天津市宝坻区大口屯高中2025届高三第六次模拟考试数学试卷含解析

天津市宝坻区大口屯高中2025届高三第六次模拟考试数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设复数z＝，则|z|＝（）A． B． C． D．2．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．3．抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，若点，则的最小值为（）A． B． C． D．4．已知，，，，．若实数，满足不等式组，则目标函数（）A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值5．已知正项等比数列的前项和为，则的最小值为（）A． B． C． D．6．已知.给出下列判断：①若，且，则；②存在使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；③若在上恰有7个零点，则的取值范围为；④若在上单调递增，则的取值范围为.其中，判断正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（）．A． B． C． D．8．执行下面的程序框图，如果输入，，则计算机输出的数是（）A． B． C． D．9．已知函数，且的图象经过第一、二、四象限，则，，的大小关系为()A． B．C． D．10．已知斜率为2的直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为1，则p＝（）A．1 B． C．2 D．411．已知等差数列中，，，则数列的前10项和（）A．100 B．210 C．380 D．40012．曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为（）A．3 B．2 C． D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标分别是,,,则实数的值为________．14．由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示，估算月经济损失的平均数为，中位数为n，则_________.15．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a216．若函数，其中且，则______________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数f(x)=x-2a-x-a（Ⅰ）若f(1)>1，求a的取值范围；（Ⅱ）若a<0，对∀x，y∈-∞,a，都有不等式f(x)≤(y+2020)+18．（12分）已知抛物线与直线.（1）求抛物线C上的点到直线l距离的最小值；（2）设点是直线l上的动点，是定点，过点P作抛物线C的两条切线，切点为A，B，求证A，Q，B共线；并在时求点P坐标.19．（12分）设数列是等差数列，其前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）证明：.20．（12分）某公园有一块边长为3百米的正三角形空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道将分成面积之比为的两部分（点D，E分别在边，上）；再取的中点M，建造直道（如图）.设，，（单位：百米）.（1）分别求，关于x的函数关系式；（2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.21．（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，∠，是边长为2的正三角形，，为线段的中点．（1）求证：平面平面；（2）若为线段上一点，当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积．22．（10分）设不等式的解集为M，.（1）证明：；（2）比较与的大小，并说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

先用复数的除法运算将复数化简，然后用模长公式求模长.【详解】解：z＝＝＝＝﹣﹣,则|z|＝＝＝＝.故选：D.【点睛】本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.2、C【解析】试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以，故C为正确答案．考点：异面直线所成的角．3、B【解析】

通过抛物线的定义，转化，要使有最小值，只需最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．【详解】解：由题意可知，抛物线的准线方程为，，过作垂直直线于，由抛物线的定义可知，连结，当是抛物线的切线时，有最小值，则最大，即最大，就是直线的斜率最大，设在的方程为：，所以，解得：，所以，解得，所以，．故选：．【点睛】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题．4、B【解析】

判断直线与纵轴交点的位置，画出可行解域，即可判断出目标函数的最值情况.【详解】由，，所以可得.，所以由，因此该直线在纵轴的截距为正，但是斜率有两种可能，因此可行解域如下图所示：由此可以判断该目标函数一定有最大值和最小值.故选：B【点睛】本题考查了目标函数最值是否存在问题，考查了数形结合思想，考查了不等式的性质应用.5、D【解析】

由，可求出等比数列的通项公式，进而可知当时，；当时，，从而可知的最小值为，求解即可.【详解】设等比数列的公比为，则，由题意得，，得，解得，得.当时，；当时，，则的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.6、B【解析】

对函数化简可得，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案.【详解】因为，所以周期.对于①，因为，所以，即，故①错误；对于②，函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，解得，故对任意整数，，所以②错误；对于③，令，可得，则，因为，所以在上第1个零点，且，所以第7个零点，若存在第8个零点，则，所以，即，解得，故③正确；对于④，因为，且，所以，解得，又，所以，故④正确.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.7、A【解析】

由平面向量基本定理，化简得，所以，即可求解，得到答案．【详解】由平面向量基本定理，化简，所以，即，故选A．【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，其中解答熟记平面向量的基本定理，化简得到是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，数基础题．8、B【解析】

先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可.【详解】本程序框图的功能是计算，中的最大公约数，所以，，，故当输入，，则计算机输出的数是57.故选：B.【点睛】本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题.9、C【解析】

根据题意，得，，则为减函数，从而得出函数的单调性，可比较和，而，比较，即可比较.【详解】因为，且的图象经过第一、二、四象限，所以，，所以函数为减函数，函数在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以，又，，则|，即，所以.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想.10、C【解析】

设直线l的方程为x＝y，与抛物线联立利用韦达定理可得p．【详解】由已知得F（，0），设直线l的方程为x＝y，并与y2＝2px联立得y2﹣py﹣p2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0），∴y1+y2＝p，又线段AB的中点M的纵坐标为1，则y0（y1+y2）＝，所以p=2,故选C．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．11、B【解析】

设公差为，由已知可得，进而求出的通项公式，即可求解.【详解】设公差为，，，,.故选：B.【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前项和，属于基础题.12、A【解析】

根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率，即可得出答案.【详解】解：由于，根据导数的几何意义得：，即切线斜率，当且仅当等号成立，所以上任意一点处的切线斜率的最小值为3.故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】

由题可分析函数与的三个相邻交点中不相邻的两个交点距离为,即,进而求解即可【详解】由题意得函数的最小正周期,解得故答案为：4【点睛】本题考查正弦型函数周期的应用,考查求正弦型函数中的14、360【解析】

先计算第一块小矩形的面积，第二块小矩形的面积，，面积和超过0.5，所以中位数在第二块求解，然后再求得平均数作差即可.【详解】第一块小矩形的面积，第二块小矩形的面积，故；而，故.故答案为：360.【点睛】本题考查频率分布直方图、样本的数字特征，考查运算求解能力以及数形结合思想，属于基础题.15、-2【解析】试题分析：∵a2考点：等比数列性质及求和公式16、【解析】

先化简函数的解析式，在求出，从而求得的值.【详解】由题意，函数可化简为，所以，所以.故答案为：0.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，以及导数的运算和函数值的求解，其中解答中正确化简函数的解析式，准确求解导数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）(-∞,-1)∪(1,+∞)；（Ⅱ）-1010,0.【解析】

（Ⅰ）由题意不等式化为|1-2a|-|1-a|>1，利用分类讨论法去掉绝对值求出不等式的解集即可；（Ⅱ）由题意把问题转化为[f(x)]max≤[|y+2020|+|y-a|]min，分别求出【详解】（Ⅰ）由题意知，f(1)=|1-2a|-|1-a|>1，若a≤12，则不等式化为1-2a-1+a>1，解得若12<a<1，则不等式化为2a-1-(1-a)>1，解得若a≥1，则不等式化为2a-1+1-a>1，解得a>1，综上所述，a的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞)；（Ⅱ）由题意知，要使得不等式f(x)≤|(y+2020)|+|y-a|恒成立，只需[f(x)]max当x∈(-∞,a]时，|x-2a|-|x-a|≤-a，[f(x)]max因为|y+2020|+|y-a|≥|a+2020|，所以当(y+2020)(y-a)≤0时，[|y+2020|+|y-a|]min即-a≤|a+2020|，解得a≥-1010，结合a<0，所以a的取值范围是[-1010,0).【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解问题，含有绝对值的不等式恒成立应用问题，以及绝对值三角不等式的应用，考查了分类讨论思想，是中档题．含有绝对值的不等式恒成立应用问题，关键是等价转化为最值问题，再通过绝对值三角不等式求解最值，从而建立不等关系，求出参数范围.18、（1）；（2）证明见解析，或【解析】

（1）根据点到直线的公式结合二次函数的性质即可求出；（2）设，，，，表示出直线，的方程，利用表示出，，即可求定点的坐标．【详解】（1）设抛物线上点的坐标为，则，时取等号），则抛物线上的点到直线距离的最小值；（2）设，，，，，，直线，的方程为分别为，，由两条直线都经过点点得，为方程的两根，，直线的方程为，，，，，共线．又，，，解，，点，是直线上的动点，时，，时，，，或．【点睛】本题考查抛物线的方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线过定点的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．19、（1）（2）见解析【解析】

（1）设数列的公差为，由，得到，再结合题干所给数据得到公差，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得，再利用放缩法证明不等式即可；【详解】解：（1）设数列的公差为，∵，∴，∴，∴.（2）∵，∴，∴.【点睛】本题考查等差数列的通项公式的计算，放缩法证明数列不等式，属于中档题.20、（1），.，.（2）当百米时，两条直道的长度之和取得最小值百米.【解析】

（1）由，可解得.方法一：再在中，利用余弦定理，可得关于x的函数关系式；在和中，利用余弦定理，可得关于x的函数关系式.方法二：在中，可得，则有，化简整理即得；同理，化简整理即得.（2）由（1）和基本不等式，计算即得.【详解】解：（1），是边长为3的等边三角形，又，，.由，得.法1：在中，由余弦定理，得.故直道长度关于x的函数关系式为，.在和中，由余弦定理，得①②因为M为的中点，所以.由①②，得，所以，所以.所以，直道长度关于x的函数关系式为，.法2：因为在中，，所以.所以，直道长度关于x的函数关系式为，.在中，因为M为的中点，所以.所以.所以，直道长度关于x的函数关系式为，.（2）由（1）得，两条直道的长度之和为（当且仅当即时取“”）.故当百米时，两条直道的长度之和取得最小值百米.【点睛】本题考查了余弦定理和基本不等式，第一问也可以利用三角形中的向量关系进行求解，属于中档题.21、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）先证明