的球，从中任取3个编号不同的球，则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是（）A． B． C． D．2．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A． B． C．16 D．323．已知函数，对任意的，，当时，，则下列判断正确的是（）A． B．函数在上递增C．函数的一条对称轴是 D．函数的一个对称中心是4．圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．5．已知函数．若存在实数，且，使得，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．6．已知函数，则下列判断错误的是（）A．的最小正周期为 B．的值域为C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称7．若函数，在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知函数，关于x的方程f（x）＝a存在四个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）∪（1，e） B．C． D．（0，1）9．设集合，则（）A． B． C． D．10．已知数列为等差数列，且，则的值为（）A． B． C． D．11．集合的真子集的个数是（）A． B． C． D．12．如图，设为内一点，且，则与的面积之比为A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．平面区域的外接圆的方程是____________.14．已知各项均为正数的等比数列的前项积为，，（且），则__________.15．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上任一点，且的最小值为，则该双曲线的离心率是__________.16．在数列中，已知，则数列的的前项和为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知的图象在处的切线方程为.（1）求常数的值；（2）若方程在区间上有两个不同的实根，求实数的值.18．（12分）在直角坐标系中，曲线上的任意一点到直线的距离比点到点的距离小1.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若点是圆上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，求直线斜率的取值范围.19．（12分）已知函数f(x)=x（1）讨论fx（2）当x≥-1时，fx+a20．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若函数在上存在两个极值点，，且，证明.21．（12分）如图，三棱台中，侧面与侧面是全等的梯形，若，且.（Ⅰ）若，，证明：∥平面；（Ⅱ）若二面角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.22．（10分）已知是圆：的直径，动圆过，两点，且与直线相切.（1）若直线的方程为，求的方程；（2）在轴上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恰好与轴相切？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有，所有的情况有种，由古典概型的概率公式即得解.【详解】由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有，所有的情况有种由古典概型，取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为：故选：B【点睛】本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.2、A【解析】几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是，选A.3、D【解析】

利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期，从而得到，即可求出解析式，然后利用函数的性质即可判断.【详解】，又，即，有且仅有满足条件；又，则，，函数，对于A，，故A错误；对于B，由，解得，故B错误；对于C，当时，，故C错误；对于D，由，故D正确.故选：D【点睛】本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题.4、B【解析】

三视图对应的几何体为如图所示的几何体，利用割补法可求其体积.【详解】根据三视图可得原几何体如图所示，它是一个圆柱截去上面一块几何体，把该几何体补成如下图所示的圆柱，其体积为，故原几何体的体积为.故选：B.【点睛】本题考查三视图以及不规则几何体的体积，复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关系，另外，不规则几何体的体积可用割补法来求其体积，本题属于基础题.5、D【解析】

首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果.【详解】，令，得，．其单调性及极值情况如下：x0+0_0+极大值极小值若存在，使得，则（如图1）或（如图2）．（图1）（图2）于是可得，故选：D.【点睛】该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目.6、D【解析】

先将函数化为，再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】可得对于A，的最小正周期为,故A正确；对于B，由，可得，故B正确；对于C，正弦函数对称轴可得：解得：，当，，故C正确；对于D，正弦函数对称中心的横坐标为：解得：若图象关于点对称，则解得：，故D错误；故选：D.【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.7、D【解析】

利用导数求得在区间上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得的取值范围.【详解】的定义域为，，所以在上递减，在上递增，在处取得极小值也即是最小值，，，，，所以在区间上的最大值为.要使在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，则需恒成立，且，也即，也即当、时，成立，即，且，解得.所以的取值范围是.故选：D【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.8、D【解析】

原问题转化为有四个不同的实根，换元处理令t，对g（t）进行零点个数讨论.【详解】由题意，a＞2，令t，则f（x）＝a⇔⇔⇔⇔．记g（t）．当t＜2时，g（t）＝2ln（﹣t）（t）单调递减，且g（﹣2）＝2，又g（2）＝2，∴只需g（t）＝2在（2，+∞）上有两个不等于2的不等根．则⇔，记h（t）（t＞2且t≠2），则h′（t）．令φ（t），则φ′（t）2．∵φ（2）＝2，∴φ（t）在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．∴h′（t）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2，则h（t）在（2，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．由，可得，即a＜2．∴实数a的取值范围是（2，2）．故选：D．【点睛】此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.9、C【解析】

解对数不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.【详解】由，解得，故.依题意，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查对数不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.10、B【解析】

由等差数列的性质和已知可得，即可得到，代入由诱导公式计算可得．【详解】解：由等差数列的性质可得，解得，，故选：B．【点睛】本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题．11、C【解析】

根据含有个元素的集合，有个子集，有个真子集，计算可得；【详解】解：集合含有个元素，则集合的真子集有（个），故选：C【点睛】考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有个元素的集合，有个子集，有个真子集，属于基础题．12、A【解析】

作交于点，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出与的比例，再由与的比例，可得到结果.【详解】如图，作交于点，则，由题意，，，且，所以又，所以，，即，所以本题答案为A.【点睛】本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

作出平面区域，可知平面区域为三角形，求出三角形的三个顶点坐标，设三角形的外接圆方程为，将三角形三个顶点坐标代入圆的一般方程，求出、、的值，即可得出所求圆的方程.【详解】作出不等式组所表示的平面区域如下图所示：由图可知，平面区域为，联立，解得，则点，同理可得点、，设的外接圆方程为，由题意可得，解得，，，因此，所求圆的方程为.故答案为：.【点睛】本题考查三角形外接圆方程的求解，同时也考查了一元二次不等式组所表示的平面区域的求作，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中等题.14、【解析】

利用等比数列的性质求得，进而求得，再利用对数运算求得的值.【详解】由于，，所以，则，∴，，.故答案为：【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查对数运算，属于基础题.15、【解析】

根据双曲线方程，设及，将代入双曲线方程并化简可得，由题意的最小值为，结合平面向量数量积的坐标运算化简，即可求得的值，进而求得离心率即可.【详解】设点，，则，即，∵，，，当时，等号成立，∴，∴，∴.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线与向量的综合应用，由平面向量数量积的最值求离心率，属于中档题.16、【解析】

由已知数列递推式可得数列的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列，求其通项公式，得到，再由求解．【详解】解：由，得，，则数列的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列．，．．故答案为：．【点睛】本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了数列的分组求和，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或.【解析】

（1）求出，由，建立方程求解，即可求出结论；（2）根据函数的单调区间，极值，做出函数在的图象，即可求解.【详解】（1），由题意知，解得（舍去）或.（2）当时，故方程有根，根为或，+0-0+极大值极小值由表可见，当时，有极小值0.由上表可知的减函数区间为，递增区间为，.因为，.由数形结合可得或.【点睛】本题考查导数的几何意义，应用函数的图象是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.18、（1）；（2）【解析】

（1）设，根据题意可得点的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点的轨迹的方程；（2）设出切线的斜率分别为，切点，，点，则可得过点的拋物线的切线方程为，联立抛物线方程并化简，由相切时可得两条切线斜率关系；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出，可求得，结合点满足的方程可得的取值范围，即可求得的范围.【详解】（1）设点，∵点到直线的距离等于，∴，化简得，∴动点的轨迹的方程为.（2）由题意可知，的斜率都存在，分别设为，切点，，设点，过点的拋物线的切线方程为，联立，化简可得，∴，即，∴，.由，求得导函数，∴，，，∴，因为点满足，由圆的性质可得，∴，即直线斜率的取值范围为.【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.19、（1）见解析；（2）-∞,1【解析】

（1）f′（x）=（x+1）ex-ax-a=（x+1）（ex-a）．对a分类讨论，即可得出单调性．

（2）由xex-ax-a+1≥0，可得a（x+1）≤xex+1，当x=-1时，0≤-1e+1恒成立．当x＞-1时，a≤xe【详解】解法一：（1）f①当a≤0时，x(-∞-1(-1,+∞)f-0+f(x)↘极小值↗所以f(x)在(-∞,-1)上单调递减，在(-1,+∞)单调递增.②当a>0时，f'(x)=0的根为x=ln若lna>-1，即a>x(-∞,-1)-1(-1,ln(f+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)在(-∞,-1)，(lna,+∞)上单调递增，在若lna=-1，即a=f'(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立，所以f(x)在若lna<-1，即0<a<x(-∞,ln(-1(-1,+∞)f+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)在(-∞,lna)，(-1,+∞)上单调递增，在综上：当a≤0时，f(x)在(-∞,-1)上单调递减，在(-1,+∞)上单调递增；当0<a<1e时，f(x)在(-∞,lna)，自a=1e时，f(x)在当a>1e时，f(x)在(-∞,-1)，(ln（2）因为xex-ax-a+1≥0当x=-1时，0≤-1当x>-1时，a≤x令g(x)=xex设h(x)=e因为h'(x)=e即hx=e又因为h0=0，所以g(x)=xex则g(x)min=g(0)=1综上，a的取值范围为-∞,1.解法二：（1）同解法一；（2）令g(x)=f(x)+a所以g'当a≤0时，g'(x)≥0，则g(x)在所以g(x)≥g(-1)=-1当0<a≤1时，令h(x)=e因为h'(x)=2ex+x又因为h-1=-a<0，所以h(x)=ex+xexx(-1x(g-0+g(x)↘极小值↗g==-e当a>1时，g(0)=-a+1<0，不满足题意.综上，a的取值范围为-∞,1.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20、（1）若，则在定义域内递增；若，则在上单调递增，在上单调递减（2）证明见解析【解析】

（1），分，讨论即可；（2）由题可得到，故只需证，，即，采用换元法，转化为函数的最值问题来处理.【详解】由已知，，若，则在定义域内递增；若，则在上单调递增，在上单调递减.（2）由题意，对求导可得从而，是的两个变号零点，因此下证：，即证令，即证：，对求导可得，，，因为故，所以在上单调递减，而，从而所以在单调递增，所以，即于是【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式，考查学生逻辑推理能力、转化与化归能力，是一道有一定难度的压轴题.21、(Ⅰ)见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)连接，由比例可得∥，进而得线面平行；（Ⅱ）过点作的垂线，建立空间直角坐标系，不妨设，则求得平面的法向量为，设平面的法向量为，由求二面角余弦即可.试题解析：（Ⅰ）证明：连接，梯形，,易知：；又，则∥；平面，平面，可得：∥平面；（Ⅱ）侧面是梯形，，,,则为二面角的平面角，；均为正三角形，在平面内，过点作的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设，则,